劉長(zhǎng)菊 丁 豹 譚玉彬 蘇未安

(江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西 贛州 341000)

物理學(xué)是許多自然科學(xué)領(lǐng)域以及工程技術(shù)的基礎(chǔ)。因而，大學(xué)物理成為了高等院校理工科專(zhuān)業(yè)重要的基礎(chǔ)課和素質(zhì)教育課。該課程在系統(tǒng)地打好物理學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí)，能夠培養(yǎng)和提高學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)、思維方法和研究能力，甚至激發(fā)其探索創(chuàng)新精神。然而，物理學(xué)知識(shí)一般都比較抽象，學(xué)生難以理解和掌握。功能強(qiáng)大的Matlab軟件能夠彌補(bǔ)其不足，Matlab軟件的模擬、可視化功能可以直觀地呈現(xiàn)各種抽象的物理過(guò)程，便于學(xué)生理解和掌握[1-7]。作為大學(xué)物理重要內(nèi)容之一的波動(dòng)光學(xué)在當(dāng)前就得到了廣泛的模擬[7-16]。

當(dāng)平行光通過(guò)雙縫時(shí)，其后場(chǎng)是單縫菲涅耳衍射與雙縫干涉的綜合作用結(jié)果，難以得到精確的解析分布。但通過(guò)對(duì)恰當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ瓦M(jìn)行數(shù)值仿真，就能夠得到其光場(chǎng)的詳細(xì)分布信息。因而，近年來(lái)有不少研究者模擬研究了這一物理過(guò)程[7-16]。然而，不少研究者卻從遠(yuǎn)場(chǎng)、傍軸近似下的楊氏雙縫干涉結(jié)果出發(fā)進(jìn)行了模擬研究[8,11-16]，甚至討論近場(chǎng)干涉或者非傍軸干涉時(shí)也如此[12]；或者只是簡(jiǎn)單的利用單縫夫瑯禾費(fèi)衍射結(jié)果對(duì)楊氏雙縫干涉進(jìn)行修正[8,13-15]。這些模擬研究所使用的物理模型的合理性和普適性都是值得商榷的。一般而言，平行光通過(guò)雙縫后的光場(chǎng)分布可由最基本的惠更斯-菲涅耳原理計(jì)算獲得[17]。崔祥霞等人從惠更斯-菲涅耳原理出發(fā)編寫(xiě)了單縫衍射、楊氏雙縫干涉以及多縫干涉的Matlab模擬程序[18]，而張中月等人則根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理探討了單縫衍射及雙縫干涉時(shí)縫寬對(duì)條紋寬度的影響[7]。然而，諸如狹縫寬度對(duì)后場(chǎng)的影響等基本問(wèn)題還有待澄清，且非遠(yuǎn)場(chǎng)、傍軸近似的雙縫干涉結(jié)果至今也未有定論。因此，從最基本的惠更斯-菲涅耳原理出發(fā)模擬平行光通過(guò)雙縫后的光場(chǎng)分布仍具有一定的研究?jī)r(jià)值。因而，本文在惠更斯-菲涅耳原理的基礎(chǔ)上，利用Matlab軟件計(jì)算模擬了雙縫后的光場(chǎng)分布,詳細(xì)地討論了狹縫寬度對(duì)雙縫后場(chǎng)光強(qiáng)分布的影響。

1 雙縫疊加的理論模型

光的雙縫疊加原理如圖1所示。雙縫所在平面(用x′軸表示)與前光闌之間的距離為l，雙縫間不透光部分寬度為d，雙縫寬度分別為a和b；接收屏(用x軸表示)與雙縫所在平面之間的距離為R；通過(guò)前光闌的軸線(xiàn)垂直平分雙縫間不透光部分，軸線(xiàn)與接收屏交于O點(diǎn)。

圖1 光的雙縫疊加原理圖

根據(jù)菲涅耳衍射積分公式[17]，接收屏上距離軸線(xiàn)O點(diǎn)x處P點(diǎn)的光振動(dòng)為

(1)

