張瑩，葉國菊*，劉尉，趙大方

（1.河海大學理學院,江蘇南京 210098；2.湖北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖北黃石 435002）

Zadeh[1]于1965年提出了模糊集理論。該理論可以更好地處理現(xiàn)實生活中的模糊問題，因此受到了人們的重視，并在各個領域得到了廣泛的應用。在模糊集的應用中，如何對模糊數(shù)進行排序是一個重要的研究問題。在模糊數(shù)排序方法方面，已有很多學者提出在近似、決策、優(yōu)化、預測等模糊應用系統(tǒng)中的方法[2?4]，而這些方法中所排序的模糊數(shù)的隸屬函數(shù)為正規(guī)模糊數(shù)。在實際應用中，并不是所有問題都適合用正規(guī)模糊數(shù)進行描述，例如模糊數(shù)最大隸屬度與1相差較大的情況。因此，Chen等[5]提出了應用更為靈活且具有高度的廣義模糊數(shù)，高度為1時的廣義模糊數(shù)即為正規(guī)模糊數(shù)。之后，許多學者開始研究廣義模糊數(shù)，且廣義模糊數(shù)在風險控制、決策過程、模式識別[6?7]等領域有著良好的研究前景。

另一方面，可能性理論[8]作為模糊決策理論的工具之一，在回歸分析、聚類分析、結構優(yōu)化、模糊邏輯、可能性決策、風險分析和數(shù)據(jù)融合方面有著廣泛的應用[9?10]。1983年，Dubois等[11]首次將可能性理論用于模糊數(shù)排序，通過4個排序指標來確定兩模糊數(shù)之間的大小關系。Lee 等[12]提出了基于模糊數(shù)的均值和離散度的模糊數(shù)排序方法，然而當模糊均值和模糊分布相同時，很難對其排序進行清晰的比較。Gu等[13]提出了一種基于可能性理論的廣義模糊數(shù)排序方法，該方法利用可能均值與可能標準差之和對模糊數(shù)進行排序，較以往排序方法而言，計算簡單且易于應用。當排序A1=[?8,?3],A2=[?6,?3]這兩個區(qū)間模糊數(shù)時，通過該方法得到Mag(A1)=?3以及Mag(A2)=?3，即A1與A2相等，此結論與直覺不符。2021年，Liu 等[14]基于可能性理論，提出了廣義模糊數(shù)排序的可能度公式，然而在可能均值與可能方差相同情況下，無法對廣義模糊數(shù)做出合理區(qū)分。此外，在實際決策問題中，不同決策者對風險的態(tài)度是不同的，決策者風險態(tài)度反映著決策者的知識、背景和經(jīng)驗等，為使決策更加合理，在決策過程中應對決策者風險態(tài)度這一重要影響因素加以考慮。目前已有的模糊數(shù)排序方法中，鮮有提出將可能性理論與決策者風險態(tài)度綜合考慮的方法，從而使得決策過程中丟失的信息比較嚴重，最終導致決策結果不理想。

鑒于以上情況，本文提出一種基于可能性理論和決策者風險態(tài)度的廣義模糊數(shù)排序方法。該方法不僅能彌補已有方法的不足，并且計算簡單，還可同時排序不同類型的廣義模糊數(shù)。接著，利用數(shù)值例子與原有廣義模糊數(shù)的排序方法作比較，以分析決策者風險態(tài)度對廣義模糊數(shù)排序的影響。最后，采用該方法對上海銀行間同業(yè)拆放利率所構成的模糊數(shù)進行排序，進一步驗證本文所提出模糊數(shù)排序方法的合理性與有效性。

1 預備知識

本節(jié)給出模糊數(shù)理論與可能性理論的基本概念。

1.1 模糊數(shù)理論

1.2 可能性理論

2 基于可能性理論的模糊數(shù)排序方法

定義8對于一個廣義L?R模糊數(shù)的大小定義為

其中：λ∈[0,1]反映決策者的態(tài)度，當λ∈[0,0.5)時，決策者對決策事物持悲觀態(tài)度；當λ=0.5時，決策者對決策事物持中立態(tài)度；當λ∈(0.5,1]時，決策者對決策事物持樂觀態(tài)度。

下面本文通過數(shù)值例子的計算和對比分析，說明本文所提方法的合理性與有效性。

例1考慮下列4個廣義三角模糊數(shù)：

具體如圖1所示，試對其進行排序。

圖1 廣義三角模糊數(shù)

下面擬分兩種情況考慮。

1)當決策者持樂觀態(tài)度決策時（取λ=0.8），得到

這個結果與文獻[13]和文獻[14]相同與文獻[16]、[17]的最優(yōu)、最劣結果相同。因此，本文所提出的方法在排序模糊數(shù)上是可行的。

2)當決策者持悲觀態(tài)度決策時（取λ=0.1），得到

當決策者態(tài)度不同時，所得排序結果就會不同。由圖1可知，有些模糊數(shù)差異并不是很明顯，但由于本文所提出的方法考慮了決策者態(tài)度，使得結果更加全面，這可為做出不同決策提供較為全面的參考依據(jù)。因此，將決策者態(tài)度引入排序方法是合理的和必需的。

