◎方慧林 周學(xué)君* 孟嵐 帥克偉

(1.黃岡師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃岡 438000；2.大冶市第二中學(xué)，湖北 黃石 435100；3.黃州思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校，湖北 黃岡 438000)

一、引言

微積分是人類發(fā)展史中的一項(xiàng)偉大創(chuàng)造,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)起點(diǎn)近年來,美國、俄羅斯、中國等多個(gè)國家已將微積分列入了高中數(shù)學(xué)教材中,可見微積分在國際高中數(shù)學(xué)教學(xué)界受到了重視在中國,微積分的學(xué)習(xí)主要集中在大學(xué)階段,為了使高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)有更好的銜接,2003年版的《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中,將微積分直接命名為 “導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”,導(dǎo)數(shù)集數(shù)形于一體,具有很強(qiáng)的知識(shí)交匯功能,它銜接了高中數(shù)學(xué)中的多個(gè)章節(jié)內(nèi)容《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)在微積分中增加了數(shù)列極限、函數(shù)極限等內(nèi)容,并對(duì)導(dǎo)數(shù)提出了更高的要求導(dǎo)數(shù)的概念不僅是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容,而且在高中微積分的學(xué)習(xí)中處于特殊的地位

高中導(dǎo)數(shù)的教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教育界的研究熱點(diǎn)文獻(xiàn)中對(duì)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)研究主要分為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)研究，導(dǎo)數(shù)解題技巧，“新、舊課標(biāo)中” 對(duì)導(dǎo)數(shù)要求對(duì)比分析，《新課標(biāo)》視角下導(dǎo)數(shù)教學(xué)研究等幾個(gè)方面事實(shí)上,不少文獻(xiàn)將研究重心放在了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)研究上,且《新課標(biāo)》實(shí)施以來,教學(xué)中加大了導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的研究然而,這些研究中對(duì)一線教師的導(dǎo)數(shù)教學(xué)的指導(dǎo)存在一定的局限性,這種局限性主要表現(xiàn)在將其直接應(yīng)用于實(shí)踐教學(xué)的可復(fù)制性、可操作性不強(qiáng)

《新課標(biāo)》中對(duì)導(dǎo)數(shù)的明確要求有經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想若嚴(yán)格以這四條要求 (即 “經(jīng)歷—了解—知道—體會(huì)” 的路徑)為參考,那么教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)的思路可以更加清晰,使得整個(gè)教學(xué)過程可以更加流暢高中生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念是比較困難的,但是他們按照此條路徑循序漸進(jìn)、逐步深入地學(xué)習(xí),就不會(huì)存在畏懼心理

二、《新課標(biāo)》對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的要求

《新課標(biāo)》對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的要求是通過實(shí)例分析,讓學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景一般地,導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是極限,但對(duì)于高中生目前的認(rèn)知水平而言,他們理解極限的定義是較為困難的因此，在學(xué)生沒有了解極限知識(shí)的情況下,老師可以創(chuàng)設(shè)一些情境來引入導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生于實(shí)際問題中,所以在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念之前,老師要讓學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的背景有所認(rèn)識(shí),學(xué)生在清楚導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景后就可以更好地理解導(dǎo)數(shù)的概念,掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中,背景的選擇尤為重要,為了使選擇的實(shí)際問題與導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵相關(guān),課本引入了瞬時(shí)變化率這一概念通過解決實(shí)際問題,以及建模的過程讓學(xué)生感知平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程

《新課標(biāo)》要求學(xué)生要知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想從教科書上的實(shí)際例子出發(fā),可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心,從而讓學(xué)生能真正地理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是瞬時(shí)變化率,并且知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵老師在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)過程中,首先利用數(shù)學(xué)建模思想,讓學(xué)生通過實(shí)際例子建立模型,然后借助特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,讓學(xué)生知道導(dǎo)數(shù)表達(dá)式利用數(shù)形結(jié)合的思想,使用函數(shù)中的切線這一概念,借助割線逐漸 “逼近” 形成切線的過程讓學(xué)生更加直觀地理解導(dǎo)數(shù)幾何意義,體會(huì)導(dǎo)數(shù)中的極限思想

三、導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

《新課標(biāo)》對(duì)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的要求有四點(diǎn),本節(jié)按照《新課標(biāo)》的四條要求(即 “經(jīng)歷—了解—知道—體會(huì)”的路徑)設(shè)計(jì)教學(xué)

(一)經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程

首先讓學(xué)生觀看一段高臺(tái)跳水的視頻,當(dāng)運(yùn)動(dòng)員與跳臺(tái)一樣高時(shí),此時(shí)位移為0學(xué)生通過觀看視頻會(huì)有視覺上的感受,這樣也能更加直觀地思考以下問題:在高臺(tái)跳水中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位:m)與起跳后的時(shí)間(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系

()=-49+48+11，

(1)

(2)

在1≤≤2時(shí)間內(nèi),

(3)

(1)運(yùn)動(dòng)員在此時(shí)間段內(nèi)靜止嗎？

(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)合理嗎？

探究過程:讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行探究

()=-49+48+11，

(4)

