盧宜玲，李軍祥，齊緣

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

2020 年2 月11 日，世界衛(wèi)生組織（WHO）正式將造成肺炎疫情的新型冠狀病毒命名為COVID-2019[1]。截至2021 年9 月23 日，全球累計(jì)確診病例達(dá)22 937 萬(wàn)人，中國(guó)達(dá)124 232 人[2]。以中國(guó)為例，在疫情爆發(fā)達(dá)到峰值時(shí)，醫(yī)生的感染占比達(dá)到所有確診患者的2%，并發(fā)生多起因醫(yī)生堅(jiān)守工作崗位而疲勞猝死的事件。同時(shí)，全球多個(gè)國(guó)家與地區(qū)爆發(fā)疫情，造成全球性醫(yī)療資源短缺。因此，在公共突發(fā)的大規(guī)模應(yīng)急醫(yī)療中，為了最大程度地提高患者的救治率，實(shí)現(xiàn)科學(xué)的醫(yī)生資源分配，協(xié)同實(shí)施快速有效的救治任務(wù)顯得尤為重要。

目前，應(yīng)急醫(yī)療資源配置引起了國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注，比如，Belciug等[3]將排隊(duì)系統(tǒng)、分區(qū)模型和基于進(jìn)化的優(yōu)化方法整合在同一框架下，對(duì)醫(yī)院科室資源配置進(jìn)行復(fù)雜分析，探討輸入?yún)?shù)的系統(tǒng)性變化對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的結(jié)果和資源利用的影響。Cochran等[4]推導(dǎo)出一個(gè)開(kāi)放排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型的急診科設(shè)計(jì)，實(shí)時(shí)地用等待時(shí)間和溢出概率作為服務(wù)質(zhì)量目標(biāo)來(lái)衡量區(qū)域的大小，旨在提高急診室的效率。以上研究主要考慮外界因素對(duì)整體服務(wù)流程效率的影響，探究疲勞度對(duì)醫(yī)生的服務(wù)效率產(chǎn)生的影響。現(xiàn)有的醫(yī)生疲勞度相關(guān)研究中，學(xué)者們大多采用主觀分析法（如問(wèn)卷調(diào)查法和定量打分法）進(jìn)行研究，但這些方法的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性存在一定的不足之處。比如，殷雪蓮等[5]采用疲勞評(píng)定量表對(duì)急診醫(yī)生的疲勞情況進(jìn)行評(píng)分，得出資源的優(yōu)化及合適的培養(yǎng)模式可能是降低醫(yī)生疲勞度的有效策略。

疫情期間，醫(yī)患矛盾更加突出，這也可能是導(dǎo)致醫(yī)生疲勞度增加的一個(gè)重要因素。但實(shí)際研究中，很少有學(xué)者在研究醫(yī)生疲勞度的同時(shí)，綜合考慮系統(tǒng)中排隊(duì)的患者，大量文獻(xiàn)僅限于單獨(dú)運(yùn)用排隊(duì)論、生滅過(guò)程、馬爾可夫鏈相關(guān)的知識(shí)來(lái)研究排隊(duì)系統(tǒng)中各項(xiàng)指標(biāo)并進(jìn)行優(yōu)化。例如，周臻等[6]用排隊(duì)論模型計(jì)算消化科普通門(mén)診患者排隊(duì)系統(tǒng)中的各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)，并提出合理的配置方案。

本文將急診科醫(yī)生作為研究對(duì)象，通過(guò)分析疫情下影響急診醫(yī)生疲勞度的內(nèi)外疲勞因子，建立可靠的降低急診醫(yī)生疲勞度的數(shù)學(xué)模型，將主觀式的疲勞度進(jìn)行定量化分析，并利用熵權(quán)-模糊層次分析法計(jì)算各疲勞因子對(duì)醫(yī)生疲勞度的影響權(quán)重。其次，運(yùn)用排隊(duì)論相關(guān)知識(shí)將離散穩(wěn)態(tài)的醫(yī)生服務(wù)速率根據(jù)醫(yī)生的工作時(shí)間長(zhǎng)度分段設(shè)置成可變值，建立了多服務(wù)臺(tái)、服務(wù)率可變且考慮醫(yī)生座席輪休制度的患者排隊(duì)系統(tǒng)生滅模型。最后，建立醫(yī)生疲勞度與患者排隊(duì)模型之間的聯(lián)系，探究急診醫(yī)生的最優(yōu)工作時(shí)間段長(zhǎng)度。同時(shí)，滿足醫(yī)生疲勞度最小化和患者的滿意度最大化，實(shí)現(xiàn)國(guó)家突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)期間醫(yī)生和患者之間的雙方互利。由于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜性及其本身的隨機(jī)性，需要使用仿真方法來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究。因此，借助ProModel 這一靈活、可靠的離散事件仿真軟件，將醫(yī)院面臨的諸多排隊(duì)問(wèn)題可視化，從而對(duì)其進(jìn)行有效合理的分析。

