秦 怡，張 兵，楊見光，張青松

（1.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031；2.中車株洲電力機車研究所有限公司，湖南 株洲 412000）

1 引言

機車的輪重和軸重對于機車牽引力的大小以及其性能的發(fā)揮非常重要。要保證機車的牽引性能，要求每個動輪的荷重近似相等，如果某輪（軸）重有偏差，使得該輪的計算牽引力大于實際黏著力，則會導致該輪發(fā)生打滑或者空轉，同時引起車軸的高頻扭轉振動，最終導致動軸空轉，整個機車的牽引力性能惡化[1]。如果機車輪（軸）重有偏差，那么荷重最輕的輪對就容易出現(xiàn)車輪打滑，而當車輪打滑時，由于動摩擦力小于靜摩擦力，機車的制動力便無法達到最大，從而影響制動性能的發(fā)揮[2]。GB/T14894—2005規(guī)定車輛的輪重偏差不超過該軸平均輪重的4%，所以對于不符合要求的車輛要進行調整，為了避免使用工人的經(jīng)驗進行加墊的誤差和不確定性，進行加墊量的公式推導。在進行加墊調簧的過程中，如果車輛的軸數(shù)和一、二系彈簧的個數(shù)不同，加墊的位置也不同，隨著車輛軸數(shù)和一、二系彈簧個數(shù)的增加，需要加墊的位置越來越多，從最初車體的四點調簧模型，到單模塊車輛的八點調簧模型，再到有軌電車的十二點調簧模型，調簧模型的推導過程變得越來越復雜，如果每次都要進行推導的話，需要花費大量的時間。五模塊100%低地板車為5節(jié)編組設計，其中1車和5車為動車，3車為拖車，2車和4車為懸浮模塊。

車的各個模塊采用鉸接連接，車廂地板通過渡板進行貫通，車門底端距離地面很低，方便乘客上下車，尤其適合城市通勤使用。這里為整理出一個適用于五模塊有軌電車的調簧力學模型，研究模型推導之間的規(guī)律，整理出一個適合任意點調簧的數(shù)學模型。然后對比各個算法在五模塊有軌電車的調簧計算時的時間和精度，找出適用于五模塊有軌電車的優(yōu)化算法。任意點調簧力學模型不僅適用于五模塊有軌電車的十二點調簧。無論車輛的一、二系彈簧個數(shù)為多少，均可用此模型進行求解，為軌道車輛的加墊調簧工作提供便利。

2 調簧模型計算分析

2.1 n點調簧力學模型的建立

現(xiàn)對一系承載進行力學分析，為方便求解，在不影響計算結果的情況下對模型作以下簡化[3-4]：

（1）軌道面為水平面，車輪與軌道之間的接觸點處于同一水平面；（2）在靜止狀態(tài)下，車輛只受到垂向載荷作用；（3）車輛整體重量可以視為一集中力，作用在一系上支撐點的平面內；（4）所有一系支撐點共面，同側支撐點共線；（5）處于軸箱兩側的兩個一系彈簧簡化為處于軸箱中間的一個彈簧。對受力圖進行簡化，如圖1所示。

圖1 n點調簧模型受力簡化圖Fig.1 N-Point Spring Adjustment Force Diagram

Δx和Δy—車輛的偏心距。

Fn-1-Fn)·b=P·Δy(繞x軸力矩平衡方程)

為了簡化公式，將式（3）和式（5）中的系數(shù)表示為如下形式：

根據(jù)胡克定律：

式中：ki—一系彈簧的剛度一系彈簧的柔度。

聯(lián)立以上所有公式，可以推導出以下n個方程：

將（9）式表示成A×F=B的矩陣形式，其中A為n×n矩陣：

其中，除式中所有參數(shù)除了Fi和hi外，均為已知參數(shù)，所以就可以得到一系彈簧載荷和加墊量之間的關系，所以將矩陣轉換成F=A-1×B即可得到載荷與懸掛彈簧長度之間的關系。將其表現(xiàn)為函數(shù)關系式：

對式（13）求微分，即可得到載荷變化量和加墊量之間的關系：

所以對車輛進行加墊后的載荷重量為：

最后可以得到任意n點的調簧模型，如下式所示：

2.2 一系載荷與輪重之間的轉化

輪重是指整車的重量通過一系彈簧作用在相應的車軸上，然后經(jīng)過車輪作用于軌道上，該力即為我們通常所測量的輪重。所以通過測量到的輪重值，可以反向推導出一系載荷。輪對力學模型[5]，如圖2所示。以輪對為研究對象，取其中的一個輪對進行受力分析，輪對受到自身重力，和一系彈簧壓力，以及軌道的支持力的作用。