(2)

(3)

通過(guò)式(3)計(jì)算就能夠獲得任意寬度的雙縫在接收屏處的光強(qiáng)分布情況。

2 計(jì)算結(jié)果及其討論

為了探討?yīng)M縫寬度對(duì)雙縫光疊加的影響，根據(jù)由惠更斯-菲涅耳原理導(dǎo)出來(lái)的公式(3)，利用Matlab軟件計(jì)算了波長(zhǎng)λ為640nm的單色光通過(guò)間距d=5.0 mm的不同雙縫后在R=2.0m處接收屏上的光強(qiáng)分布。

圖2 波長(zhǎng)λ=640nm的單色光通過(guò)寬度a=b=2.5×10-7m的雙縫(d=5.0×10-3m)在R=2.0m處接收屏上的光強(qiáng)分布

圖2(a)與圖2(b)分別是入射光線(xiàn)通過(guò)a=b=2.5×10-7m的雙縫后在接收屏上的光譜線(xiàn)圖和光強(qiáng)分布及單縫夫瑯禾費(fèi)衍射因子曲線(xiàn)。結(jié)果表明由于衍射效應(yīng)，狹縫之后的光線(xiàn)在垂直于狹縫的x軸方向得到展寬，使得通過(guò)雙縫后的兩光場(chǎng)在大范圍區(qū)域進(jìn)行疊加，導(dǎo)致接收屏上距離軸線(xiàn)O點(diǎn)10m之內(nèi)的區(qū)域均有不為零的光強(qiáng)。但由于縫寬a=b<λ，在后場(chǎng)中只觀察到中央明紋，并且光譜包絡(luò)線(xiàn)與夫瑯禾費(fèi)單縫衍射因子曲線(xiàn)卻有較大的差異，尤其是離軸較遠(yuǎn)之處。盡管兩者的相對(duì)強(qiáng)度在x=0的中央位置附近都為1，但x=10m處光譜包絡(luò)線(xiàn)的相對(duì)強(qiáng)度I=8.3×10-3，僅為夫瑯禾費(fèi)單縫衍射強(qiáng)度(I=0.6015)的1.38%。導(dǎo)致這種結(jié)果的主要原因就是該物理過(guò)程中的單縫衍射為菲涅耳衍射，而不是夫瑯禾費(fèi)衍射。為了詳細(xì)討論接收屏上相對(duì)光強(qiáng)的變化，圖2(c)和圖2(d)分別給出了相對(duì)光強(qiáng)從1開(kāi)始減小的臨界區(qū)域內(nèi)(-0.265m

圖3給出了單色光通過(guò)a=b=2.5×10-6m的雙縫后在接收屏上的光強(qiáng)分布。由圖3(a)和圖3(b)可見(jiàn)，只有-2m

圖3 波長(zhǎng)λ=640nm的單色光通過(guò)寬度a=b=2.5×10-6m的雙縫(d=5.0×10-3m)在R=2.0m處接收屏上的光強(qiáng)分布

圖4 波長(zhǎng)λ=640nm的單色光通過(guò)寬度a=b=2.5×10-5m的雙縫(d=5.0×10-3m)在R=2.0m處接收屏上的光強(qiáng)分布

當(dāng)雙縫寬度進(jìn)一步增加到a=b=2.5×10-5m時(shí)，單色光在雙縫后接收屏上的光強(qiáng)分布如圖4所示?？p寬的增加降低了衍射展寬，使得接收屏上的光譜重疊范圍縮小。圖4(a)和4(b)顯示僅當(dāng)|x|<0.2m時(shí)，接收屏上的光強(qiáng)才不為零，其包絡(luò)線(xiàn)與夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的結(jié)果一致。圖2至圖4均表明在接收屏上距軸線(xiàn)較近之處，雖然楊氏雙縫干涉的近似不成立(圖4(c)中僅當(dāng)-0.004m