1 影響醫(yī)生疲勞度的內(nèi)外因子

1.1 問(wèn)題描述

在系統(tǒng)中考慮復(fù)雜多變的內(nèi)外疲勞因子對(duì)醫(yī)生疲勞度的影響情況，針對(duì)不同影響因子制定相應(yīng)緩解疲勞度的方法。以1 個(gè)工作日為單位，研究多名急診醫(yī)生1 d 中各疲勞因子的累計(jì)值。因醫(yī)生在工作間隙需休息調(diào)整，設(shè)ai為第i次工作(i=1,2,···,Φ)，Φ為醫(yī)生工作次數(shù)的最大值。Ti為第i次工作中的工作持續(xù)時(shí)間。bi為第i次休息，休息時(shí)長(zhǎng)為。急診醫(yī)生的疲勞度與其工作時(shí)間成正比例關(guān)系，假設(shè)當(dāng)總工作時(shí)間超過(guò)T時(shí)，其服務(wù)速率將發(fā)生變化，將以一個(gè)降低的速率進(jìn)行服務(wù)，從而用生滅過(guò)程分析在多服務(wù)臺(tái)可變服務(wù)速率的條件下患者的排隊(duì)情況。系統(tǒng)要求根據(jù)患者需求和實(shí)時(shí)情況制定合理的醫(yī)生排班計(jì)劃，降低醫(yī)生疲勞度的同時(shí)最大化患者的滿意度。

1.2 疲勞因子

調(diào)查研究顯示由于疫情的特殊性，醫(yī)務(wù)工作者出于治病救人的心理特征會(huì)忽視更多外在的影響因素，但自身無(wú)法控制的因素會(huì)直接影響醫(yī)生的疲勞狀況。文獻(xiàn)[6]根據(jù)美國(guó)精神行為科學(xué)研究室的疲勞評(píng)定量表，結(jié)合醫(yī)生職業(yè)的情況得到醫(yī)生的疲勞評(píng)定量表排序，選取4 個(gè)重要的影響因子進(jìn)行詳細(xì)分析。為了準(zhǔn)確地體現(xiàn)各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)于醫(yī)生疲勞度的影響程度，采用熵權(quán)-模糊層次分析法確定各個(gè)指標(biāo)的相對(duì)權(quán)重。

1.2.1 內(nèi)疲勞因子

a.年齡。有研究表明疲勞度與年齡有關(guān)，例如：尹紹雅等[7]通過(guò)單因素方差及多因素Logistic 回歸分析的方法得出結(jié)論：年齡大、從業(yè)年限長(zhǎng)的醫(yī)生更容易出現(xiàn)疲勞現(xiàn)象。據(jù)統(tǒng)計(jì)，40 歲以上的醫(yī)生發(fā)生疲勞的概率高達(dá)64.3%，明顯超過(guò)40 歲以下的醫(yī)生[8]。工作年限高的醫(yī)生在作業(yè)疲勞因子的怠倦感和視覺(jué)疲勞感上明顯高于工作年限低的醫(yī)生。

在考慮年齡對(duì)疲勞度的影響情況時(shí)，假設(shè)醫(yī)生的年齡和從業(yè)年限成正比。在應(yīng)急就診過(guò)程中，精神高度緊張引起的精神疲勞會(huì)影響醫(yī)生的工作效率。40 歲以下的年輕醫(yī)生單位時(shí)間引起的精神疲勞度值為 υ，40 歲以上的年長(zhǎng)醫(yī)生單位時(shí)間引起的精神疲勞度值為 υ′，且υ ＜υ′。醫(yī)生因年齡因素產(chǎn)生的疲勞度累計(jì)值設(shè)為L(zhǎng)1，通過(guò)兩類(lèi)年齡段醫(yī)生人數(shù)分別與ai次工作所有工作時(shí)段的疲勞值進(jìn)行求和來(lái)表示，即

式中：cr為年輕醫(yī)生人數(shù)；co為年長(zhǎng)醫(yī)生人數(shù)。

為了綜合減少疲勞度，在配置醫(yī)生比例上要遵從年輕和年長(zhǎng)醫(yī)生人數(shù)的均衡搭配，設(shè) Δ1為配置比例系數(shù)，以保證兩類(lèi)年齡層級(jí)醫(yī)生在精神層面和經(jīng)驗(yàn)層面的互補(bǔ)，即

