王希，何麗，胡勁松

（西華大學(xué)理學(xué)院，四川成都 610039）

在進(jìn)行非線性擴(kuò)散波的研究時(shí)，Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程[1?3]

所描述的運(yùn)動(dòng)與KdV方程[4]

具有相同的逼近階，能描述大量的物理現(xiàn)象如淺水波和離子波等而占有重要的地位，對(duì)BBM方程式（1）和KdV方程式（2）的數(shù)值研究也引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[5?16]。作為BBM方程式（1）和KdV方程式（2）推廣形式，BBM-KdV方程[17]

（α,γ為實(shí)數(shù)）是弱非線性色散介質(zhì)中長(zhǎng)波單向傳播的重要模型。文獻(xiàn)[18?19]通過(guò)數(shù)值模擬方法證實(shí)了BBM-KdV方程的孤波解和行波解的存在性，并討論了其邊界條件的物理意義。文獻(xiàn)[17]進(jìn)一步對(duì)BBM-KdV方程式（3）提出了兩個(gè)二階精度的數(shù)值求解算法。本文繼續(xù)文獻(xiàn)[17]的研究工作，考慮如下一類(lèi)廣義BBM-KdV方程的初邊值問(wèn)題：

其中，u0(x)是一個(gè)已知的初值函數(shù)，且p≥1為整數(shù)。顯然，方程式（3）即為當(dāng)p=1時(shí)方程式（4）的特殊情形，所以本文研究更具一般性。問(wèn)題式（4）—式（6）具有如下守恒律[17]：

其中E(0)均為與初始條件有關(guān)的常數(shù)。

本文對(duì)問(wèn)題式（4）—式（6）提出了一個(gè)具有二階理論精度的三層平均隱式差分格式，該格式是線性的，數(shù)值計(jì)算時(shí)間也比較節(jié)約，并合理地模擬了守恒量式（7），討論了其差分解的存在唯一性并分析了格式的收斂性和穩(wěn)定性，最后進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。

1 差分格式及守恒律

差分格式式（8）—式（10）對(duì)守恒量式（7）的數(shù)值模擬如下：

定理1差分格式式（8）—式（10）關(guān)于以下離散能量是守恒的，即

其中，n=1,2,···,N?1。

證明：將式（8）與作內(nèi)積，由邊界條件式（10）和分部求和公式[20]，可得

將式（13）、式（14）代入式（12）后，兩端同時(shí)乘以τ，然后對(duì)n遞推可得式（11）。

2 差分格式的可解性

定理2差分格式式（8）—式（10）是唯一可解的。

證明應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。U0由初值條件式（9）確定，再選擇一個(gè)合適的兩層二階格式先計(jì)算出U1，則U0和U1是唯一可解的。假設(shè)Un(n≤N?1)唯一可解，現(xiàn)在考慮式（8）中的Un+1，有

將式（15）與2Un+1做內(nèi)積，由邊界條件式（10）和分部求和公式[20]，有

類(lèi)似式（13），有

又

將式（17）、式（18）代入式（16），整理得

3 差分格式的收斂性和穩(wěn)定性

定義差分格式式（8）—式（10）的截?cái)嗾`差如下：

證明：由式（7）得：

證明：由式（11），可得

再由離散的Sobolev不等式[20]得：‖Un‖∞≤C。

注：定理3也表明差分格式式（8）—式（10）的解Un以‖·‖∞關(guān)于初值無(wú)條件穩(wěn)定。

定理4假設(shè)u0∈則差分格式式（8）—式（10）的解以‖·‖∞收斂到問(wèn)題式（4）—式（6）的解，且收斂階為O(τ2+h2)。

類(lèi)似于式（13），有

再由引理1，定理3以及Cauchy-Schwarz不等式，有

將式（22）—（24）代入式（21），整理有：

兩邊乘以2τ，然后從1到N求和，得

先選擇一個(gè)合適的兩層二階方法（如C-N格式）先計(jì)算出U1，使之滿足：B0=O(τ2+h2)2，又

則由離散的Gronwall不等式[20]可得：BN≤T·O(τ2+h2)2，即

再由離散Sobolev不等式[20]，有

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

對(duì)初邊值問(wèn)題式（4）—式（6）考慮p=3和p=5兩種情形進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。取β=1，γ=0.25，當(dāng)p=3時(shí)，方程式（4）的孤波解為

當(dāng)p=5時(shí)，方程式（4）的孤波解為

需要說(shuō)明的是，該格式是三層格式，不是自啟動(dòng)的，需要先選擇一個(gè)其他兩層的二階方法（如：CN差分格式）先計(jì)算出具有二階精度的U1，再利用初始值U0，才可以算出U2，U3，···。在計(jì)算中，取初值函數(shù)u0(x)=u(x,0)，固定xL=?40,xR=60,T=20。就 τ和h的不同取值對(duì)數(shù)值解和孤波解在幾個(gè)不同時(shí)刻的l∞誤差見(jiàn)表1；格式對(duì)守恒量式（7）的數(shù)值模擬En見(jiàn)表2。

表1 數(shù)值解和孤波解在不同時(shí)刻的l∞誤差

表2 格式對(duì)守恒量式（7）的數(shù)值模擬En

5 結(jié)論

本文對(duì)一類(lèi)帶有齊次邊界條件的廣義BBMKdV方程的初邊值問(wèn)題式（4）—式（6）進(jìn)行了數(shù)值方法研究，提出了一個(gè)三層平均隱式差分格式式（8）—式（11），該格式是無(wú)條件穩(wěn)定的。從表1可知，本文的格式明顯具有二階精度；從表2可以看出，數(shù)值式格式對(duì)原問(wèn)題的守恒性質(zhì)式（7）也進(jìn)行了合理有效地模擬。所以本文數(shù)值求解方法是可靠的。更為重要的是，它是線性化格式，數(shù)值求解時(shí)都不需要迭代，所以計(jì)算時(shí)間相對(duì)比較節(jié)約。