廣東省廣州市二中蘇元實驗學校(510000) 張亞茹

1 原題呈現(xiàn)

從甲地到乙地有一段上坡與一段平路.如果保持上坡每小時走3km,平路每小時走4km,下坡每小時走5km,那么從甲地到乙地需54min,從乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少?

本題源自人教版教材七年級下冊第102 頁第6 題,考查的基本知識為:實際問題與二元一次方程組——行程問題,考查的基本能力為:能夠根據(jù)題意,設(shè)立恰當?shù)奈粗獢?shù),列出方程或方程組;能夠選擇恰當?shù)姆椒?求出方程組的解,解決實際問題.用二元一次方程組解決的應(yīng)用題類型很多,其中的行程問題、工程問題、分配問題等,都是近幾年考試的熱點問題.

2 試題分析

在這道行程問題的應(yīng)用題中,涉及的路程有:從甲地到乙地的路程、從乙地到甲地的路程、上坡路、平路、下坡路.學生審題時,結(jié)合生活實際,不難得出這幾段路程之間的關(guān)系:從甲地到乙地的路程=從乙地到甲地的路程,從甲地到乙地的路程=上坡路+平路,從乙地到甲地的路程=平路+下坡路,還應(yīng)該注意的是,平路的長度不變,上坡路的的長度=下坡路的長度.

在本題中,涉及的速度有:上坡時的速度是每小時3km,平路每小時走4km,下坡每小時走5km,在不同的路段,因為速度不同,所用的時間也就不同.涉及的時間有:從甲地到乙地的時間是54min,從乙地到甲地的時間是42min,時間的單位是以“min”也就是“分鐘”為單位,速度的單位是“km/h”也就是“千米/小時”,所以,在時間的單位上,存在著巨大的陷阱,審題時沒能引起對“時間單位不統(tǒng)一”的關(guān)注的同學,本題做錯的風險大大提升了.

在本題中,路程、速度、時間,三者之間的關(guān)系為:路程=速度×時間,速度=路程÷時間,時間=路程÷速度,用哪個量建立等量關(guān)系好呢? 選取的等量關(guān)系不同,決定設(shè)立的未知數(shù)以及建立的方程都會有所不同.

結(jié)合以上對試題的分析,如果以時間為等量關(guān)系,則比較容易得出:從甲地到乙地的時間=上坡路所用的時間+平路所用的時間,從乙地到甲地所用的時間=平路所用的時間+下坡路所用的時間.關(guān)于時間的統(tǒng)一,可以將分鐘轉(zhuǎn)化為小時,也可以將“千米/小時”轉(zhuǎn)化為“千米/分鐘”,盡管后者不常用.

3 解法探究

解法1設(shè)坡路長為xkm,平路長為ykm.54 min依題意列方程組得:或者列成均可,解得

如果以路程相等建立等量關(guān)系,則有:從甲地到乙地的路程=從乙地到甲地的路程.因為在平路所用的時間是相同的,而平路所用的時間又與上坡所用的時間和下坡所用的時間都有聯(lián)系,所以可以設(shè)平路的時間為未知數(shù),利用路程相等建立方程,此種解法仍需轉(zhuǎn)化時間單位.

解法2設(shè)平路所用的時間為th,則上坡所用的時間為下坡所用的時間為根據(jù)路程相等,列一元一次方程得:解得t=0.4,計算+4t=2.7?1.2+1.6=3.1km.

從解法2 中,我們可以獲得新的靈感,既然從甲地到乙地的平路路程=從乙地到甲地的平路路程,平路的路程與速度都相等,則所用的時間也是相等的,那么54 min-42 min=12 min=就是這段坡路因為上坡和下坡的速度不同產(chǎn)生的時間差,由此,我們可以得到更為簡潔的方法.

解法3解:設(shè)坡路長為xkm,依題意得:解得:x=1.5,再計算=1.5+1.6=3.1km.這種解法在計算上非常簡便,但是在思維能力方面的要求上,明顯比解法1 和解法2 的要求更高一些.

在思考的過程中,也可以同時抓住“時間”和“路程”兩個量來建立等量關(guān)系,此時可以列出如下的三元一次方程組.

解法4設(shè)上坡路用xh,平路用yh,下坡路用zh,依題意列方程組得: 54 min=0.9 h,42 min=0.7 h.解得:再計算3×0.5+4×0.4=3.1km.這種解法也很有自己的優(yōu)勢,在列方程和求解方程上都非常自然和簡潔.