b.性格特征。醫(yī)生不同的性格特征對(duì)疲勞度的感受是不一樣的，艾森克用因素分析法提出了神經(jīng)質(zhì)、內(nèi)-外傾性以及精神質(zhì)三維性格特征的理論[9]。根據(jù)內(nèi)-外傾性理論對(duì)醫(yī)生的性格特征進(jìn)行分類(lèi)，假設(shè)內(nèi)傾性格的醫(yī)生數(shù)量為cq，在正常條件下，他們的大腦皮層已具有高度的興奮水平，其單位時(shí)間引起的疲勞度值為 σ，如果進(jìn)一步提高他們的興奮水平，那么會(huì)增加他們的疲勞效果k1。外傾性格的醫(yī)生數(shù)量為cp，正常條件下，單位時(shí)間內(nèi)他們大腦皮層興奮水平所引起的疲勞度值 φ相對(duì)較低，若提高他們的興奮水平，相反會(huì)減少他們的疲勞效果k2。醫(yī)生因性格差異所產(chǎn)生的疲勞累計(jì)值L2通過(guò)兩類(lèi)性格的醫(yī)生人數(shù)分別與ai次工作所有工作時(shí)段的疲勞值進(jìn)行求和來(lái)表示，即

為了減少醫(yī)生的疲勞度，以避免內(nèi)傾性格的醫(yī)生之間進(jìn)行搭配工作，在實(shí)際人員排班中應(yīng)實(shí)行性格互補(bǔ)原則，設(shè) Δ2為配置比例系數(shù)，即

1.2.2 外疲勞因子

a.工作壓力。醫(yī)院復(fù)雜的環(huán)境因素會(huì)直接影響醫(yī)生的疲勞感。急診科醫(yī)生在疫情爆發(fā)階段，每天需接待成百上千的疑似患者，首先，暴露在嘈雜的物理環(huán)境中而導(dǎo)致人體產(chǎn)生的單位急性疲勞值為m1。其次，醫(yī)院中仍存在生化有害因子及傳染性病毒，導(dǎo)致醫(yī)生產(chǎn)生的單位生化疲勞值為m2[10]。最后，有研究表明[11]，在遇到眾多重癥患者時(shí)，醫(yī)生精神高度緊張，心理壓力加重，導(dǎo)致其因心理能量耗竭而出現(xiàn)疲勞，醫(yī)生因此產(chǎn)生的單位心理壓力疲勞值為m3。以上工作壓力是客觀存在并難以輕易消除的。為了緩解醫(yī)生在緊急環(huán)境下的工作壓力與疲勞，國(guó)家政府單位及醫(yī)院管理者頒布和制定了對(duì)醫(yī)生的相關(guān)激勵(lì)政策，其所能緩解的單位疲勞效果值設(shè)為 ?。醫(yī)生因工作壓力影響的疲勞度累計(jì)值為L(zhǎng)3，通過(guò)醫(yī)生數(shù)量c在ai次工作所有工作時(shí)段產(chǎn)生的3 種單位疲勞值與緩解單位疲勞效果值的累差進(jìn)行求和來(lái)表示，即

b.休息制度。休息制度的科學(xué)性會(huì)影響醫(yī)生疲勞狀態(tài)。假設(shè)以1 個(gè)工作日為單位，將醫(yī)生一天的工作負(fù)荷L4作為評(píng)估值，用累計(jì)工作階段的疲勞值減去工作間隙休息所減輕的疲勞值，即

式中：c為醫(yī)生數(shù)量；α為醫(yī)生的工作疲勞度權(quán)重系數(shù)；γ為醫(yī)生休息效果的權(quán)重系數(shù)；A為醫(yī)生工作期間疲勞度累積值；B為醫(yī)生休息效果的累積值，即

另外，考慮疲勞現(xiàn)象引起惡化效應(yīng)[12]的現(xiàn)實(shí)因素，必須設(shè)定一個(gè)醫(yī)生服務(wù)時(shí)間的上界Timax，避免患者開(kāi)始時(shí)間較晚或排隊(duì)位置靠后導(dǎo)致實(shí)際醫(yī)生服務(wù)時(shí)間趨向無(wú)窮，即

1.2.3 其他疲勞因子

除了以上分析的4 個(gè)內(nèi)外疲勞因子，醫(yī)生的工作疲勞狀況還與一些可控的因素有關(guān)，比如：所處崗位及職稱(chēng)、所承擔(dān)的責(zé)任大小、工資水平、家庭負(fù)擔(dān)及支持度、同事之間的相處模式等[13]。假設(shè)將以上的s個(gè)疲勞因子作為一個(gè)整體考慮，每個(gè)因子在每次工作時(shí)間段的單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的疲勞值為Q?(?=1,2,···,s-4)，則各疲勞因子1 個(gè)工作日的累計(jì)值為L(zhǎng)5，通過(guò)其他疲勞因子（除上述已分析的4 個(gè)以外）與ai次工作所有工作時(shí)段的疲勞值進(jìn)行求和來(lái)表示，即

