王雪茹

摘 要：目前通行的記數(shù)方法采用 10 進(jìn)位值制原理。 其中的 10 進(jìn)制受自然條件影響而成， 但位值制卻是主觀的產(chǎn)物。 本文探討位值制的含義以及位值制思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透的。

關(guān)鍵詞：位值制;位值思想

目前記數(shù)使用的印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼采用 10進(jìn)位值制原理。 其中的 10 進(jìn)制受自然現(xiàn)象影響而成， 公認(rèn)它與人生有 10 指有關(guān);而位值制卻是主觀的產(chǎn)物。 回顧記數(shù)法的歷史可以發(fā)現(xiàn)， 位值制在記數(shù)中的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 10 進(jìn)制， 曾被數(shù)學(xué)史家比喻為字母在文字中的重要性 〔1〕 。 位值的表現(xiàn)方式是多方面的， 其形成過程也是漫長的。 本文探討位值思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透的。

一、位值的含義

記數(shù)法中的位值思想是指數(shù)碼符號(hào)不僅有其本意表示的數(shù)目大小， 還要依靠它所在的位置決定該數(shù)碼在整個(gè)數(shù)目中的確切數(shù)值。 例如印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼121， 右邊的數(shù)碼1 表示數(shù)1， 中間的2 因在10位上而表示 20， 左邊同樣一個(gè)數(shù)碼 1因在百位上就表示100。 每位數(shù)碼之間用加法組合， 整個(gè)數(shù)目表示一百二十一。 又如羅馬數(shù)碼Ⅳ， 右邊的Ⅴ表示 5， 左邊的Ⅰ表示-1， 數(shù)碼之間也用加法組合， 整個(gè)數(shù)目表示 4。現(xiàn)在通行的印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼采用 10 進(jìn)位值制記數(shù)法 ， 任何一個(gè)自然數(shù)都可以表示成? 的形式。10 叫做進(jìn)位基數(shù)， 是 1， 2， …， 9， 0 這 10 個(gè)數(shù)碼中的某一個(gè)。 所謂位值制就是在書寫時(shí)省去 10 的乘冪與加號(hào)。 如上述 121 是的簡(jiǎn)寫。 其特點(diǎn)是只用這 10 個(gè)數(shù)碼便可將任何自然數(shù)表示出來。 從右邊算起， 數(shù)碼所在的位置依次稱為個(gè)位， 十（10）位， 百（10 2 ）位等等。 一個(gè)數(shù)碼表示什么數(shù)值， 要看它在什么位置上， 這就是“ 位值”（placevalue 或 positional value）的含義。古代記數(shù)法中采用位值制的主要有巴比倫楔形文字記數(shù)法， 瑪雅記數(shù)法， 中國的算籌記數(shù)法和印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼記數(shù)法。 其中巴比倫采用 60 進(jìn)位記數(shù)， 瑪雅有 20 進(jìn)位和 18 進(jìn)位混用記數(shù)， 中國算籌和印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼都用 10 進(jìn)位。 瑪雅人記數(shù)自下而上進(jìn)行， 最下面是個(gè)位， 越往上位數(shù)越高;其余的位值制記數(shù)法都是自右向左位數(shù)依次增大。 雖然進(jìn)位基數(shù)和數(shù)碼排列方式不盡相同， 但在位值的含義上都一致， 這反映了人類數(shù)學(xué)發(fā)展的共性。

二、位值思想在教學(xué)中的滲透

1.實(shí)物模型培養(yǎng)數(shù)感，形成初步的位值觀念。

師：我們除了能擺小棒，還能通過撥珠子再來認(rèn)

識(shí) 13，你們會(huì)撥嗎？

問：你們都這樣擺了 13 個(gè)珠子，有沒有什么好擺法讓我很快看出是 13。生不同擺法：

通過動(dòng)手操作和建立模型為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)位順序表做鋪墊。

師：咱們一起來看這個(gè)同學(xué)的：4 個(gè)珠子就能表示13？

師：這一個(gè)珠子表示多少？

生：10。

師：不就是一顆珠子嗎？怎么表示 10？

生：這顆珠子在十位上。

師：十位，誰還聽說過十位？十位上的珠子表示什么？

生：十位上的珠子表示 10，20，30……幾個(gè)十。

師： 這是哪一位？

生：個(gè)位

師：個(gè)位又表示什么呢？

生：表示 3 個(gè)一，4 個(gè)一……幾個(gè)一。

采用不同樣式其目的就是讓學(xué)生感受，同樣的珠子放在不同的小位置表示的大小就不同，初步感受位值制。

師：13 里面十藏在哪？其它數(shù)里有十嗎？你能指一指嗎？

生：指一指，認(rèn)一認(rèn)。

師：讓我們?cè)賮硪黄鹱x讀 11—20 這些數(shù)。這次的讀讓我聽出了你們和和剛才的讀有所不同。我相信你們一定對(duì)這些數(shù)有了新的認(rèn)識(shí)，對(duì)嗎？

