陶 征，張 鵬，郭勤濤

（1.鄭州大學機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001；2.南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京 210016）

1 引言

磨機是選礦工藝中一個十分重要的設(shè)備。然而，惡劣的工作環(huán)境及高作業(yè)率，極大地增加了磨機，尤其是磨機傳動系統(tǒng)故障的概率。而這樣的關(guān)鍵設(shè)備一旦發(fā)生故障，往往給企業(yè)帶來巨大的經(jīng)濟損失?；谠囼灆z測結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性的變化，從而達到預測結(jié)構(gòu)健康狀況是當前解決這一問題的主要方法。然而，測點多、測點不全面以及無法實現(xiàn)實時在線檢測是這一方法的主要問題。隨著計算機技術(shù)以及有限元理論的發(fā)展，基于準確的有限元模型實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性仿真代替現(xiàn)場試驗進而實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的方法，越來越受到業(yè)內(nèi)人士的關(guān)注[1]。然而，準確的結(jié)構(gòu)模型和模型的分析精度，是結(jié)構(gòu)動力學仿真分析的關(guān)鍵，通過試驗數(shù)據(jù)進行有限元模型的確認及其修正，尤其重要。

基于響應(yīng)面的有限元模型修正方法是近年來有限元模型修正技術(shù)研究的熱點[2-6]。其以顯式的響應(yīng)面模型接近擬合特征參數(shù)與設(shè)計參數(shù)間較為復雜的隱式函數(shù)關(guān)系，可以很好地解決機械結(jié)構(gòu)中存在的不確定參數(shù)這一問題[7]。然而，基于響應(yīng)面法的有限元模型修正在求解不同特征量對應(yīng)的設(shè)計參數(shù)修正量時，則必須通過迭代尋優(yōu)算法來求解，在實際工程應(yīng)用中仍不太方便。針對這一問題，文獻[8]在逆系統(tǒng)應(yīng)用方法的基礎(chǔ)上提出了逆響應(yīng)面方法。該方法可以直接得到設(shè)計參數(shù)與特征參數(shù)之間的顯式表達式。在獲得逆響應(yīng)面模型后，無需迭代尋優(yōu)計算，即可直接計算出不同特征量對應(yīng)的設(shè)計參數(shù)值。目前，該方法的有效性已在橋梁設(shè)計中獲得檢驗[8-10]，而機械工程領(lǐng)域中的應(yīng)用實例尚未在相關(guān)文獻中提及。

為了探討和分析這一方法在機械結(jié)構(gòu)動力學特性分析中的有效性，以磨機傳動系統(tǒng)為對象，以其試驗?zāi)B(tài)頻率數(shù)據(jù)為目標值，基于逆響應(yīng)面法實現(xiàn)磨機傳動系統(tǒng)的有限元模型修正，驗證了逆響應(yīng)面法在機械結(jié)構(gòu)動力學特性分析中的有效性。

2 逆響應(yīng)面法修正的理論基礎(chǔ)

2.1 基本思想

逆響應(yīng)面法的基本思想是把輸出變量作為自變量，輸入變量作為因變量，通過更改響應(yīng)面函數(shù)中輸入變量與輸出變量的關(guān)系，最后通過回歸分析擬合出因變量和自變量之間的顯式表達式。

利用逆響應(yīng)面法進行有限元模型修正可以直接得到待修正參數(shù)（如密度、彈性模量等）與特征參數(shù)（如固有頻率等）之間的顯式表達式，在逆響應(yīng)面的系數(shù)確定以后，不需要再進行迭代修正，即可根據(jù)特征參數(shù)的目標值直接得到待修正參數(shù)的修正值[8]。

2.2 試驗設(shè)計

試驗設(shè)計常用的方法有中心復合設(shè)計（central composite design，簡稱CCD）、均勻設(shè)計、D-最優(yōu)化設(shè)計等[9]。中心復合設(shè)計常用于逆響應(yīng)面試驗設(shè)計，可以回歸擬合一階、二階模型或更高階模型，逆響應(yīng)面模型通常為二階模型，所以這里采用中心復合設(shè)計（CCD），對于2k析因設(shè)計，總設(shè)計點N由三部分組成：（1）中心點，即試驗原點，共n（c試驗中nc一般取1）個試驗點；（2）坐標軸點，共2k個坐標軸點；（3）析因設(shè)計點，共2k個試驗點，總試驗點數(shù)N=1+2k+2k，對于逆響應(yīng)面函數(shù)的回歸系數(shù)個數(shù)M一般由式（1）計算[9]，其中，m—輸入?yún)?shù)的個數(shù)。