1.3 熵權(quán)-模糊層次分析法計(jì)算指標(biāo)權(quán)重

在模型研究中，醫(yī)生的疲勞度是復(fù)雜的多因子系統(tǒng)，模糊性較強(qiáng)，采用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行描述顯得主觀性太強(qiáng)。因此，運(yùn)用層次分析法結(jié)合模糊矩陣[14]的相關(guān)性質(zhì)和理論來(lái)計(jì)算各內(nèi)外疲勞影響因子的權(quán)重（如圖1 所示），并用熵對(duì)準(zhǔn)則層的指標(biāo)權(quán)重進(jìn)行修正。此方法將主觀權(quán)重和客觀權(quán)重結(jié)合使用，不僅可以解決不能夠準(zhǔn)確反映指標(biāo)的模糊性和不確定性等問(wèn)題，還可以有效減少主觀因素對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響，使得評(píng)價(jià)具有良好的實(shí)用效果和可靠性。

圖1 疲勞因子層次結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Hierarchical structure model of fatigue factor

1.3.1 構(gòu)建優(yōu)先關(guān)系矩陣

在構(gòu)造的層次模型中，因素間的兩兩比較判斷采用對(duì)比一個(gè)因素比另一個(gè)因素的重要程度來(lái)定量表示，則得到模糊判斷矩陣E=(uvw)x×x，v,w=1,2,···,x分別表示不同的疲勞因子。利用0.1～0.9標(biāo)度法給予數(shù)量標(biāo)度，如表1 所示，并使用判斷矩陣，兩兩比較各因素的相對(duì)重要程度。

表1 模糊標(biāo)度及含義Tab.1 Fuzzy scale and its meaning

1.3.2 構(gòu)建模糊一致矩陣

1.3.3 利用公式求出各疲勞因子的權(quán)重

因?yàn)镋=(uvw)x×x是一個(gè)模糊互補(bǔ)判斷矩陣，W=(e1,e2,···,ex)T是E的權(quán)重向量，則W滿足

1.3.4 熵權(quán)法修正疲勞因子權(quán)重

步驟1通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的評(píng)價(jià)矩陣J=(jvw)x×x計(jì)算評(píng)價(jià)疲勞因子權(quán)重的信息熵yv：

步驟2計(jì)算疲勞因子v的偏差指數(shù)gv：

步驟3利用偏差指數(shù)對(duì)所求權(quán)重進(jìn)行修正：

綜上，急診科全體醫(yī)生1 個(gè)工作日中各疲勞因子累計(jì)值為

式中，W*=表示修正后的權(quán)重向量。

每次工作時(shí)間段的平均每時(shí)刻疲勞值為

2 考慮疲勞度的可變服務(wù)率排隊(duì)策略

2.1 排隊(duì)系統(tǒng)規(guī)則

排隊(duì)論是在研究各種排隊(duì)系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解決相應(yīng)排隊(duì)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制的問(wèn)題。一般排隊(duì)系統(tǒng)都有輸入過(guò)程、服務(wù)規(guī)則和服務(wù)臺(tái)3 個(gè)組成部分[15]。本文結(jié)合排隊(duì)論的相關(guān)知識(shí)建立針對(duì)新型冠狀病毒患者的急診排隊(duì)模型，將每個(gè)急診醫(yī)生服務(wù)點(diǎn)假設(shè)為一個(gè)服務(wù)臺(tái)。該模型可描述多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)，按照排隊(duì)論的3 個(gè)組成部分進(jìn)行合理的仿真，如圖2 所示。

圖2 排隊(duì)流程圖Fig.2 Flow chart of queuing

2.1.1 輸入來(lái)源

輸入來(lái)源指新型冠病毒疑似患者到達(dá)急診服務(wù)臺(tái)時(shí)的規(guī)律。對(duì)于每一個(gè)時(shí)段，患者到達(dá)急診服務(wù)臺(tái)的時(shí)間間隔可能是隨機(jī)的，可以近似地假設(shè)各類(lèi)患者的到達(dá)時(shí)間間隔均服從參數(shù)為 λ的負(fù)指數(shù)分布[16]。

2.1.2 患者排隊(duì)規(guī)則

新型冠狀病毒的疑似患者到達(dá)急診服務(wù)臺(tái)后，一般情況應(yīng)服從先到先服務(wù)（first come first serve）的排隊(duì)規(guī)則，以免不公平或插隊(duì)現(xiàn)象造成不必要的醫(yī)患糾紛。但是，由于急診的特殊性，對(duì)新冠病毒病癥嚴(yán)重的患者實(shí)行非強(qiáng)占優(yōu)先權(quán)服務(wù)（non-preemptive priorities）[17]，即指當(dāng)一個(gè)重癥患者到達(dá)時(shí)，也需等醫(yī)生正在服務(wù)的患者服務(wù)結(jié)束后，方可接受服務(wù)。

