杜嘉儀，明森，麻雅嫻，楊婕

（1.中北大學(xué)數(shù)學(xué)系,山西太原 030051；2.中北大學(xué)大數(shù)據(jù)學(xué)院,山西太原 030051）

本文研究如下帶散射阻尼項和組合記憶項的波動方程的初邊值問題

其中Ω=B1(0)是Rn中的單位球，Ωc=RnB1(0)，μ(1+t)?αut(μ>0，α>1)為散射阻尼項，Nγ,p,q(u,ut)=為組合記憶項，0<γ<1，cγ=1/Γ(1?γ)，p，q>1。u0(x)∈H1(Ωc)，u1(x)∈L2(Ωc)為非負光滑函數(shù)，且不恒等于0。supp{u0(x),u1(x)}?BR(0)={x∈Ωc||x|≤R}，R>2，ε>0為任意給定的參數(shù)。

近來，很多學(xué)者研究非線性波動方程解的破裂現(xiàn)象及其生命跨度的上界估計[1?14]。文獻[1?3]研究了外區(qū)域上變系數(shù)波動方程utt??i(aij(x)?ju)=f(u,ut)的初邊值問題，其中f(u,ut)=|u|p或f(u,ut)=|ut|p。利用Kato引理得到解會在有限時間破裂以及解的生命跨度的上界估計。文獻[4]利用檢驗函數(shù)方法證明了外區(qū)域上二維波動方程utt?Δu=|u|p的解會破裂。并且在次臨界與臨界時得到解的生命跨度的上界估計。文獻[5]運用Kato引理在Rn中建立了帶組合非線性項的波動方程utt?Δu=|ut|p+|u|q解的生命跨度的上界估計。文獻[6]研究了帶散射阻尼項的波動方程utt?Δu+μ(1+t)?βut=|ut|p+|u|q(β>1)的Cauchy問題，利用迭代方法得到解的破裂及其生命跨度的上界估計。文獻[7]證明了帶尺度不變阻尼項μ(1+t)?1ut的波動方程解的生命跨度的上界估計。文獻[8]研究了帶冪次記憶項的波動方程utt?Δu=的小初值問題，得到其解具有臨界指數(shù)p0(n,γ)。當(dāng)n=1時，p0(n,γ)=∞；當(dāng)n≥2時，p0(n,γ)是二次方程?(n?1)p2+(n?2γ+3)p+2=0的正根。文獻[8]運用迭代方法證明了次臨界與臨界情形問題不存在整體解，并且得到解的生命跨度的上界估計。文獻[9]在一維情形證明了外區(qū)域上帶冪次記憶項的波動方程的解會在有限時間破裂，但未得到解的生命跨度波估動計方。程文獻[10]證明了帶弱阻尼項和記的憶項初值的問題的解會破裂，但未給出解的生命跨度估計。其他相關(guān)研究見文獻[11?14]。

關(guān)于外區(qū)域上帶散射阻尼項和組合記憶項的波動方程的初邊值問題尚無研究結(jié)果。因此，本文擬利用檢驗函數(shù)方法和迭代方法研究問題(1)解的破裂性態(tài)。主要結(jié)果如下。

定理1令n≥2，p>1，1

其中C是與ε 無關(guān)的正常數(shù)。

定理2設(shè)n=1，p>1，q>1.若問題(1)的解u滿足suppu?{(t,x)||x|≤t+R}，則解的生命跨度估計為

定理3令n≥2，p>2(n+1?γ)/(n?1)，1

注1定理1中q<2n/(n?2)(n≥2)滿足記憶項的可積性。

注2本文在n≥3，n=2，n=1時分別選取不同的檢驗函數(shù)φ0(x)，利用迭代方法證明了初邊值問題不存在整體解以及解的生命跨度的上界估計。將文獻[1?3]中利用Kato引理研究的變系數(shù)波動方程的初邊值問題推廣為帶散射阻尼項和記憶項情形。將文獻[6]中帶組合非線性項的波動方程推廣為外區(qū)域上帶組合記憶項的情形。將文獻[8,10]中證明的帶冪次記憶項的初值問題推廣為帶散射阻尼項和組合記憶項的初邊值問題。將文獻[9]中研究的一維初邊值問題推廣為帶散射阻尼項和組合記憶項的情形，并建立解的生命跨度的上界估計。另外，通過比較可知，(4)式中的生命跨度估計優(yōu)于(2)式中的生命跨度估計。

下面給出定理證明時需用到的引理以及問題(1)弱解的定義。

引理1[1?3]存在常數(shù)C，C1，C2>0及函數(shù)φ0(x)∈C2(Ωc)使得

當(dāng)n≥3時，φ0(x)→1(|x|→∞)，且0<φ0(x)<1，?x∈Ωc。

當(dāng)n=2時，φ0(x)→+∞(|x|→∞)，且0<φ0(x)

當(dāng)n=1時，φ0(x)→+∞(|x|→∞)，且C1x<φ0(x)

引理2[6]設(shè)

則有Δφ1(x)=φ1(x)，φ1(x)|?Ωc=0，0<φ1(x)<其中C為正常數(shù)。

令Φ(t,x)=e?tφ1(x)，則有?tΦ(t,x)=?Φ(t,x)，

引理3[1]令n≥1，p>1，p′=p/(p?1)，常數(shù)C>0.則對?t≥0，有

引入乘子m(t)=exp(μ(1?α)?1(1+t)1?α)，可知

令

1 定理1的證明

在式(5)中令φ(t,x)=φ0(x)，利用引理1，并且等式兩邊對t求導(dǎo)，則有

兩邊同乘以m(t)，可得

結(jié)合(6)式，計算得到

由(8)式可知

利用Holder不等式，得到

根據(jù)引理1可得，當(dāng)n≥3時，

另一方面，運用式(8)可知

類似于文獻[6]中引理3.1和引理4.1的證明過程，得到

利用式(12)、引理3及Holder不等式，則有

結(jié)合式(11)和式(13)，可得

下面運用迭代方法計算。假設(shè)

利用式(15)—式(17)，可得

(2)n=2時，將式(15)代入式(10)，得到

所以

類似于n≥3情形的計算過程，可得T(ε)≤

2 定理2的證明

類似于定理1的證明過程，可得式(14)。假設(shè)

所以

3 定理3的證明

t充分大時，由式(14)可知，注意到p>2(n+1?γ)/(n?1)時，n+2?γ?(n?1)p/2<1。故線性增長優(yōu)于(14)式的增長。

利用式(7)得到

結(jié)合(6)式，則有

(1)n≥3時，結(jié)合式(10)與式(20)，可知

假設(shè)

將式(21)代入式(10)，則有

將式(21)代入式(10)，可知

類似于n≥3情形的計算過程，得到T(ε)≤