結(jié)合函數(shù)圖像()可知,

1.2.2 檢測方法 兩組患者手術(shù)前后次日早晨空腹抽取5 ml靜脈血，離心8 min，速度為3 000 r/min，采用電化學(xué)發(fā)光法測定血清孕酮水平；采用酶聯(lián)免疫吸附試驗(yàn)法測定VEGF和INH-A水平[12-13]。

(5)

(二)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景

《新課標(biāo)》在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中,要求學(xué)生要了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景導(dǎo)數(shù)概念的形成過程具有一定的文化背景,通過對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的深入學(xué)習(xí),可以讓學(xué)生對(duì)其產(chǎn)生濃厚的興趣教師采用 “故事導(dǎo)入” 的方式講授,先由一些人文故事吸引學(xué)生的注意力和興趣,然后慢慢引導(dǎo)學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生的一些實(shí)際背景,讓學(xué)生知道導(dǎo)數(shù)這一概念的產(chǎn)生是為了解決生活中的實(shí)際問題

老師以講故事的形式開始引入,例如:微積分有著一段相當(dāng)漫長的歷史,早在兩千多年前,研究數(shù)學(xué)和力學(xué)的科學(xué)家,阿基米德在《圓的測量》著作的論述中就蘊(yùn)含著微積分的思想劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓周和體而無所失矣”這些例子中描述的都是很典型的極限概念到了17世紀(jì),隨著數(shù)學(xué)和物理的快速發(fā)展,科學(xué)家們遇到的問題主要有以下幾種類型:第一類是研究運(yùn)動(dòng)中的某時(shí)刻的速度問題;第二類是求曲線的切線問題;第三類是求函數(shù)的最值問題;第四類是求曲線長、曲線圍成的面積，以及曲面圍成的體積的問題針對(duì)這些問題,數(shù)學(xué)家們做了大量研究,這也為后面牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分打下了基礎(chǔ)在17世紀(jì)下半葉,導(dǎo)數(shù)才真正被人們所了解,牛頓和萊布尼茨在這個(gè)時(shí)期是主要的代表人物牛頓在研究變速運(yùn)動(dòng)的物體在某個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度的實(shí)驗(yàn)過程中,發(fā)現(xiàn)了無窮小元素;萊布尼茨從幾何的角度入手,提出曲線的切線就是連接曲線上無限接近兩點(diǎn)的直線

故事講完后,老師開始?xì)w納與導(dǎo)數(shù)概念相關(guān)的內(nèi)容眾所周知,數(shù)學(xué)是來源于生活的,導(dǎo)數(shù)也不例外從導(dǎo)數(shù)的發(fā)展史來看,我們可以知道導(dǎo)數(shù)概念的提出是與生活中實(shí)際問題息息相關(guān)的,我們不難發(fā)現(xiàn)微積分的四類問題是從物理學(xué)和數(shù)學(xué)問題中衍生出來的,都是生活中實(shí)際的問題,導(dǎo)數(shù)概念的提出，正是源于解決這些實(shí)際問題的需要

(三)知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)

學(xué)生在了解導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)的過程中,經(jīng)歷了建模、抽象、歸納這幾個(gè)步驟,本節(jié)將對(duì)這幾個(gè)步驟進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計(jì)

1建立模型

教材首先創(chuàng)設(shè)問題情境，從變化率引入導(dǎo)數(shù)的概念,從“高臺(tái)跳水” 和 “拋物線的切線”兩個(gè)例子出發(fā),讓學(xué)生感知了從平均變化率到瞬時(shí)變化率的轉(zhuǎn)化過程,經(jīng)歷了由割線斜率過渡到切線斜率的過程

對(duì)于前述的高臺(tái)跳水函數(shù),探究如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度教師先考察=1附近的情況,讓學(xué)生以小組合作的方式計(jì)算教材中的每個(gè)時(shí)間間隔的平均速度,得到結(jié)果如表1所示

表1 運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度

(6)

為了使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的了解更加透徹,教師可以引入一個(gè)幾何例子設(shè)曲線是函數(shù)=()=的圖像,在曲線上取一點(diǎn)(1,1)及在點(diǎn)附近任取一點(diǎn)(,),連接,兩點(diǎn)如圖1,讓學(xué)生觀察,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線逐漸向點(diǎn)接近時(shí),觀察割線將繞著點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)(多媒體顯示動(dòng)畫)

圖1 割線與切線的演變關(guān)系

當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近于點(diǎn)，即趨近于0時(shí),如果割線(虛線)有一個(gè)極限位置,那么該直線叫作曲線在點(diǎn)處的切線割線的斜率的極限,就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,則有的切線的斜率是

(7)

學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)操及觀看動(dòng)畫,可以更加直觀、深刻地理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)學(xué)生在說明自己的觀點(diǎn)后,教師可以利用數(shù)學(xué)語言總結(jié),這也充分體現(xiàn)了在教學(xué)中學(xué)生的主體地位,以及教師的主導(dǎo)地位