2.1.3 醫(yī)生服務(wù)機(jī)構(gòu)

服務(wù)機(jī)構(gòu)指急診服務(wù)臺(tái)，體現(xiàn)為患者提供服務(wù)的數(shù)量及規(guī)律和每位急診醫(yī)生的服務(wù)時(shí)間及速率?？紤]現(xiàn)實(shí)情形建立多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式服務(wù)，即給定的c個(gè)急診服務(wù)臺(tái)（每個(gè)服務(wù)臺(tái)一位醫(yī)生進(jìn)行工作，即服務(wù)臺(tái)數(shù)量等同于醫(yī)生數(shù)量）同時(shí)為不同患者提供服務(wù)，且服務(wù)臺(tái)每次工作時(shí)僅服務(wù)1 位患者，每位患者不可重復(fù)就診，則設(shè)XIΓ為0-1 約束變量，若患者I在服務(wù)臺(tái) Γ就診則為1，否則為0，即

式中，c+?為系統(tǒng)可容納最大負(fù)載量。

2.2 排隊(duì)系統(tǒng)模型建立

在診治患者的過(guò)程中，可根據(jù)當(dāng)前的醫(yī)生工作時(shí)間改變其平均服務(wù)強(qiáng)度。當(dāng)醫(yī)生總工作時(shí)間未超過(guò)T，且此時(shí)系統(tǒng)中的患者人數(shù)小于c+n時(shí)（為了方便后續(xù)計(jì)算，此時(shí)系統(tǒng)總患者閾值用c+n表示），醫(yī)生的服務(wù)速率為 μ1（表示單位時(shí)間診治人數(shù)均值），ρ1為患者在快診治速率下的診治強(qiáng)度；反之，醫(yī)生的服務(wù)速率 μ2因產(chǎn)生疲勞而有所降低，設(shè) ρ2為患者在慢診治速率下的診治強(qiáng)度，其中μ1＞μ2，即

b.因醫(yī)生需要輪休，假設(shè)每次僅一位醫(yī)生進(jìn)行休息，則

圖3 多服務(wù)臺(tái)可變服務(wù)速率排隊(duì)模型流程圖Fig.3 Flow chart of variable service rate queuing model for multiple service stations

當(dāng)系統(tǒng)中患者人數(shù)超過(guò)服務(wù)臺(tái)人數(shù)后開(kāi)始考慮多服務(wù)臺(tái)輪休制度，其中ι=1,2,···分別表示在系統(tǒng)中狀態(tài)時(shí)醫(yī)生服務(wù)臺(tái)的服務(wù)數(shù)量。

對(duì)上述情形采用生滅過(guò)程進(jìn)行建模，尋找穩(wěn)態(tài)水平是生滅過(guò)程建模的重要問(wèn)題，現(xiàn)給出生滅過(guò)程穩(wěn)態(tài)條件的定理及證明。

定理若ρ1=λ/μ1，ρ2=λ/μ2，且ρi＜1(i=1,2)，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則存在服務(wù)率可變的排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布：

證明由生滅過(guò)程平衡狀態(tài)的K 氏代數(shù)方程[18]（輸入率等于輸出率）得：

利用以上求得的運(yùn)行指標(biāo)，根據(jù)Little 公式[19]推出，患者等待時(shí)間為

在疫情期間，患者對(duì)醫(yī)生的服務(wù)滿意度并不是剛性的，此時(shí)等待時(shí)間則變成決定患者滿意度的重要因素。類(lèi)似文獻(xiàn)[20]，假定患者滿意度是其等待時(shí)間的指數(shù)函數(shù)：

式中：S為患者的滿意度；β(β ≥0)為患者滿意度對(duì)等待時(shí)間的影響系數(shù)。由式（19）可知，患者的等待時(shí)間越長(zhǎng)，則患者的滿意度越低。

充分考慮醫(yī)生和患者雙方的需求，以其為出發(fā)點(diǎn)，優(yōu)化目標(biāo)為急診醫(yī)生疲勞度最小化和患者滿意度最大化，則

相關(guān)文獻(xiàn)研究表明[21]，對(duì)于多目標(biāo)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。在轉(zhuǎn)換時(shí)，因2 個(gè)參數(shù)指標(biāo)的單位不同，故對(duì)二者進(jìn)行無(wú)量綱處理，使最小，S最大，得到如下多目標(biāo)聯(lián)合優(yōu)化模型：

