費(fèi)孝文

【摘 要】 本文通過(guò)具體例題的方式，探討通過(guò)巧用構(gòu)造法，解答高中數(shù)學(xué)難題，幫助學(xué)生提高解題能力和思維水平.

【關(guān)鍵詞】 構(gòu)造法;數(shù)學(xué)難題;高中數(shù)學(xué)

1 科學(xué)采用構(gòu)造法解答方程難題

學(xué)生對(duì)方程接觸得較早，從小學(xué)時(shí)期就開(kāi)始學(xué)習(xí)，不過(guò)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的方程知識(shí)難度較大，還經(jīng)常同函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)聯(lián)系在一起，成為綜合性題目，對(duì)學(xué)生的解題水平要求較高，他們也容易陷入到困境之中.這時(shí)高中數(shù)學(xué)教師可以指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)采用構(gòu)造法解答方程類難題，找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，讓他們順利建立出等式，由此順利解決難題.

例1 ?在等式m-n2-4n-xx-m=0 的基礎(chǔ)上，求證m、n、x是等差數(shù)列.

解析 從本道題目來(lái)看，如果學(xué)生采用正常的方式來(lái)解題，將會(huì)使得題目難度進(jìn)一步提升，他們需要通過(guò)大量的計(jì)算以后，才可以獲得最終的結(jié)論，求證題設(shè).其實(shí)在處理這道題目時(shí)，教師就可以讓學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造方程的方法法來(lái)處理，使其直接將題目中給出的結(jié)論當(dāng)作已知條件使用，重新分析題目?jī)?nèi)容，使之同題干中給出的等式有機(jī)結(jié)合，將問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，由此獲得最終結(jié)論.

解 構(gòu)造方程式n-xt2+m-nt+x-m=0，

且令ft=n-xt2+m-nt+x-m，

從題目中可以得出f1=0，

由此確定n-xt2+m-nt+x-m=0的實(shí)數(shù)根相等，

求得t=1，所以方程的實(shí)數(shù)根均為1，跟進(jìn)韋達(dá)定理可以得到m+n=2x，這表明m、n、x為等差數(shù)列.

2 靈活應(yīng)用構(gòu)造法解答函數(shù)難題

學(xué)生是從初中階段開(kāi)始接觸函數(shù)知識(shí)的，而高中數(shù)學(xué)教材中的函數(shù)知識(shí)無(wú)論是深度、廣度，還是難度均有所提升，在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中都占據(jù)著比較關(guān)鍵的地位，不少試題中都蘊(yùn)含著一定的函數(shù)知識(shí).在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生靈活應(yīng)用構(gòu)造法解答函數(shù)方面的難題，結(jié)合構(gòu)造法將復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，使其解決能力與自信心均慢慢提升.

例2 已知函數(shù)fx=x3+ax2+bx+c，如果f2018=2018，f2019=2019，f2020=2020，那么f2021的值是什么？

解析 假如采用常規(guī)的待定系數(shù)法直接計(jì)算本題，不僅計(jì)算量比較大，而且還不一定正確，然而本題看起來(lái)是一個(gè)三次函數(shù)的求值問(wèn)題，實(shí)際上通過(guò)仔細(xì)觀察題干中提出的已知條件，特別是自變量與函數(shù)值之間的數(shù)據(jù)關(guān)系，就很容易聯(lián)想到二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式也能夠表示成關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，利用賦值法代入二項(xiàng)式定理的左邊求值的解題思路，據(jù)此構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)fx=x-20193+2019，一方面該函數(shù)能夠依據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)后得到fx=x3+ax2+bx+c，另一方面又滿足題干中的已知信息，即為f2018=2018-20193+2019=2018，f2019=2019-20193+2019=2027，f2020=2020-20193+2019=2020，所以f2021=2021-20193+2019=2027，由此巧妙得出答案，減少計(jì)算的繁瑣，降低出現(xiàn)錯(cuò)誤的幾率.

3 合理運(yùn)用構(gòu)造法解答數(shù)列難題

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，數(shù)列是學(xué)生在高中時(shí)期才接觸到的知識(shí)，以學(xué)習(xí)等差和等比數(shù)列為主，也是高考中的必考知識(shí)點(diǎn).數(shù)列往往具有一定的規(guī)律性，高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)環(huán)節(jié)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目信息運(yùn)用構(gòu)造法，對(duì)遞進(jìn)公式展開(kāi)變形，使其根據(jù)數(shù)列的定義判定出具體類型，或者將題目?jī)?nèi)容構(gòu)造成等差或等比數(shù)列，讓他們采用數(shù)列性質(zhì)解答難題.

例3 已知數(shù)列an中，a1=5，a2=3，an=2an-1+3an-2，n≥3求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解析 如果學(xué)生采用直接求解法，極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師可以提示他們運(yùn)用構(gòu)造法，使其對(duì)題干中提供的信息與條件展開(kāi)適當(dāng)?shù)淖儞Q和構(gòu)造，最終形成準(zhǔn)確、清晰的解題思路.