2抽象概念

教師講透實(shí)例的具體內(nèi)容,抽象出導(dǎo)數(shù)的定義,這樣學(xué)生就很容易接受現(xiàn)用=()來表示高臺(tái)跳水的函數(shù),以及這里要指出的是在定義中

(8)

學(xué)生用更加直觀的數(shù)據(jù)體會(huì) “逼近”方法定義的導(dǎo)數(shù),通過分析這兩個(gè)實(shí)例,從而解決問題由式子(7)和(8)不難發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)問題的答案有一樣的表示形式,現(xiàn)將這種形式用一般的形式表示出來

(9)

叫作函數(shù)=()從到+的平均變化率

3歸納定義

(10)

學(xué)生通過這兩個(gè)實(shí)例,能夠了解平均變化率和瞬時(shí)變化率的含義然后分析這兩個(gè)不同的問題,能夠發(fā)現(xiàn)每個(gè)題的解題答案的表達(dá)形式是相同的,從而把兩個(gè)問題及解決方法轉(zhuǎn)化為一般的形式,就可以得到平均變化率和瞬時(shí)變化率的表達(dá)式在學(xué)習(xí)本節(jié)課的引入部分,學(xué)生在開始就了解到了導(dǎo)數(shù)是一種極限的思想,那么從上述式子中就可以發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)式

(四)體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想

學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念的這一過程中，可以感受到特殊到一般、數(shù)學(xué)建模及數(shù)形結(jié)合的思想

在得到導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)過程中,體現(xiàn)出了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想從兩個(gè)例題可以看出,一類是物理學(xué)中的平均速度和瞬時(shí)速度的問題,另一類則是幾何學(xué)中割線和切線斜率的問題人們對(duì)新一類的事物的認(rèn)識(shí)一般都是從這類事物的個(gè)體開始的,通過對(duì)某些個(gè)例的認(rèn)識(shí)與研究,逐漸積累對(duì)這類事物的了解,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律,總結(jié)規(guī)律,這也就是特殊到一般的思想在本節(jié)教學(xué)中,針對(duì)兩類不同的領(lǐng)域問題，最后答案的形式是統(tǒng)一的,可以將這種特殊形式抽象為一般形式的過程中,讓學(xué)生感受到由特殊到一般的過程的思想方法

導(dǎo)數(shù)概念的數(shù)學(xué)表達(dá)式,是在解決實(shí)際問題的過程中產(chǎn)生的,這一過程中離不開數(shù)學(xué)建模的思想在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中,學(xué)生已經(jīng)了解了導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,并且知道了導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)得到導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式的過程,實(shí)際就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程,“高臺(tái)跳水”就是一個(gè)實(shí)際問題,然后再根據(jù)課本上的問題,以學(xué)生為主體,老師引導(dǎo)學(xué)生建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型并對(duì)其求解在本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)中，老師通過引導(dǎo)學(xué)生建立模型并求解,從而得到了導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式,在解決這一實(shí)際問題時(shí),學(xué)生全程參與了建模的過程,并在其中感受到了數(shù)學(xué)建模的思想

關(guān)于求拋物線的切線的問題,是一個(gè)抽象的問題,所以在這部分的教學(xué)中需要采用數(shù)形結(jié)合的形式針對(duì)切線這一板塊的學(xué)習(xí),學(xué)生的興趣較高,但學(xué)生在數(shù)學(xué)語言的表達(dá)及數(shù)形結(jié)合的能力上仍有不足學(xué)生僅僅通過觀察曲線的割線的變化趨勢就得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義是比較困難的,但是目前越來越多的現(xiàn)代技術(shù)被應(yīng)用在教學(xué)中,所以此時(shí)可以利用多媒體動(dòng)態(tài)演示割線逼近切線的過程,既可以讓學(xué)生了解無限逼近的思維模式,又可以讓學(xué)生更加透徹地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義

四、結(jié)語

導(dǎo)數(shù)是微積分中最重要、最基本且含意深刻的概念之一利用導(dǎo)數(shù)方法可以更好地研究初等函數(shù)的性質(zhì),加深學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解本文基于《新課標(biāo)》中對(duì)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的四條要求(即 “經(jīng)歷—了解—知道—體會(huì)” 的路徑)展開研究首先闡述了《新課標(biāo)》對(duì)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)要求然后針對(duì)每一個(gè)要求提出具體的教學(xué)設(shè)計(jì)的建議,通過視頻,讓學(xué)生從視覺上經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程;借助導(dǎo)數(shù)的發(fā)展史,從導(dǎo)數(shù)的歷史背景過渡到實(shí)際例子中,從而讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景;通過課本上的兩個(gè)例題的答案,抽象出了一個(gè)一般式,從而讓學(xué)生知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá);在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)過程中,讓學(xué)生體會(huì)到由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合及數(shù)學(xué)建模的思想本文是嚴(yán)格按照《新課標(biāo)》要求(即 “經(jīng)歷—了解—知道—體會(huì)” 的路徑)設(shè)計(jì)教學(xué),研究視角新穎,為高中教師教授導(dǎo)數(shù)概念提供了可操作性、可復(fù)制性的教學(xué)思路