圖2 輪對受力模型圖Fig.2 Wheel Pair Force Analysis Chart

根據(jù)靜力平衡方程可以得到：

式中：L1—左右車輪滾動圓間距；L2—一系彈簧橫向間距。

整理后，可以得到輪重與一系載荷之間的轉化方程，如下：

3 五模塊有軌電車的加墊調簧的優(yōu)化算法

3.1 加墊調簧模型的建立

加墊調簧的最終目的就是將載荷進行均勻化，也就是在有限的加墊范圍內，使得所有載荷的均方差達到最小值，即：minJ=其中為所有載荷的平均值，與普通機車不同的是，五模塊有軌電車在計算軸（輪）重偏差時，每個轉向架都是進行獨立計算的，所以需要分別對每個轉向架的載荷進行方差計算。所以調簧計算可以歸納為以下方程：

式中：hmax和hmin—加墊的上下限值；

對式（41）進行多次的迭代計算，即可得到最優(yōu)的調簧方案，即求的最小值。通過多次的迭代計算，得出最優(yōu)的調簧方案。

3.2 基于MATLAB和C#的調簧程序

整體的調簧算法基于matlab遺傳工具箱，然后利用C#語言編寫操作界面，調用matlab程序進行計算，最終將調整后的輪重值返回到操作界面。加墊調簧的目標是使一系的載荷分布更加均勻，最終可以歸于求解載荷方差的最小值，在目前的調簧計算中，基本借助一些工程優(yōu)化算法進行求解，其中MATLAB全局優(yōu)化工具箱（Global Optimization Toolbox）提供了一系列的優(yōu)化函數(shù)，用于尋找多個極大值或極小值問題的全局解，使用該工具箱，能夠最大程度得到全局的最優(yōu)解，并且求解算法簡單，十分適用于車輛加墊調簧的計算。MATLAB全局優(yōu)化工具箱的優(yōu)化函數(shù)眾多，將幾種較適合調簧計算的算法進行試驗對比后發(fā)現(xiàn)退火算法是最適合五模塊有軌電車十二點調簧計算的優(yōu)化算法。

3.3 調簧優(yōu)化算法的選擇

不同的算法之間存在一定的差異，都有各自的優(yōu)缺點，為了找出最適合五模塊有軌電車的調簧計算的優(yōu)化算法，現(xiàn)取20組五模塊有軌電車重量數(shù)據(jù)進行求解，通過改變算法的迭代次數(shù)，觀察每個算法載荷方差和總加墊量的變化趨勢，具體的結果，如圖3～圖10所示。將遺傳算法[6]，粒子群算法和退火算法進行對比后發(fā)現(xiàn)，粒子群算法在迭代到5000 次后，載荷方差不再發(fā)生變化，說明算法只要迭代5000次左右即可找到最優(yōu)方案。

圖3 迭代次數(shù)為1000時的載荷方差Fig.3 Load Variance When the Number of Iterations is 1000

圖4 迭代次數(shù)為5000時的載荷方差Fig.4 Load Variance When the Number of Iterations is 5000

圖5 迭代次數(shù)為10000時的載荷方差Fig.5 Load Variance When the Number of Iterations is 10000

圖6 迭代次數(shù)為40000時的載荷方差Fig.6 Load Variance When the Number of Iterations is 40000

圖7 迭代次數(shù)為1000時的加墊量Fig.7 Padded Quantity When the Number of Iterations is 1000

圖10 迭代次數(shù)為40000時的加墊量Fig.10 Padded Quantity when the Number of Iterations is 40000

圖8 迭代次數(shù)為5000時的加墊量Fig.8 Padded Quantity When the Number of Iterations is 5000

圖9 迭代次數(shù)為10000時的加墊量Fig.9 Padded Quantity When the Number of Iterations is 10000

遺傳算法從迭代1000次開始，載荷方差基本穩(wěn)定，但是其求解結果出現(xiàn)非最優(yōu)的情況，說明算法陷入了局部最優(yōu)。退火算法隨著迭代次數(shù)的增加，載荷方差不斷減小，在迭加次數(shù)達到約40000次時，載荷方差趨于穩(wěn)定，此時的求解結果與粒子群算法的結果基本相同，說明退火算法基本需要迭代40000次才能找到最優(yōu)解或近似最優(yōu)解。從加墊量來看，粒子群算法整體加墊量相對穩(wěn)定，基本保持在（50～70）之間；遺傳算法加墊量波動較大，最高能夠到達90；退火算法的加墊量相對最少，基本保持在60 以下，最少僅需要加十幾個墊片，也就是每個位置的平均加墊量不到兩個。所以從加墊量來說，退火算法有很大的優(yōu)勢。

