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        例談幾何法在圓錐曲線問題中的運用

        2022-07-09 01:17:30廣州大學附屬中學510006朱驚濤
        中學數(shù)學研究(江西) 2022年7期
        關(guān)鍵詞:利用

        廣州大學附屬中學 (510006) 朱驚濤

        解析法和幾何法是解決圓錐曲線問題的兩大途徑. 幾何法的獨立運用或與解析法的有機結(jié)合有利于減少計算量,巧妙解決問題,同時,幾何法又有利于培養(yǎng)學生的觀察能力、直觀想象力和思維發(fā)散力,是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力的重要手段. 本文通過一些實例介紹部分幾何性質(zhì)在圓錐曲線問題中的應(yīng)用,供讀者借鑒和參考.

        一、線段比、面積比的轉(zhuǎn)化

        1.共線下的線段比的轉(zhuǎn)化

        圖1

        點評:把線段比轉(zhuǎn)化為縱坐標差的比或橫坐標差的比是常用的方法,從幾何角度上看是構(gòu)造相似的直角三角形,把斜邊比轉(zhuǎn)化為直角邊之比. 至于何時轉(zhuǎn)化為縱坐標差的比,何時轉(zhuǎn)化為橫坐標差的比,則需結(jié)合圖像和已經(jīng)條件,以簡單化為原則來做選擇. 如在本例中,將線段比轉(zhuǎn)化為縱坐標差之比則簡單,若轉(zhuǎn)化為橫坐標差的比則變復雜.

        2. 同底三角形面積比的轉(zhuǎn)化

        圖2

        點評:抓住兩個三角形同底的特征,通過三次轉(zhuǎn)化巧妙解決了問題. 轉(zhuǎn)化一:將面積比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)高的比;轉(zhuǎn)化二:將對應(yīng)高的比轉(zhuǎn)化為線段MN與OM的長度之比;轉(zhuǎn)化三:將線段MN與OM的長度之比轉(zhuǎn)化為N、M、O三點縱坐標的差的比,從而直接代入坐標運算即可.

        二、相似三角形的運用

        1. 利用相似三角形對應(yīng)邊成比例

        圖3

        點評:從幾何角度入手,利用FM//OE易得到△AFM∽△AOE且△BOQ∽△BFM,再將對應(yīng)底邊之比轉(zhuǎn)化為x軸上的對應(yīng)側(cè)邊之比,從而快速解決問題.

        2. 利用相似三角形對應(yīng)角相等

        圖4

        解析:如圖5,連接F1G,GF2,則∠F1GF2=90°,又由雙曲線的對稱性可知MF1=MF2,所以MO是∠F1MF2的角平分線,從而△F1MP的內(nèi)切圓圓心G必在y軸上,且易有△GF1M≌△GF2M,所以∠GF1M=∠GF2M,又F1G為∠MF1P的角平分線,所以∠MF1G=∠GF1P,從而∠GF1P=∠GF2P,設(shè)F1P與GF2交于點Q,則有△F1GQ∽△F2PQ,從而有∠F1PF2=∠F1GF2=90°,命題得證.

        圖5

        點評:利用相似三角形證明角度相等是常見手法,本題易知有∠F1GF2=90°,為證∠F1PF2=90°,易想到證明△F1GQ∽△F2PQ,再結(jié)合F1G為∠MF1P的角平分線,則有∠GF1Q=∠GF1M=∠GF2P,從而命題得證.

        3. 利用射影定理

        例5 (2000年北京春季高考試題)如圖6,設(shè)點A、B為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點,已知OA⊥OB,OM⊥AB.求點M的軌跡方程.

        圖6

        三、圓的相關(guān)性質(zhì)的運用

        1. 四點共圓

        圖7

        點評:從幾何角度出發(fā),由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|聯(lián)想到割線定理,進而得B、A、P、Q四點共圓,最后巧妙利用曲線系思想解決問題,其計算量相比常規(guī)的聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求解的方法大幅降低.

        2. 相交弦定理

        圖8

        解析:如圖9,設(shè)圓C與x軸交點坐標分別為E、F,連接ME、MF、NE、NF、OM、ON,則由相交弦定理有MA·AN=EA·AF,而EA=AB,AF=OA,所以MA·AN=OA·AB,所以M、O、N、B四點共圓,所以∠MBA=∠ANO,∠NBA=∠AMO,又ON=OM,∠ANO=∠AMO,所以∠MBA=∠NBA.

        圖9

        點評:利用MN、EF是圓O的一對相交弦,點A既是OF的中點,又是EB的中點,巧妙利用相交弦定理,將MA·AN=EA·AF轉(zhuǎn)化為MA·AN=OA·AB,從而得到M、O、N、B四點共圓,再將∠MBA、∠NBA轉(zhuǎn)化為∠ANO、∠AMO,則此題得解,從中可以看到觀察能力和思維發(fā)散能力的創(chuàng)造性.

        3. 等弧對等角、等角對等弧

        例8 如圖10,已知圓C:x2+y2=2,過點P(1,1)作兩條直線分別與圓C相交于點A、B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補,O為坐標原點,判斷直線OP與AB是否平行,并請說明理由.

        圖10

        圖11

        通過以上實例看出,幾何法在圓錐曲線問題中的運用常能出奇制勝,化繁為簡. 教師積極鼓勵學生從幾何角度觀察思考圓錐曲線問題,有利于幫助學生擺脫一味使用解析法的僵化思維,增強學生運用幾何原理解決問題的能力,使學生感受欣賞幾何法之精彩,進而幫助其拓寬解題思路、增進問題理解、提升解題能力.

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