圖5 波長(zhǎng)λ=640nm的單色光通過(guò)雙縫寬度a=b為(a,b) 4.5×10-5m、(c,d) 9.0×10-5m和(e,f) 1.25×10-4m的雙縫(d=5.0×10-3m)后在R=2.0m處接收屏上的光強(qiáng)分布

雙縫寬度增加到4.5×10-5m(～70λ)時(shí)，接收屏上出現(xiàn)了最小光強(qiáng)不為零的區(qū)域(圖5(b)中計(jì)算曲線(xiàn)下方的白色區(qū)域)，其極值出現(xiàn)在x～2.5×10-3m處且隨著縫寬的增加而增大(詳見(jiàn)圖5)，在a=b=2.5×10-4m(～390λ)時(shí)甚至超過(guò)了50%(見(jiàn)圖6(b)與圖6(d))。這表明當(dāng)光通過(guò)70λ以上的狹縫時(shí)，因光的衍射效果減弱，直線(xiàn)傳播的性質(zhì)逐漸表現(xiàn)出來(lái)了。當(dāng)通過(guò)雙縫的衍射光在后場(chǎng)疊加時(shí)，由于衍射展寬的效果較弱，接收屏上除中央位置外各點(diǎn)的光強(qiáng)差別較大，疊加后的光強(qiáng)自然就不可能達(dá)到零。且衍射作用隨著縫寬的增大而減弱，導(dǎo)致了最小光強(qiáng)隨著縫寬的增大而增強(qiáng)。通過(guò)雙縫的衍射光在狹縫中心出的差別最大，因而最小光強(qiáng)的極大值出現(xiàn)在x=±(a+d)/2～±d/2處，與計(jì)算結(jié)果一致。

當(dāng)單色光通過(guò)縫寬a=b=2.5×10-3m的雙縫時(shí)，其后場(chǎng)2.0m處觀察到的僅為兩條明亮的光線(xiàn)(如圖7(a)與圖7(b)所示)，此時(shí)，直線(xiàn)傳播的特性表現(xiàn)出來(lái)，而衍射特性不再明顯。而在兩條光線(xiàn)的中間，還存在著條紋結(jié)構(gòu)(如圖7(c)和圖7(d))，這表明衍射效應(yīng)仍然存在，只是不顯著了。圖7(e)和圖7(f)給出了640nm的光通過(guò)a=2.5×10-3m的單縫后的光場(chǎng)分布。計(jì)算結(jié)果也說(shuō)明光通過(guò)寬縫時(shí)主要表現(xiàn)為直線(xiàn)傳播性質(zhì)，衍射對(duì)光強(qiáng)分布的作用很微弱。因而，當(dāng)可見(jiàn)光通過(guò)寬度大于70λ的雙縫后，其直線(xiàn)傳播性質(zhì)逐漸表現(xiàn)出來(lái)，后場(chǎng)的光強(qiáng)分布就不能近似為夫瑯和費(fèi)單縫衍射調(diào)制的雙縫干涉結(jié)果。

圖6 波長(zhǎng)λ=640nm的單色光通過(guò)寬度a=b=2.5×10-4m的雙縫(d=5.0×10-3m)在R=2.0m處接收屏上的光強(qiáng)分布

圖7 波長(zhǎng)λ=640nm的單色光通過(guò)寬度a=b=2.5×10-3m的雙縫(d=5.0×10-3m，圖(a)～圖(d))及a=2.5×10-3m的單縫(圖(e)和圖(f))后在R=2.0m處接收屏上的光強(qiáng)分布。深色線(xiàn)為計(jì)算結(jié)果，淺色線(xiàn)為夫瑯禾費(fèi)單縫衍射結(jié)果

圖8 波長(zhǎng)λ=640nm的單色光通過(guò)等寬雙縫后在R=2.0m處接收屏上的光強(qiáng)分布(a，b) a=b=2.5×10-4m，d=7.5×10-4m；(c，d) a=b=2.5×10-5m，d=7.5×10-5m；(e，f) a=b=2.5×10-6m，d=7.5×10-6m