3 ProModel 仿真

3.1 模型仿真步驟

對(duì)考慮疲勞度的可變服務(wù)速率排隊(duì)模型進(jìn)行仿真優(yōu)化求解有以下兩個(gè)難點(diǎn)：其一，由于考慮醫(yī)生疲勞度的模型具有抽象性、動(dòng)態(tài)性等問(wèn)題，采用一般的優(yōu)化算法不易求解；其二，基于生滅排隊(duì)過(guò)程分析有多個(gè)運(yùn)行指標(biāo)需要經(jīng)過(guò)大量的數(shù)據(jù)處理，運(yùn)用現(xiàn)代啟發(fā)式優(yōu)化算法反復(fù)迭代不僅復(fù)雜，且難以考慮其他因素對(duì)各運(yùn)行指標(biāo)的影響。

借助ProModel 這個(gè)模擬離散系統(tǒng)的仿真軟件，將整個(gè)研究過(guò)程可視化，并分類(lèi)整合各運(yùn)行數(shù)據(jù)，其時(shí)間分辨率可達(dá)0.000 1～36 s[22]，可高效和精確地對(duì)模型進(jìn)行求解。具體運(yùn)行流程如圖4所示。仿真實(shí)驗(yàn)根據(jù)現(xiàn)實(shí)的場(chǎng)景進(jìn)行，將實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組進(jìn)行對(duì)比分析，實(shí)驗(yàn)組僅增加考慮急診醫(yī)生在工作中的內(nèi)外疲勞因子的影響因素，使服務(wù)效率發(fā)生變化，其余變量與對(duì)照組保持一致，從而判斷緩解醫(yī)生的疲勞度是否對(duì)減少患者等待時(shí)間和提高滿意度有一定的影響。

圖4 模型仿真步驟流程圖Fig.4 Flow chart of model simulation step

3.2 仿真模塊分析

3.2.1 Location（位置）

Location 主要用來(lái)表示在醫(yī)院對(duì)患者進(jìn)行排隊(duì)等待的固定地點(diǎn)或場(chǎng)所、相應(yīng)的容量及單元數(shù)，并設(shè)置時(shí)間序列（time series）收集基本的數(shù)據(jù)和追蹤位置的時(shí)間序列值，定義位置的優(yōu)先等級(jí)及排隊(duì)規(guī)則，如表2 所示。

表2 位置界面Tab.2 Location interface

3.2.2 Entities（實(shí)體）/Arrivals（到達(dá)）

Entities 是仿真要服務(wù)的對(duì)象，本文指醫(yī)院中就診的患者。Arrivals 指新患者進(jìn)入仿真系統(tǒng)，如表3 所示。表中，P(2)表示患者的到達(dá)服從λ=2 的泊松分布。

表3 實(shí)體/到達(dá)界面Tab.3 Entities/Arrivals interface

3.2.3 Resources（資源）

Resources 是指醫(yī)生，一般在位置之間移動(dòng)并且按照路徑網(wǎng)絡(luò)設(shè)置的路線運(yùn)動(dòng)。仿真配置比例系數(shù) Δ1和 Δ2均為1。資源模塊主要包括詳細(xì)參數(shù)設(shè)置，如醫(yī)生分配路徑網(wǎng)絡(luò)、醫(yī)生速度、服務(wù)每個(gè)患者的時(shí)間。收集統(tǒng)計(jì)資源中所有單元的平均利用時(shí)間和活動(dòng)時(shí)間。設(shè)置每個(gè)醫(yī)生座席停工時(shí)間，考慮模型的可實(shí)現(xiàn)性，假設(shè)各服務(wù)臺(tái)醫(yī)生每次工作時(shí)長(zhǎng)近似相等。由于輪休、初始和末尾工作階段時(shí)長(zhǎng)之和近似相等，依舊取其均值進(jìn)行分析，休息、輪班如圖5 所示。其中，停工時(shí)間設(shè)置每個(gè)座席停工時(shí)間的優(yōu)先級(jí)（包括進(jìn)入及保持休息的優(yōu)先等級(jí)），目的是為了保證醫(yī)生在預(yù)設(shè)的休息時(shí)間結(jié)束之前回到座席，運(yùn)用邏輯節(jié)點(diǎn)來(lái)定義醫(yī)生進(jìn)入或者離開(kāi)某個(gè)節(jié)點(diǎn)的邏輯動(dòng)作。

圖5 醫(yī)生座席輪休圖Fig.5 Rotation of doctors' seats

3.2.4 Processing（處理）

Processing 定義了患者在仿真運(yùn)行中的路由，也定義了患者進(jìn)入每個(gè)位置上的作業(yè)內(nèi)容。設(shè)置各個(gè)患者和醫(yī)生之間的邏輯關(guān)系，通過(guò)使用系統(tǒng)函數(shù)及數(shù)學(xué)語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)醫(yī)生的疲勞度約束，利用處理編輯表為系統(tǒng)中每個(gè)位置的患者創(chuàng)建操作邏輯及移動(dòng)邏輯來(lái)實(shí)現(xiàn)模型約束。