2.3 逆響應(yīng)面的擬合

在有限元模型修正中，通常采用二次多項式函數(shù)作為逆響應(yīng)面函數(shù)，其表達的曲面即為逆響應(yīng)面模型，函數(shù)形式即：

式中γk、γki、γkji—逆響應(yīng)面函數(shù)回歸系數(shù)；x（ii=1，2，……，Nx）—輸入變量（特征參數(shù)）；y（ii=1，2，……，Ny）—輸出變量（設(shè)計參數(shù)）；Nx—輸入變量的數(shù)量；Ny—輸出變量的數(shù)量［9］。得到樣本數(shù)據(jù)以后，可以利用最小二乘法擬合得到式（2）的回歸系數(shù)，即得到系統(tǒng)的逆響應(yīng)面方程。

2.4 逆響應(yīng)面精度檢驗

為得到逆響應(yīng)面擬合的精度，利用平均相對誤差來檢驗擬合結(jié)果的準確性，式（3）可以檢驗求解的誤差大小。

式中：Nx—輸入變量的數(shù)量—輸入變量的目標值；—由有限元修正得到的特征參數(shù)的實際值[9]。在文中的實際工程應(yīng)用中，通過模態(tài)試驗獲取特征參數(shù)的目標值，故可通過計算修正值的誤差來分析逆響應(yīng)面擬合的效果。如果誤差太大，則可以通過增加逆響應(yīng)面的階次或者增加試驗點來減小誤差。

3 算例分析

某齒輪軸結(jié)構(gòu)，如圖1所示。軸總長507.7mm，材料屬性：齒輪軸和盤的泊松比μ=0.3，彈性模量為210 GPa，密度為7850 kg/m3，前四階試驗?zāi)B(tài)數(shù)值分別為：421.23Hz、521.95Hz、1101.53Hz 和1891.57Hz。經(jīng)有限元分析可知，泊松比對模態(tài)振型影響較小，其不作為設(shè)計參數(shù)?，F(xiàn)以齒輪軸和盤的彈性模量與密度為待修正參數(shù)，以前四階模態(tài)頻率為特征參數(shù)進行模型修正，并與響應(yīng)面法的修正結(jié)果進行對比分析。

圖1 齒輪軸Fig.1 Gear Shaft

本次試驗設(shè)計的特征參數(shù)是4個，設(shè)計參數(shù)是4個，試驗點數(shù)N=25，回歸系數(shù)M=15，N＞M，無需增加試驗點數(shù)即可求解出逆響應(yīng)面函數(shù)。利用CCD建立試驗點并進行有限元分析得到的試驗數(shù)據(jù)，如表1所示。其中，E1、E2表示齒輪軸彈性模量和圓盤彈性模量，ρ1、ρ2表示齒輪軸密度和圓盤密度，f1、f2、f3、f4分別表示前四階模態(tài)頻率。由表1中的試驗數(shù)據(jù)經(jīng)最小二乘法擬合得到的逆響應(yīng)面函數(shù)如式（4）～式（7）所示。

表1 試驗數(shù)據(jù)Tab.1 Experimental Data

將實際的模態(tài)數(shù)值帶入公式得到設(shè)計參數(shù)值，分別為163GPa，7250.8kg/m3，175GPa，6500.4kg/m3。將設(shè)計參數(shù)值帶入有限元模型中分析得到修正后的模態(tài)頻率，并與響應(yīng)面法（采用相同的試驗數(shù)據(jù)）修正結(jié)果對比結(jié)果，如表2所示。

表2 結(jié)果對比Tab.2 Results Comparison

分析結(jié)果表明，在輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)數(shù)量相等的情況下，逆響應(yīng)面法模型修正較響應(yīng)面法模型修正效果更好，逆響應(yīng)面法可以應(yīng)用到機械結(jié)構(gòu)的模型修正中。

4 工程實例

某7.9m 大型磨機傳動系統(tǒng)，如圖2 所示。圖中：1—電機；2—聯(lián)軸器；3—高速小齒輪；4—高速大齒輪；5—聯(lián)軸器；6—小齒輪；7—磨機（包含筒體、齒輪和負載）。