解 依據(jù)an=2an-1+3an-2

得到an+an-1=an-1+an-2，

由于a1+a2=5+2=7，

an+an-1n≥2就形成首項(xiàng)為7，公比為3的等比數(shù)列，

則an+an-1=7×3n-2①，

又因?yàn)閍n-3an-1=-an-1-3an-2 ，a2-3a1=2-3×5=2-15=-13，

an-3an-1就形成一個(gè)首項(xiàng)為-13，公比為-1的等比數(shù)列，

an-3an-1=（-13）（-1）n-1②，

①×3+②得到4an=7×3n-1+13×-1n，an=74×3n-1+134×-1n，

經(jīng)驗(yàn)證上式對(duì)n=1也成立，

綜上所述：an=74×3n-1+134×-1n n∈N*.

4 巧妙利用構(gòu)造法解答向量難題

基于數(shù)學(xué)視角來(lái)看，向量指的是同時(shí)具有方向與大小的量，能形象化地表示成帶箭頭的線段，箭頭所指代表著向量的方向，線段長(zhǎng)度則代表著向量的大小.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，向量的運(yùn)用也相當(dāng)廣泛，當(dāng)遇到一些難度較大的題目時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中的信息，巧妙利用構(gòu)造向量的方法解題，讓他們形成更為簡(jiǎn)單且清晰的解題思路.

例4 求解函數(shù)fx=3 2-x+3 x+2的最大值.

解析 假如學(xué)生直接對(duì)該函數(shù)進(jìn)行求解，需要利用導(dǎo)數(shù)等計(jì)算量較大的運(yùn)算方法，他們?cè)谟?jì)算過(guò)程中極易出現(xiàn)錯(cuò)誤、失去耐心或是在考試時(shí)浪費(fèi)時(shí)間.此時(shí)教師可以提示學(xué)生利用構(gòu)造法構(gòu)造出平面向量，對(duì)原函數(shù)fx進(jìn)行表示，再利用平面向量的相關(guān)知識(shí)和性質(zhì)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，不僅可以有效降低計(jì)算難度，還能大大減少完成題目所需要的時(shí)間，使他們?cè)诳荚囘^(guò)程中占得先機(jī)，加快解題的速度.

解 構(gòu)造平面向量a（3，3），b（2—x，x+2），運(yùn)用向量的數(shù)量積公式求a和b的數(shù)量積，獲得的結(jié)果剛好是待求函數(shù)f（x），再利用向量的基本性質(zhì)進(jìn)行比較運(yùn)算，則有a·b≤ab=6 2.這樣就以向量形式實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)最大值的求解，其中構(gòu)造平面向量a，b是解決該題目的關(guān)鍵所在，同時(shí)也是構(gòu)造法的具體體現(xiàn).

5 借助構(gòu)造法解答幾何方面難題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，不僅可以運(yùn)用構(gòu)造法處理代數(shù)難題，同樣也能夠用來(lái)解決幾何難題，無(wú)論是平面幾何，還是解析幾何、立體幾何方面的難題均可應(yīng)用構(gòu)造法.高中數(shù)學(xué)教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行幾何方面的習(xí)題訓(xùn)練時(shí)，可讓他們依據(jù)實(shí)際情況借助構(gòu)造法的優(yōu)勢(shì)，且有機(jī)整合數(shù)形結(jié)合思想，使其利用直觀化的圖形分析幾何難題，最終快速、準(zhǔn)確的解答難題.

例5 已知三個(gè)銳角α、β和γ滿足cosα2+cosβ2+cosγ2=1，求證tanα？tanβ·tanγ≥2 2.

圖1

解析 學(xué)生通過(guò)對(duì)題目?jī)?nèi)容的閱讀，發(fā)現(xiàn)這是一道有關(guān)銳角三角函數(shù)的題目，僅僅利用題干中提供的已知信息，很難直接、快速地證明出這一結(jié)論，容易影響他們的解題信心.這時(shí)教師可以指導(dǎo)學(xué)生采用構(gòu)造法分析題目中給出的式子cosα2+cosβ2+cosγ2=1，使其根據(jù)長(zhǎng)方體對(duì)角線的方式連接起來(lái)，就構(gòu)造出以下圖形，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，把∠α、∠β、∠γ看作成長(zhǎng)方體對(duì)角線BD1與三條側(cè)棱所形成的夾角，其中三條側(cè)棱AB、BC與BB1的長(zhǎng)分別是a、b、c，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，不等式取得最小值2 2，原問(wèn)題中的結(jié)論就能夠得到證明.如此，學(xué)生通過(guò)構(gòu)造法的運(yùn)用將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀化與具體化，他們可以快速找到準(zhǔn)確的解題思路與方法，從而輕松處理難題.