3.3 模糊層次分析法計(jì)算各疲勞因子權(quán)重

賦值v,w=1,2,3,4,5分別表示年齡特征、性格特征、工作壓力、休息制度、其他疲勞因子。通過(guò)相關(guān)文獻(xiàn)研究得到各數(shù)量標(biāo)度即疲勞度的相關(guān)性系數(shù)[13]，得到相關(guān)性分析結(jié)果，如表4 所示。

表4 相關(guān)性分析結(jié)果Tab.4 Results of correlation analysis

在計(jì)算內(nèi)外疲勞因子對(duì)醫(yī)生疲勞度的影響權(quán)重過(guò)程中，通過(guò)式（10）驗(yàn)證唯一靠人的主觀而給出的模糊互補(bǔ)判斷矩陣已通過(guò)一致性檢驗(yàn)。根據(jù)式（11）及熵權(quán)法修正權(quán)重步驟1～3 計(jì)算得出內(nèi)外疲勞因子對(duì)醫(yī)生疲勞度的影響權(quán)重如表5 所示。

表5 熵權(quán)修正后的疲勞因子權(quán)重Tab.5 Entropy-weighted corrected fatigue factor weights

在內(nèi)疲勞因子仿真中分別探析不同年齡和性格醫(yī)生的各服務(wù)指標(biāo)，從而創(chuàng)建多條路由，其權(quán)重用在選擇路由目標(biāo)的規(guī)則（Rules）模塊中。外疲勞因子各種類(lèi)醫(yī)生均受用，因此不分別討論，其權(quán)重用在資源（Resources）模塊的路徑網(wǎng)絡(luò)中。熵權(quán)-模糊層次分析法所得權(quán)重更加細(xì)化了仿真的約束條件，增加了仿真結(jié)果的精確度。

4 數(shù)值分析

優(yōu)化模型中 ?的取值對(duì)P產(chǎn)生影響，不同的 ?可能出現(xiàn)不同的評(píng)價(jià)結(jié)果。由文獻(xiàn)[23]中醫(yī)生和患者的演化博弈模型結(jié)論得出：在考慮醫(yī)生的疲勞度和患者的滿意度處于1∶1 均衡時(shí)，預(yù)期可達(dá)到均衡。因此，在仿真實(shí)驗(yàn)中將 ?取0.5 的固定系數(shù)進(jìn)行求解分析，對(duì)二者賦予同等權(quán)重。

根據(jù)上述仿真輸出結(jié)果，可作如下分析：由表6 仿真結(jié)果可知，考慮醫(yī)生疲勞度的醫(yī)生服務(wù)模型中，其實(shí)際總工作時(shí)間明顯降低，控制在8.68 h。與此同時(shí)，各項(xiàng)服務(wù)指標(biāo)也發(fā)生了變化，傳統(tǒng)醫(yī)生服務(wù)模型的隊(duì)列阻塞率高達(dá)57.69%，醫(yī)生門(mén)診座席的平均空閑率達(dá)49.23%。由此，可初步判定，隊(duì)列如果長(zhǎng)期處于擁堵的狀態(tài)，并且門(mén)診座席的利用率不高，將造成時(shí)間成本和人力成本的浪費(fèi)。由人因工程學(xué)相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，人員工作空閑率一般控制在15%～25%。在考慮醫(yī)生疲勞度的醫(yī)生服務(wù)模型中，隊(duì)列阻塞率下降了22.2%，且座席的平均空閑率降低了22.99%，醫(yī)生服務(wù)率提高了27.54%，總體的利用率達(dá)到了優(yōu)化的效果。

表6 仿真結(jié)果Tab.6 Simulation results

如圖6 所示，在考慮醫(yī)生疲勞度的模型中，分別研究不同性格、年齡醫(yī)生的座席利用率。優(yōu)化后的各座席利用率明顯高于不考慮醫(yī)生疲勞度的座席利用率。由此可見(jiàn)，若醫(yī)生產(chǎn)生一定的疲勞度，對(duì)其座席的利用率是有一定影響的。其中，外向年長(zhǎng)的醫(yī)生座席利用率一直處于較高的水平，說(shuō)明該種類(lèi)的醫(yī)生臨床經(jīng)驗(yàn)豐富，心理素質(zhì)較強(qiáng)，在面對(duì)高強(qiáng)度工作時(shí)能保持最佳的狀態(tài)。相反，內(nèi)向年長(zhǎng)醫(yī)生在降低其疲勞度之后，依然有2 個(gè)時(shí)間段的座席利用率低于優(yōu)化前，說(shuō)明在面對(duì)高壓高強(qiáng)度的緊急事件時(shí)，內(nèi)向年長(zhǎng)的醫(yī)生可能會(huì)有更高的心理壓力，導(dǎo)致其座席利用率不高。年輕醫(yī)生的座席利用率的增速明顯較快，因經(jīng)驗(yàn)不足，在適應(yīng)一段時(shí)間后，接受新鮮事物能力較強(qiáng)。因此，在抗疫期間，年輕醫(yī)生成為了不可或缺的主力軍。

