江蘇省溧陽(yáng)中學(xué) (213300) 徐 蘭
江蘇省連云港市錦屏高級(jí)中學(xué) (222021) 車(chē)樹(shù)勤
同構(gòu)式是指變量不同,結(jié)構(gòu)、形式都相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式.同構(gòu)的過(guò)程就是通過(guò)移項(xiàng)、拆分、配湊等手段將一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式恒等變形,使其左右兩邊呈現(xiàn)形式、結(jié)構(gòu)完全一樣的狀態(tài),然后構(gòu)造輔助函數(shù),通過(guò)輔助函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.下面我們來(lái)體驗(yàn)一下同構(gòu)之路.
例1 (2020年全國(guó)1卷12題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ).
A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a 解析:2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b=22b+log22b-1.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+log2x,∴原不等式等價(jià)于f(a)=f(2b)-1 例2 (2020年八省聯(lián)考)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則( ). A.c C.a A.(-∞,e] B.(-∞,e) 評(píng)注:本題中的兩個(gè)變量x2、x1不關(guān)聯(lián),采用集中變量后出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)相同的式子,于是構(gòu)造新的函數(shù)u(x)=xf(x), 利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題. 在以上的問(wèn)題中構(gòu)造出同構(gòu)式的要求有所提高,但難度系數(shù)不大.這兩個(gè)問(wèn)題的解決中,都是對(duì)表達(dá)式進(jìn)行集中變量的變形就能得到相同的結(jié)構(gòu),構(gòu)造出新的函數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性就可以解決問(wèn)題. 第四步:把原不等式用復(fù)合函數(shù)的形式表達(dá)出來(lái)f(e-x)≥f(xa),并分析內(nèi)函數(shù)的取值范圍?原不等式等價(jià)于f(e-x)≥f(xa),∵x∈(1,+∞),e-x∈(0,1),又由選項(xiàng)可知只需研究a<0的情況,a<0時(shí),xa∈(0,1); 第五步:根據(jù)函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,把f(e-x)≥f(xa)轉(zhuǎn)化為e-x與xa之間的關(guān)系?e-x≤xa; 評(píng)注:利用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的之間的內(nèi)部關(guān)系,我們可以構(gòu)造相同的結(jié)構(gòu)e-x-lne-x≥xa-lnxa,通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)f(x)=x-lnx,原不等式就可以等價(jià)變形為f(e-x)≥f(xa),從而轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)中利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決的常見(jiàn)不等式問(wèn)題.達(dá)到了化陌生為熟悉的效果. (1)函數(shù)f1(x)=x±lnx=elnx±lnx,與g1(x)=ex±x同構(gòu),或者變換g1(x)=ex±x=ex±lnex,與f1(x)=x±lnx同構(gòu); (3)函數(shù)f3(x)=xlnx=elnxlnx與g3(x)=xex同構(gòu);或者變換g3(x)=xex=exlnex與f3(x)=xlnx同構(gòu). 可以發(fā)現(xiàn),指對(duì)同構(gòu)的過(guò)程中的核心是lnex=x=elnx,也就是利用指冪運(yùn)算來(lái)構(gòu)造相同的結(jié)構(gòu),指對(duì)同構(gòu)的主要方法是指對(duì)式分離,找出內(nèi)層函數(shù).同構(gòu)的演變題型其實(shí)就是命題人把一個(gè)結(jié)構(gòu)整齊的同構(gòu)式重新打亂,重組,變有序?yàn)闊o(wú)序,而我們要做的是將這打亂的式子按照一定的目標(biāo)進(jìn)行整合變形,合理拆分,使其恢復(fù)原貌,化復(fù)雜為簡(jiǎn)單,利用同構(gòu)構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù),把原式寫(xiě)成復(fù)合函數(shù)的形式,再利用外層函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)層函數(shù)之間的關(guān)系,達(dá)到化繁為簡(jiǎn). 弄清楚這種解法的數(shù)學(xué)思維起點(diǎn)在哪里,解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么. 例5 (2020年山東高考卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積:(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍. 解析:(1)略.(2)中的這個(gè)不等式恒成立,既有指數(shù)式又有對(duì)數(shù)式,不妨用指對(duì)分離來(lái)試一試. 第一步:分離指對(duì)式,變換出lna?elnaex-1≥-lna+lnx+1; 第二步:變換為同構(gòu)式,找到內(nèi)函數(shù)lna+x-1?elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x; 第三步:構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex+x,且在定義域(-∞,+∞)上為單調(diào)增函數(shù); 第四步:原不等式等價(jià)于f(lna+x-1)≥f(lnx)恒成立; 第五步:根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為lna+x-1≥lnx恒成立; 第六步:分離出lna,lna≥(lnx-x+1)max.令g(x)=lnx-x+1,求導(dǎo)求出最大值為0.∴l(xiāng)na≥0,解之a(chǎn)≥1. 通過(guò)以上分析,同構(gòu)的演變題型都可以用這六步驟來(lái)解決問(wèn)題,同構(gòu)的外層函數(shù)總是由指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)與一次函數(shù)的組合而成,一旦式子兩邊構(gòu)造出相同結(jié)構(gòu),就可以構(gòu)造出新的函數(shù),把一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決,難點(diǎn)就是對(duì)結(jié)構(gòu)的變形處理,靈活處理指冪運(yùn)算來(lái)達(dá)到自己想要的效果.二、同構(gòu)的發(fā)展階段
三、同構(gòu)的演變階段