徐紅霞

(上海工程技術(shù)大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，上海 201620)

目前，理工科《大學(xué)物理》課堂學(xué)習(xí)簡諧振動的合成時(shí)往往只討論兩個(gè)簡諧振動的合成，對兩個(gè)以上同方向、同頻率簡諧振動的合成問題不予討論，或是在教材中屬于帶*號內(nèi)容[1]。但這部分內(nèi)容卻是定量研究光的干涉和衍射的基礎(chǔ)，其尤為重要。

本研究從多個(gè)同方向、同頻率且同振幅的簡諧振動的合成結(jié)果出發(fā)，給出光的雙縫干涉和衍射的光強(qiáng)的定量表達(dá)，分析其條紋特點(diǎn)。

1 多個(gè)同方向、同頻率且同振幅的簡諧振動的合成

多個(gè)振動方向相同、振動頻率相同的簡諧振動的合運(yùn)動仍然是同方向、同頻率的簡諧振動，其合運(yùn)動的復(fù)雜程度取決于各分振動的振幅和相位。對于N個(gè)同方向、同頻率并且振幅相同、相位依次相差相同的Δφ的簡諧振動，若振動的表達(dá)式分別為：

x1=A0cos(ωt)

x2=A0cos(ωt+Δφ)

x3=A0cos(ωt+2Δφ)

……

xN=A0cos[ωt+(N-1)Δφ]

可以用多種方法證明[2]這N個(gè)簡諧振動的合振動x=Acos(ωt+φ)的合振幅為：

(1)

當(dāng)Δφ=2kπ(k=0,±1,±2，…)時(shí)，由式(1)可知合振幅為：

(2)

屬于是00型不定式。根據(jù)洛必達(dá)法則，這時(shí)的合振幅最大，有Amax=NA0。

當(dāng)NΔφ=2k′π(k′=±1,±2，…)且Δφ≠2kπ(k=0,±1,…)時(shí)，由式(1)可知合振幅有最小值A(chǔ)min=0。需要注意的是，在這里k′的取值只能為k′=±1,±2，…，±(N-1),±(N+1)…,±(2N-1),±(2N+1)…，k′不能取值N的倍數(shù)(k′≠0,±N,±2N,…)。這表明，對于這N個(gè)簡諧振動的合成，在合振幅取兩個(gè)最大值之間，有N-1個(gè)極小值，同時(shí)還有N-2個(gè)次級極大值。

2 兩個(gè)同方向、同頻率且同振幅的簡諧振動的合成與雙縫干涉

當(dāng)N=2時(shí)，由式(1)得合振幅為：

干涉疊加的光強(qiáng)可寫為：

3 N(=很大)個(gè)同方向、同頻率、同振幅且相位差Δφ很小的簡諧振動的合成與光的單縫衍射

(3)

相應(yīng)的光強(qiáng)為：

(4)

表1 單縫夫郎禾費(fèi)衍射部分明紋的光強(qiáng)Tab.1 Part of bright light intensity of single slit Flanghefer diffraction

4 N(=很大)個(gè)同方向、同頻率、不同振幅且Δφ很小的簡諧振動的合成與光柵衍射

(5)

(6)

相應(yīng)的光強(qiáng)為：

(7)

當(dāng)(a+b)sinθ=kλ, (k=0, ±1, ±2, …)時(shí)，由式(7)得：

(8)

當(dāng)N(a+b)sinθ=k′λ但(a+b)sinθ≠kλ時(shí)，由式(7)得I=0。這組衍射角光線的匯聚處即為光柵的暗紋。k′不能取N的倍數(shù)，k′的取值為k′=±1,±2…±(N-1),±(N+1),…,±(2N-1),±(2N+1)，…。對于有N條縫的光柵，每兩條主明紋之間，光強(qiáng)有N-1個(gè)極小，還有N-2個(gè)次級極大?？p數(shù)N越多的光柵，暗紋和次級明紋越多，主明紋的寬度則越細(xì)。

式(8)同時(shí)滿足sinNβ=0但sinβ≠0即sinu=0但u≠0可以得到缺級條件，在此不作詳細(xì)討論。

5 結(jié)語

目前，大多數(shù)大學(xué)物理課程中關(guān)于光的干涉和衍射，一般只討論條紋的位置和定性結(jié)果，對光強(qiáng)不給予詳細(xì)分析。從以上分析可以看出，在討論光的干涉和衍射問題時(shí)，從簡諧振動的合成出發(fā)，分析光強(qiáng)問題相對比較簡潔，學(xué)生并不難理解。以這條主線學(xué)習(xí)波的干涉、光的干涉和衍射，有助于學(xué)生對物理知識系統(tǒng)性的把握。此部分內(nèi)容可作為光的干涉和衍射的總結(jié)課內(nèi)容，也可以作為具有“挑戰(zhàn)度”的課外作業(yè)布置給學(xué)生，有助于學(xué)生的分析解決問題能力的提高。