圖6 醫(yī)生座席利用率對(duì)比圖Fig.6 Comparison chart of doctors' seat utilization

如圖7 所示，對(duì)模型優(yōu)化前后各醫(yī)生座席的服務(wù)效率進(jìn)行對(duì)比分析。不考慮醫(yī)生疲勞度的座席服務(wù)效率呈下降的趨勢(shì)，說(shuō)明醫(yī)生的疲勞狀況會(huì)影響其服務(wù)效率。在考慮了醫(yī)生疲勞因素后，對(duì)年輕醫(yī)生的服務(wù)效率有明顯的改善作用，說(shuō)明本文提出的科學(xué)輪休制度等相關(guān)方法對(duì)改善年輕醫(yī)生的身體和心理具有一定的幫助。而年長(zhǎng)醫(yī)生的服務(wù)效率均在一定范圍內(nèi)進(jìn)行波動(dòng)，沒(méi)有明顯的下降趨勢(shì)。因此，醫(yī)生疲勞度的降低對(duì)各醫(yī)生座席的服務(wù)效率均有正向影響。

圖7 醫(yī)生服務(wù)效率對(duì)比圖Fig.7 Comparison chart of doctors' service efficiency

如圖8 所示，可以得出兩點(diǎn)結(jié)論：其一，由于重癥疑似患者到達(dá)隊(duì)列時(shí)，有非強(qiáng)制優(yōu)先權(quán)，因此重癥疑似患者的輸出率均大于普通疑似患者，從而保證了高效篩選和檢查重癥患者；其二，在考慮醫(yī)生疲勞度的模型里，其患者輸出率均大于不考慮醫(yī)生疲勞度模型的患者輸出率，換言之，降低醫(yī)生單位時(shí)間內(nèi)的疲勞度后對(duì)患者的輸出率有正向影響作用。

圖8 疑似患者輸出率對(duì)比圖Fig.8 Comparison of output rates of suspected patients

圖9 描述的是患者等待時(shí)間及患者滿意度的一個(gè)雙坐標(biāo)軸圖。無(wú)論是在疫情期間還是日常就診，患者的等待時(shí)間是評(píng)價(jià)患者滿意度的一個(gè)重要指標(biāo)。尤其在此次新型冠狀病毒疫情期間，感染者人數(shù)眾多，時(shí)間尤為緊急，這嚴(yán)重影響了患者的滿意度?？紤]醫(yī)生疲勞度的優(yōu)化模型，患者的等待時(shí)間明顯低于傳統(tǒng)模型，這說(shuō)明通過(guò)對(duì)醫(yī)生座席的合理調(diào)度和患者排隊(duì)的科學(xué)安排，能夠有效提高患者的滿意度。

圖9 患者等待時(shí)間和滿意度對(duì)比圖Fig.9 Comparison of patients' waiting time and satisfaction

5 結(jié)論

降低醫(yī)生的疲勞度不能僅從政策福利的角度來(lái)進(jìn)行，還需要考慮醫(yī)生自身的基本屬性。本文考慮醫(yī)生內(nèi)外疲勞度影響因子，分析疫情下如何將醫(yī)生疲勞度和患者的滿意度達(dá)到一種動(dòng)態(tài)平衡，優(yōu)化醫(yī)患雙方利益。內(nèi)外并進(jìn)地對(duì)醫(yī)生進(jìn)行合理搭配排班，科學(xué)制定休息時(shí)間，加強(qiáng)對(duì)醫(yī)生的政策保障，是緩解醫(yī)生的疲勞度和提高醫(yī)療服務(wù)工作的重要因素。其優(yōu)化結(jié)果對(duì)緊急突發(fā)事件中合理調(diào)整醫(yī)生的日工作量、工作密度、最大負(fù)載，以及合理安排休息時(shí)間、改善工作條件等提供了科學(xué)依據(jù)。本文使用ProModel 仿真軟件，通過(guò)對(duì)實(shí)例進(jìn)行仿真分析，說(shuō)明了仿真方法對(duì)于研究問(wèn)題的有效性。作為對(duì)數(shù)學(xué)建模及求解方法的一個(gè)補(bǔ)充，運(yùn)用理論方法考慮醫(yī)生疲勞度對(duì)服務(wù)效率的影響具有局限性，仿真研究可以使優(yōu)化方法更適合現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景的應(yīng)用，具有很強(qiáng)的理論及現(xiàn)實(shí)意義。