讓學(xué)生真正感受到數(shù)位產(chǎn)生給我們帶來的方便，從而認(rèn)識(shí)到知識(shí)形成的必要性。認(rèn)識(shí) 11- 20 各數(shù)是學(xué)生建立數(shù)位概念的重要知識(shí)點(diǎn)之一。學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于 11- 20 各數(shù)的讀法、寫法具備了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)。但對(duì)“位值”的認(rèn)識(shí)還很模糊，大多數(shù)學(xué)生不理解“位值原理”。同時(shí)數(shù)概念本身也是非常抽象的，學(xué)生在理解上會(huì)有一定的難度。因此在教學(xué)中，為學(xué)生提供了充分的可感知的現(xiàn)實(shí)背景。設(shè)計(jì)了通過多種實(shí)物模型，直觀建立數(shù)的表象的教學(xué)環(huán)節(jié)。讓學(xué)生在觀察、操作、活動(dòng)的過程中體會(huì)數(shù)的意義，加深對(duì)數(shù)的概念理解。希望學(xué)生能通過在課堂教學(xué)活動(dòng)中經(jīng)歷概念的形成過程，經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，使內(nèi)在的思維外化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生感悟數(shù)位之間的關(guān)系，形成一定的數(shù)學(xué)思想方法。

2.在數(shù)數(shù)中認(rèn)識(shí)數(shù)的意義，體會(huì)“十”與“百”的關(guān)系。

（教師請(qǐng)學(xué)生在桌子上擺出 26 個(gè)小圓片，要求擺完以后一看就是 26 個(gè)）

師：（展示一個(gè)學(xué)生的作品）能一下看出是 26 嗎？ 你們看她請(qǐng)誰來幫忙？ 對(duì)，請(qǐng)“ 10 ”朋友來幫忙，這是 10 個(gè)，這是 10 個(gè)，這是 6 個(gè)，就能很快看出這是 26 個(gè)。 26 是由個(gè)十和幾個(gè)一組成的？

（教師指導(dǎo)學(xué)生在 26 的基礎(chǔ)上繼續(xù)一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，邊操作邊數(shù)數(shù)）

師： 39 再添上 1 是多少？ 40 里面有幾個(gè)十？ 39 后面是幾？ 49 呢？ 79 呢？ 99 呢？ 99 再添上 1 就是 100

3.積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生感受“滿十進(jìn)一”

我想考驗(yàn)大家一下：我們就這樣一堆一堆地?cái)[， 100 里面有幾

個(gè)十呢？：剛才我們?cè)谟?jì)數(shù)器上撥好了 999，如果再撥 1 顆珠子，會(huì)是多少呢？

生 3 ：1000。

師：請(qǐng)你在計(jì)數(shù)器上試著撥一撥，看看發(fā)現(xiàn)了什么。

生 4 ：千位上有 1 顆珠子。

師：為什么只要在千位上撥 1 顆珠子就可以了呢？

生 4 ：在 999 的個(gè)位上撥 1 顆珠子，個(gè)位滿十向十位進(jìn)一，所以個(gè)位上是 0;十位上的 9 加 1 等于 10，滿十向百位進(jìn)一，所以十位上是 0;同理，百位滿十向千位進(jìn)一，以百位上是 0，千位上是 1。

師：那 1000 里面有幾個(gè)百，又有幾個(gè)十，又有幾個(gè)一呢？

生 5 ：1000里面有10個(gè)100，100個(gè)10，1000個(gè)1。

在這個(gè)教學(xué)片段中，滲透了位值制概念，凸顯了從百到千的位值制，強(qiáng)化了“滿十進(jìn)一”的道理，讓學(xué)生體會(huì)相鄰計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí)過程。

英國著名科技史專家李約瑟博士評(píng)價(jià)說：“如果沒有這種十進(jìn)位制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個(gè)統(tǒng)一化的世界了。