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        極坐標(biāo)巧解涉及多點聯(lián)動問題的最值

        2022-07-09 01:17:20安徽省亳州市第十八中學(xué)236800郭中華張官升

        安徽省亳州市第十八中學(xué) (236800) 郭中華 張官升 陳 思

        近年來,各種聯(lián)考中涉及求解三角形邊長、面積的最值問題,一直以壓軸小題形式出現(xiàn),試題求解往往是利用正余弦定理來解決,但關(guān)系復(fù)雜、計算繁瑣,特別是其中的聯(lián)動點的軌跡問題更為繁瑣.這類問題利用極坐標(biāo)的思想方法來求解相對容易.本文從三個方面例析尋找隱圓方法求其最值.

        1 涉及動點到定點的距離最值

        例1 已知圓O:x2+y2=1,若A,B是圓O上兩個不同的兩點,以AB為邊作等邊△ABC,則線段OC的最大值是( ).

        圖1

        圖2

        評析:本題中A,B,C均為動點,已知點A,B在定圓上,點C隨著A,B的運動而運動. 且動點C(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不明確. 因為兩個點都在運動,所以不容易判斷,求解中通過先固定點A,再觀察到點B在圓上的運動,那么聯(lián)動點C的運動軌跡就很容易發(fā)現(xiàn). 再利用GeoGebra畫圖軟件的追蹤工具,便可以發(fā)現(xiàn)點C的軌跡是一個圓. 由于點C、B為聯(lián)動點,所以其軌跡形狀相似. 通過建立極坐標(biāo)系的方法,由B點的軌跡和固定角∠CAB=60°,求出C的軌跡.

        2 求有固定夾角的兩動點距離最值

        圖3

        評析:本題是多點聯(lián)動類問題,根據(jù)條件先固定D點,由動點A,B都在以D為圓心的圓上,再根據(jù)聯(lián)動原理,易知動點C的軌跡也是一個圓. 再建系處理點B、C的軌跡. 進而求出圓的軌跡方程達到求出CD的最小值.

        3 求三角形面積的最值

        例3 如圖4所示,在平面四邊形ABCD中,已知AB=1,BC=2,△ACD為正三角形,求△BCD的面積的最大值.

        圖4

        圖5

        評析:本題涉及到多點聯(lián)動變化而引起的面積最值類問題.動點A在以點B為圓心的圓上,根據(jù)聯(lián)動原理,可知動點D的軌跡也是一個圓. 通過求出圓的極坐標(biāo)方程就可以解決三角形頂點D到底邊BC的最大值求解問題,由此求得△BCD面積最大值.

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