圖2 某7.9m磨機傳動系統(tǒng)簡圖Fig.2 Sketch of a 7.9m Mill Transmission System

大型磨機傳動系統(tǒng)規(guī)格較大，在獲取傳動系統(tǒng)模態(tài)數(shù)據(jù)過程中不太方便，因此，以大型磨機傳動系統(tǒng)為原生系統(tǒng)，基于齒輪傳動系統(tǒng)的相似設(shè)計理論對原生系統(tǒng)組成元素識別，采用相同功能和作用的組成元素，設(shè)計并搭建了一級齒輪傳動系統(tǒng)裝置，如圖3所示。依據(jù)各零部件在結(jié)構(gòu)上的連接關(guān)系將傳動系統(tǒng)拆分為輸入軸子結(jié)構(gòu)和輸出軸子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)中包含傳動軸及軸上零部件。這里以輸入軸子結(jié)構(gòu)為研究對象，基于逆響應(yīng)面法對其進行模型修正。

圖3 傳動系統(tǒng)試驗臺Fig.3 Transmission System Test-Bed

模態(tài)試驗坐標系和試驗測點設(shè)計，如圖4所示。圖中的點為試驗測點位置，測點共25個。由于測點數(shù)量較多，為得到整體振型，采用移動傳感器的測量方式解決傳感器數(shù)量較少的不足，分別測量各個測點的X、Y和Z三個方向的加速度信號，獲得各個測點的數(shù)據(jù)信息。

圖4 模態(tài)實驗建模Fig.4 Modal Experimental Modeling

利用N-modal模態(tài)識別軟件對采集數(shù)據(jù)進行分析處理，識別各階模態(tài)，模態(tài)試驗結(jié)果，如表3所示。

表3 模態(tài)試驗結(jié)果Tab.3 Modal Test Results

輸入軸子結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖5所示。傳動軸和齒輪之間以及傳動軸和圓盤之間用bonded接觸連接；軸承采用彈簧單元模擬。在模型建立過程中對子結(jié)構(gòu)部分連接結(jié)構(gòu)進行簡化，導致模型中存在一定的誤差，對未安裝軸承狀態(tài)下的輸入軸子結(jié)構(gòu)進行模型修正，識別傳動軸、齒輪以及圓盤的材料參數(shù)，經(jīng)過模型修正結(jié)果分析，小齒輪的材料參數(shù)不是顯著參數(shù)，故將小齒輪和輸入軸當作一種材料進行分析，識別材料參數(shù)，如表4所示。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite Element Model

表4 材料參數(shù)Tab.4 Material Parameters

這里的設(shè)計參數(shù)為軸承1 和軸承2 等效彈簧單元的剛度。軸承1和軸承2的初始剛度值分別為4.5e7N/m 和6.0e7N/m。以軸承等效彈簧單元的剛度為試驗因素，以有限元模型模態(tài)分析結(jié)果的前兩階模態(tài)為響應(yīng)值，采用CCD方法建立試驗點設(shè)計試驗，并在有限元模型中分析計算得到樣本數(shù)據(jù)，如表5所示?；诒?的樣本數(shù)據(jù)擬合逆響應(yīng)面函數(shù)，如式（8）、式（9）所示。

表5 試驗數(shù)據(jù)Tab.5 Experimental Data

將表3的試驗?zāi)B(tài)頻率值帶入逆響應(yīng)面函數(shù)中即可得到修正后的剛度值，修正結(jié)果為：軸承1 剛度6.5e7N/m，軸承2 剛度5.27e7N/m。將剛度值帶入有限元模型進行分析得到修正后的模態(tài)頻率，并計算修正前后的模態(tài)頻率誤差，如表6所示。結(jié)果顯示：有限元模型精度得到明顯改善。因此，逆響應(yīng)面法能有效地應(yīng)用到機械結(jié)構(gòu)動力學特性分析中。

表6 模態(tài)頻率誤差Tab.6 Modal Frequency Error

5 結(jié)論

通過采用逆響應(yīng)面法對磨機傳動系統(tǒng)進行模型修正修正，并分析驗證該方法在機械結(jié)構(gòu)動力學分析中的有效性。算例顯示逆響應(yīng)面法可用于機械結(jié)構(gòu)的有限元模型修正中，且修正效果較優(yōu)于響應(yīng)面法，工程實例顯示出逆響應(yīng)面法在機械結(jié)構(gòu)動力學特性分析中的有效性。

逆響應(yīng)面法可直接得到設(shè)計參數(shù)關(guān)于特征參數(shù)的顯式表達式，根據(jù)特征參數(shù)的目標值直接得到設(shè)計參數(shù)值，相比響應(yīng)面法減少了迭代優(yōu)化的過程，這不僅節(jié)省了很大的計算工作量，也為機械結(jié)構(gòu)動力學特性分析提供了一種有效的方法，更為后續(xù)傳動系統(tǒng)可靠性分析提供了準確模型。