例2試排序下列兩組模糊數(shù)：

當λ=0.8，即決策者持樂觀態(tài)度決策時，由式（7）得到

現(xiàn)在考慮下列模糊數(shù)：

通過文獻[13]中所提出的模糊數(shù)排序方法，得到

由此，得

而由式(7),當λ=0.8，即決策者持樂觀態(tài)度決策時，得到

注2由上述結果可得,通過文獻[13]中所提方法無法區(qū)分以及不合理區(qū)分因此，本文所提出的方法在排序模糊數(shù)上是有效的。

例3考慮下列兩組廣義模糊數(shù)，分別對它們進行排序。

現(xiàn)通過不同方法對S1和S2進行計算，具體結果如表1所示。

表1 例3不同方法結果比較

由表1可知，通過這些方法得到的結果有一些是相互矛盾的，這一現(xiàn)象表明，模糊數(shù)排序是復雜的；在S1的所有結果中，我們可以看到排序結果并不穩(wěn)定，但通過不同方法得到的最劣結果大多是A2，且本文能克服文獻[16]中不能區(qū)分A1和A2的不足；在S2的所有結果中，我們可以看到A2永遠是最優(yōu)的，并且本文所提方法與文獻[16]和文獻[14]一致。

正如在前面的例子中所看到的，所提出的方法的主要優(yōu)點是：它根據(jù)決策者風險態(tài)度提供了廣義模糊數(shù)的合理全面的排序，并且容易計算、容易應用于實際問題。

3 實例分析

例4[18]上海銀行間同業(yè)拆放利率(Shibor)是銀行在上海批發(fā)(或“銀行間”)貨幣市場上向其他銀行提供無擔保資金的每日參考利率。它是一種簡單的、無擔保的批發(fā)利率，由18家銀行提供的利率計算而來，去掉4個最高和4個最低的利率，然后將剩下的10個利率取平均值。2014年前五個月的數(shù)據(jù)如表2所示?？紤]到整個月指數(shù)的變化，它們被描述為模糊數(shù)，可視化數(shù)據(jù)如圖2所示。Shibor作為貨幣市場參考利率，左右市場決策者的決策，從而間接影響了貨幣市場的發(fā)展。

表22014 年1月至5月上海銀行同業(yè)拆息的模糊數(shù)，ω=1

圖22014 年1月至5月上海銀行間同業(yè)拆放利率模糊數(shù)

當決策者持樂觀態(tài)度時，取λ=0.8。

步驟1：由表1數(shù)據(jù)可知，表中為廣義三角模糊數(shù)，計算廣義三角模糊數(shù)的可能均值，得

步驟2：計算廣義三角模糊數(shù)的可能標準差，得

不同 λ取值時的結果，即決策者持不同態(tài)度時，所得結果不同，排序結果如表3所示。

表3 不同λ取值時所得排序結果

由表3可知：當決策者持悲觀態(tài)度（即λ<0.5，認為由Shibor促進市場發(fā)展穩(wěn)健緩慢才是最好的）時，最優(yōu)月份是二月；當決策者持中立與樂觀態(tài)度（即，認為由Shibor促進市場迅速但不一定穩(wěn)健發(fā)展是好的）時，最優(yōu)月份是一月。

由此可見，在應用可能性理論對模糊數(shù)進行排序進一步達到?jīng)Q策目的時，考慮決策者態(tài)度的決策方法更全面合理而且與實際情況更吻合。

通過不同方法對銀行5個月份的數(shù)據(jù)進行排序對比，排序結果如表4所示。

表4 不同方法所得排序結果

由表4可知：

1)文獻[14]考慮到了可能均值比可能標準差更重要，所以文獻[14]排序結果與本文決策者樂觀時的排序結果一致；但是，由于本文引入變異系數(shù)與決策者風險態(tài)度，因此本文在排序時更加全面。

2)文獻[13]與文獻[18]排序最優(yōu)結果與本文決策者樂觀時的排序最優(yōu)結果一致，都是一月，而它們之間的排序結果的不同主要體現(xiàn)在的順序的不同。由圖2可知，當排序施加決策者態(tài)度影響時，排序結果將有所不同。文獻[13]與文獻[18]沒有考慮決策者態(tài)度，而本文的排序結果可以體現(xiàn)決策者態(tài)度對排序結果的影響。

4 結論

排序問題是模糊決策理論的核心內容之一，很多學者對此進行了廣泛的研究。本文基于可能性理論，并考慮決策者風險態(tài)度，給出了排序廣義模糊數(shù)的公式，并在此基礎上提出了一種新的廣義模糊數(shù)排序方法。該方法不僅有效利用模糊數(shù)在可能性理論方面的信息與決策者態(tài)度信息，還能彌補已有方法的不足，并且計算簡單，可同時排序不同類型的廣義模糊數(shù)。最后本文采用該方法對上海銀行間同業(yè)拆放利率構成的模糊數(shù)進行排序，驗證了本文所提廣義模糊數(shù)排序方法的合理性和有效性。此外，該方法可以應用于各種決策模型和模糊應用系統(tǒng)。