圖9 波長(zhǎng)λ=640nm的單色光通過(guò)縫寬不等的雙縫后在R=2.0m處接收屏上的光強(qiáng)分布其中，a=2.5×10-5m保持不變；(a，b) b=1.5×10-5m，d=5.0×10-5m；(c，d) b=1.0×10-5m，d=5.0×10-5m；(e，f) b=5.0×10-6m，d=5.0×10-5m

為了研究光通過(guò)寬度不等的雙縫之后的行為，我們計(jì)算了不透光部分d保持為5.0×10-5m，一個(gè)縫寬a保持為2.5×10-5m，而另一縫寬b分別為1.5×10-5m，1.0×10-5m和5.0×10-6m的3種雙縫之后的光場(chǎng)分布。波長(zhǎng)為640nm的光波通過(guò)寬度不同的3種雙縫之后在2.0m處的光強(qiáng)計(jì)算結(jié)果如圖9所示。通過(guò)對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，隨著兩狹縫寬度差異的增大條紋變得越模糊而位置與強(qiáng)度卻只有輕微的變化。其主要原因在于隨著兩縫寬度差值的增大，暗條紋的光強(qiáng)就隨之增加，從而使得反襯度γ降低，導(dǎo)致了條紋模糊不清[17]。當(dāng)兩縫寬度均為2.5×10-5m時(shí)，接收屏上的反襯度γ=1(如圖8(d))；而將其中的一縫寬度b減少到1.5×10-5m,1.0×10-5m和1.0×10-5m時(shí)，接收屏中央位置附近的反襯度γ分別降低到0.904，0.734和0.451，條紋逐漸模糊不清(如圖9所示)。其3種雙縫結(jié)構(gòu)之后第一級(jí)主極大的位置分別為1.77×10-2m，1.81×10-2m和1.83×10-2m，對(duì)應(yīng)的相對(duì)光強(qiáng)I分別為0.73，0.72和0.68。可見(jiàn)，主極大的位置隨著雙縫寬度差異的增加而向外側(cè)輕微移動(dòng)，并且其光強(qiáng)也有所降低。

3 總結(jié)

基于惠更斯-菲涅耳原理和Matlab計(jì)算仿真詳細(xì)地探討了雙縫寬度對(duì)于其后光場(chǎng)分布的影響作用。對(duì)于不透光部分d=5.0×10-5m的等寬雙縫結(jié)構(gòu)，狹縫寬度與光波長(zhǎng)同量級(jí)時(shí)，后場(chǎng)中央附近的光場(chǎng)分布可以近似為楊氏雙縫干涉結(jié)果；當(dāng)狹縫寬度比光波長(zhǎng)大1～2個(gè)量級(jí)時(shí)，中央附近的光強(qiáng)可近似為單縫夫瑯禾費(fèi)衍射修正的楊氏雙縫干涉結(jié)果；而當(dāng)狹縫寬度比光波大3個(gè)以上的數(shù)量級(jí)時(shí)，光波通過(guò)雙縫后主要表現(xiàn)為直線(xiàn)傳播特性。(a+d)/a值較小的雙縫結(jié)構(gòu)之后的光場(chǎng)為典型的光柵衍射光譜。當(dāng)(a+d)/a值保持不變時(shí)，各級(jí)條紋的位置隨著光柵常數(shù)的減小向遠(yuǎn)離軸線(xiàn)的方向移動(dòng)，而相對(duì)光強(qiáng)的沒(méi)有發(fā)生顯著的變化。而當(dāng)兩狹縫的寬度不等時(shí)，后場(chǎng)光譜隨著寬度差距的增加使得反襯度γ降低，導(dǎo)致條紋模糊，其位置向外側(cè)輕微移動(dòng)而光強(qiáng)緩慢下降。