4 學生思維障礙分析

本題在七年級第二學期期末檢測中作為第20 題考查過,該題滿分6 分,全級得分平均為為3.27 分,從閱卷情況看,答題情況很不理想,零分的人數(shù)占40%左右,特別值得關(guān)注.筆者通過對全級學生的答題情況進行分析,發(fā)現(xiàn)學生的解題思維障礙主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

4.1 審題不仔細,忽略細節(jié)

學生在審題時,不夠細心,沒有發(fā)現(xiàn)時間的單位不統(tǒng)一,得零分的學生,有一大部分比例是因為這個細節(jié)出錯.典型錯誤如下:

解設(shè)坡路長為xkm,平路長為ykm,依題意列方程組得解得:然后計算得x+y=90+96=186km.

更為關(guān)鍵的是,學生沒有結(jié)合實際檢驗一下,這個結(jié)果是否可能,也就是說,從結(jié)果來看,從甲地到乙地共186km,步行竟然只需54min,這完全不符合生活實際,如果有這種檢驗的意識,也會發(fā)現(xiàn)自己列的方程是有問題的.

4.2 轉(zhuǎn)化能力弱,不能準確找出等量關(guān)系

部分成績比較弱的學生,讀不懂題意,或者直接用錯路程、速度、時間三者之間的關(guān)系,典型錯誤如下:

解設(shè)坡路長為xkm,平路長為ykm,依題意列方程組得或者方程中出現(xiàn)了“路程×速度=時間”這樣的錯誤,平時的教學中,也常常發(fā)現(xiàn)學生對“順水逆水問題”、“相遇問題”、“追及問題”等行程問題的理解和掌握,都還有很大的提升空間.

4.3 計算能力不過關(guān)

除了單位轉(zhuǎn)化這個難點之外,解方程組成為了另一個難點,計算能力不過關(guān),或?qū)е掠嬎氵^程中的各種失誤.

錯誤1少數(shù)學生列出方程組之后,不會利用“加減消元法”進行消元,或者不會去分母,將方程組化為整數(shù)系數(shù)的方程組,出現(xiàn)了混亂的計算.也有學生將方程成功的化簡為后,計算的結(jié)果沒有約分,得到了然后在計算時,數(shù)據(jù)比較大,導(dǎo)致了計算的失誤.個別學生計算對了一個結(jié)果,代入求另一個結(jié)果時出現(xiàn)錯誤,還有學生寫反了分子分母,得到等.

錯誤2成功的轉(zhuǎn)化了3km/h=卻將方程組錯誤的列為:非?？上?

錯誤3個別學生把數(shù)據(jù)寫反了,方程組列成了雖然只是很少數(shù)的學生,但是也提醒我們,一定要看清楚數(shù)據(jù),寫錯一個數(shù)據(jù)就全盤皆輸了.

錯誤4時間單位轉(zhuǎn)化錯誤,將54 min=0.54 h,42 min=0.42 h,方程組錯誤的列成了分鐘與小時的轉(zhuǎn)化,是60 進制,學生錯誤的按百分制進行了轉(zhuǎn)化.

5 反思與啟示

通過對學生答題的思維障礙分析,我們發(fā)現(xiàn),教師在教授應(yīng)用題解題時,可以注重以下方面的一些改進.

(1)通過一些典型的例子,教學生如何審好題,在讀條件、分析條件、利用條件的同時,一定要特別留意細節(jié),比如本題的單位轉(zhuǎn)化,比如人教版教材七年級下冊第126 頁第7題,也同樣存在“元”與“萬元”的單位轉(zhuǎn)化.

(2)在解應(yīng)用題時,列圖表、畫示意圖等都有利于分解題目難度,幫助學生快速、準確的找出等量關(guān)系.比如,此題中,涉及的路程、速度、時間等,在審題時,可以列出下列的表格幫助分析:

從甲地到乙地從乙地到甲地路程上坡xkm 平路ykm 平路ykm 下坡xkm速度3km/h 4km/h 4km/h 5km/h時間54min 42min

畫出這樣的示意圖幫助分析:

(3)在應(yīng)用題的“審”、“設(shè)”、“列”、“解”、“檢驗”、“答”環(huán)節(jié)中,教學中要注意各種應(yīng)用題模型在以上環(huán)節(jié)中的技巧,盡量減少計算方面的丟分,并強調(diào)在問題解決之后的檢驗.

(4)教學中不能脫離教材,用好教材中的例題、課后題,深挖典型題目的作用,引導(dǎo)學生發(fā)散思維,深入學習和探討多種方法解決問題,培養(yǎng)和提升學生分析問題、解決問題的能力.