四川省成都市第七中學(xué)(610041) 巢中俊 周莉莉

1 題目

已知f(x)=ex?ax?2 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,且x1

這道題簡(jiǎn)潔優(yōu)美,有一定的難度.下面將從四個(gè)不同的角度來(lái)分析求解.

2 多角度求解

角度1x1,x2是方程ex?ax?2=0 的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,a易表達(dá)為x1,x2的顯函數(shù),這似乎與求解方向背道而行;逆向思維提示用a來(lái)表達(dá)x1,x2,但遺憾的是x1,x2無(wú)法用a的顯式來(lái)表示.退而求其次借助隱函數(shù)工具(x1=x1(a),x2=x2(a))來(lái)求解,于是乎柳暗花明.

我們不難知a>0,x1<00.對(duì)方程ex?ax?2=0 兩邊關(guān)于a求導(dǎo)得exx′?x?ax′=0,解得即所以

把ex1=ax1+2,ex2=ax2+2 代入(1)式得注意到ex1?a=f′(x1)<0,ex2?a=f′(x2)>0,x2?x1>0.當(dāng)a <2 時(shí),當(dāng)a>2 時(shí),>0,所以x2?x1取到最小值時(shí)a=2.

角度2x1,x2是方程ex?ax?2=0 的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,參變分離得a=數(shù)形結(jié)合幫助我們洞察到x2?x1的幾何意義為直線y=a與y=的兩交點(diǎn)之間的距離,于是乎船到橋頭.

可以得到g(x)=的圖象是兩支且分別位于y軸兩側(cè),直線y=a分別交g(x) 兩支于A(x1,a),B(x2,a)把g(x)的圖象的左支沿著平行移動(dòng)直到與g(x)的圖象的右支首次相接觸,移動(dòng)距離即為x2?x1的最小值.此時(shí)觸點(diǎn)處的切線為平移后的左支與右支的公切線.所以當(dāng)x2?x1取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的A,B兩點(diǎn)處的切線為平行直線,故g′(x1)=g′(x2).

注意到g′(x)=且ex1=ax1+2,ex2=ax2+2,故即因?yàn)閤1?=x2,所以a=2,所以x2?x1取到最小值時(shí)a=2.

角度3x1,x2是方程ex?ax?2=0 的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,我們表達(dá)為

(2)式中兩式相減得a(x2?x1)=ex2?ex1=即結(jié)合ex1?ax1?2=0我們把x2?x1的最小值轉(zhuǎn)化化歸為單變量函數(shù)的最值問(wèn)題,于是乎別有洞天.

令x2?x1=t,則記g(t)=,t >0,二次求導(dǎo)得g(t) 關(guān)于t單調(diào)遞減.故x2?x1=t取最小值轉(zhuǎn)化為取最大值.結(jié)合ex1?ax1?2=0,求的最大值的處理方法較多:例如解出a=代入得求導(dǎo)分析得ex1?2x1?2=0時(shí),取最大值,此時(shí)a==2;再例如記m=則x1=lnam,于是am?alnam?2=0,故m?lnm=lna+注意到f′(x1)=ex1?a <0,a >0,故m ∈(0,1).易知m?lnm關(guān)于m單調(diào)遞減,m=取最大值再次轉(zhuǎn)化為lna+取最小值.不難論證lna+在a=2 時(shí)取到最小值.所以x2?x1取到最小值時(shí)a=2.

角度4x1,x2是方程ex?ax?2=0 的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,a的變化引起x1,x2的變化,傳導(dǎo)引起x2?x1的變化.考慮x2?x1取最小值的實(shí)數(shù)a,對(duì)比不同于a的實(shí)數(shù)b產(chǎn)生的x′2?x′1,分析出a滿足的條件關(guān)系,于是乎返樸歸真.記fa(x)=f(x)=ex?ax?2.

不難得到a >0 且fa(x)的最小值為fa(lna)=a?alna?2<0.考慮使得x2?x1取最小值的實(shí)數(shù)a,則x10,b ?=a,設(shè)fb(x)=ex?bx?2 的兩個(gè)不同的零點(diǎn)為x′1,x′2,則x′1

圖1

由x2?x1的最小性知x2?x1≤x′2?x′1,即(x2?lna)+(lna?x1)≤(x′2?lnb)+(lnb?x′1),也即

由(3)式知存在i ∈{1,2}使得

記f′a(x)=f′(x)=ex?a,對(duì)任意的t ∈R,計(jì)算得f′b(lnb+t)=從而即fb(lnb+t)?fb(lnb)=t)?fa(lna)].令xi?lna=t,由(4)式可得fb(lnb+t)≤fb(x′i)=0.注意到fa(lna+t)=fa(xi)=0,從而

令λ=于是(5)式為λ(a?alna?2)≥λa?λalnλa?2,化簡(jiǎn)得a(λlnλ)≥2(λ?1).注意到lnλ≤λ?1,所以于是λlnλ≥λ?1.若λ>1,則故a≥2;若0<λ<1,則故a≤2.于是a=2,所以x2?x1取到最小值時(shí)a=2.

通過(guò)這四個(gè)不同的角度解穿[1]、解透[2][3]這道導(dǎo)數(shù)題,我們可以清晰地認(rèn)知到這道導(dǎo)數(shù)題的內(nèi)在本質(zhì).