綜合來看，在同樣獲取最優(yōu)解的情況下，退火算法求解出來的加墊個數(shù)最少，最能滿足實際的加墊工作要求，能夠在盡可能少加墊的前提下完成車輛重量均勻化調整，所以退火算法最適合五模塊有軌電車加墊調簧的計算，故選擇它作為調簧系統(tǒng)的優(yōu)化算法。為了保證求解的質量，將退火算法的迭代次數(shù)設置為50000次，求解精度為1e-7，最高加墊量設置為可調參數(shù)，可以根據(jù)實際生產(chǎn)情況進行人為調整。

3.4 退火算法的介紹與調簧計算

模擬退火算法（Simulate Anneal，SA）[7-8]是一種隨機化的算法，通常用來求解一個較大空間內的最優(yōu)解。它是對爬山算法進行改進強化后的一種優(yōu)化算法，能夠概率性的突破爬山算法局部求解的缺陷。

在模擬退火算法運算過程中，最關鍵的步驟在于如何接收或舍棄新解，既要保證向最優(yōu)解靠近，也要避免陷入局部最優(yōu)的陷阱里，也就是當新解為優(yōu)化解時，百分之百接收此解，當新解為惡化解時，模仿粒子在某個溫度時趨于平衡態(tài)的概率來確定是否接收該解，而不是直接舍棄。對于實際問題來說，接收新解的概率表示如下［7］：

對于求解最小值問題：

對于求解最大值問題：

也就是說，當新解屬于更優(yōu)解時，選擇該解的概率為1，當新解較差時，以概率選擇該解。從上式可以看出，概率與溫度T和目標函數(shù)的差值有關，溫度越高，目標函數(shù)差值越小，概率越大，這樣既可以保證算法不會在前期過早陷入局部最優(yōu)，也保證了后期能夠具有良好的收斂性。退火算法運算的流程圖，如圖11所示。

圖11 退火算法流程圖Fig.11 Annealing Algorithm Flow Chart

4 應用實例

對于普通機車車輛，車輛的車軸數(shù)一般為四根，一系彈簧的個數(shù)為八個，所以建立了八點調簧的經(jīng)典算法。但是對于有三個轉向架的五模塊有軌電車來說，它就具有六根車軸和十二個一系支撐點，所以對五模塊有軌電車的加墊分析就需要建立十二個一系支撐力與彈簧加墊量之間的關系，下面是對一系承載的力學分析，如圖12所示。

圖12 12點調簧力學分析Fig.12 12-Point Spring Adjustment Force Diagram

將n=12帶入（13）式中，可以得到一系彈簧載荷及其長度之間的關系式：

對式（17）求微分即可得到載荷變化量和加墊量之間的關系：

加墊后的載荷量為：

通過以上各式，就可以直接建立一系彈簧加墊量與其載荷之間的關系，再通過載荷的轉換，就可以得到車輛的輪重大小，從而達到調整重量分配的效果。因此，使用n點調簧的力學模型可以省略大量繁瑣的計算過程，節(jié)約人力物力。下面是隨機選取的一列五模塊有軌電車的稱重數(shù)據(jù)采用退火算法進行調整，調整結果，如表2所示。

表1 車輛原始數(shù)據(jù)Tab.1 Raw Data of Vehicle

表2 退火算法優(yōu)化結果Tab.2 Optimization Results of Annealing Algorithm

五軸和六軸的輪重值無法通過加墊的方式進行調整，其原因在于加墊調簧法具有“對角同增同減”的規(guī)律，即在某車輪一系簧處增加墊片，該位置和其對角的載荷會增加相同的值，而其相鄰的位置一系載荷則減少相應的值。從五軸和六軸的輪重數(shù)據(jù)來看，其對角位置的輪重剛好為一最大值和一最小值，所以無法通過此方式將其調整過來。該試驗車經(jīng)過調整之后輪重和軸重通過調整后分布更加均勻，輪（軸）重偏差能夠滿足標準要求；由此看出，本調簧尋優(yōu)程序是行之有效的。

5 總結

提出了一種針對任意n點調簧的力學模型，避免了針對不同的車軸數(shù)量每次都要進行推導的繁瑣過程。這里所采用的調簧尋優(yōu)算法經(jīng)過加墊試驗證明了該方法的穩(wěn)定性和可靠性，該方法能夠使調整后的輪（軸）重更加均衡并且符合要求。其不足之處在于加墊調簧法具有“對角同增同減”的規(guī)律，即在某車輪一系簧處增加墊片，該位置和其對角的載荷會增加相同的值，而其相鄰的位置一系載荷則減少相應的值。如果某列車的對角位置的輪重剛好為一最大值和一最小值，那么就無法通過此方式將其調整過來。因此，針對此種情況還需做進一步的改進和優(yōu)化，使之能更加準確高效的指導調簧作業(yè)。