福建省莆田哲理中學(xué) (351100) 吳毓敏

福建省莆田第二中學(xué) (351131) 盧 妮

平面向量的數(shù)量積涉及夾角、模、投影向量等問(wèn)題，融合了代數(shù)、幾何及三角函數(shù)，是一個(gè)重要的知識(shí)交匯點(diǎn)，也涉及函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法,主要考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).其解題入口寬，解法靈活多樣，有定義法、幾何法、基底法、坐標(biāo)法、轉(zhuǎn)化法、極化恒等式法等.可謂花樣繁多，讓人眼花繚亂.那如何撥開(kāi)層層迷霧，探尋數(shù)量積最值問(wèn)題的簡(jiǎn)便解法？這就需要學(xué)生解題時(shí)要綜觀題目條件，靈活選用方法，從而盡可能地選出簡(jiǎn)便的方法.本文以一道莆田市2022屆高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)題為例，進(jìn)行多視角探究解法.

一、試題呈現(xiàn)

A.16 B.12 C.5 D.4

二、解法探究

圖1

評(píng)注：注意到△ABC是正三角形，根據(jù)對(duì)稱性，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算，以“數(shù)”解“形”，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算.

圖2

評(píng)注：巧借幾何意義，以“形”助“數(shù)”,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在過(guò)B點(diǎn)的垂線上,橫坐標(biāo)為定值2，省去了求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的過(guò)程，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算.

圖3

三、拓展應(yīng)用

圖4

圖5