浙江省紹興市越州中學(xué)(312075) 屠豐慶

吉林省北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(132013) 屠蕊林

數(shù)學(xué)知識(shí)在提出問(wèn)題的過(guò)程中不斷創(chuàng)新,數(shù)學(xué)思維在分析問(wèn)題的過(guò)程中趨向深刻,數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)在解決問(wèn)題的過(guò)程中螺旋上升.近期我們父女兩對(duì)以下?？碱}從第一個(gè)疑慮出發(fā),通過(guò)尋根問(wèn)底和系列討論,對(duì)此類問(wèn)題有了新的認(rèn)識(shí),現(xiàn)整理成文,供有類似疑問(wèn)的讀者參考.

?？碱}已知{an}是公差不為0 的等差數(shù)列,Sn是等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,若a2是a1和a4的等比中項(xiàng),a1=b1=6,a3=b2.

(1)求an及Sn;

解析(1)an=6n,bn=6·3n?1,Sn=3(3n?1),過(guò)程略.

①當(dāng)n=1 時(shí),左邊=右邊=不等式成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+1 時(shí),根據(jù)歸納假設(shè):

問(wèn)題1數(shù)學(xué)歸納法往往能用于跟自然數(shù)相關(guān)命題的證明,為什么此題不能用數(shù)學(xué)歸納法?

分析其實(shí)所以化簡(jiǎn)不等式即只需證:

解決從證明對(duì)象的“形式”上看,一般認(rèn)為: 等式的證明數(shù)學(xué)歸納法肯定適合,而對(duì)于不等式”等其他情形類似分析,下同)的證明,往往只適合兩側(cè)都帶有n的情形.本題整理后一側(cè)是常數(shù),不適合使用數(shù)學(xué)歸納法.

問(wèn)題2那此類不等式何時(shí)才能使用數(shù)學(xué)歸納法證明,具體要滿足什么條件?

分析為了搞清這個(gè)問(wèn)題,先來(lái)看以下兩個(gè)不等式用數(shù)學(xué)歸納法的證明和解析過(guò)程.

證明①當(dāng)n=1 時(shí),左邊=右邊=不等式成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+1 時(shí),根據(jù)歸納假設(shè)只需證:即證:顯然成立.

由①②可知,不等式對(duì)任意n都成立.

解析只關(guān)注第②步,當(dāng)n=k+1 時(shí),使用歸納假設(shè)后只需證明整理后即證但此式對(duì)任意自然數(shù)n都不成立,骨牌中斷!

兩個(gè)不等式形式上完全類同,而且從強(qiáng)弱的角度,不等式(1)更強(qiáng),但為什么在數(shù)學(xué)歸納法面前,不等式(2)反而傳遞不下去,難道形同質(zhì)異?

解決其實(shí)根據(jù)上述證明過(guò)程我們發(fā)現(xiàn),從k到k+1的過(guò)程中,要保證傳遞的連續(xù)性,要求左側(cè)的增量小于等于右側(cè)的增量.一般地,對(duì)于不等式當(dāng)ak≤f(k)?f(k?1)時(shí)才能保證歸納假設(shè)的傳遞性.

問(wèn)題3那對(duì)于而言,是否可以從邏輯上確定呢?

分析首先假設(shè)不等式可以強(qiáng)化為接著思考的問(wèn)題自然是: 要使加強(qiáng)命題成立,g(n)應(yīng)滿足什么條件呢? 根據(jù)問(wèn)題2 的證明和解析過(guò)程,g(n)應(yīng)滿足:

觀察(2)式的結(jié)構(gòu),不等式左邊分母是二次多項(xiàng)式,于是我們考慮到如果g(n)是一次多項(xiàng)式,則不等式右邊通分后也是一個(gè)二次多項(xiàng)式,這樣(2)式就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二次多項(xiàng)式的比較,從而可以通過(guò)g(n)的系數(shù)控制使(2)式成立.

解決設(shè)g(n)=(a,b為待定的常數(shù)),將代入(2)式,化簡(jiǎn)整理得:a(2k+3)2≥(ak+b)(ak+a+b)對(duì)k ∈N?恒成立,即要求: 4ak2+12ak+9a≥a2k2+(2ab+a2)k+b(a+b)對(duì)k ∈N?恒成立,比較各項(xiàng)系數(shù)可取a≤4,b≤4.又因?yàn)間(n)=還需滿足(1)式,代入得a+b≥因此根據(jù)上述邏輯推理,不妨取a=4,b=4,即得g(n)=

問(wèn)題4此方法對(duì)類似不等式的證明是否適用,譬如對(duì)文初的?？碱}該如何操作?

分析由上,問(wèn)題也就是如何加強(qiáng)致使不等式能用數(shù)學(xué)歸納法證明.

類似分析首先假設(shè)不等式可以強(qiáng)化為觀察(4) 式的結(jié)構(gòu),考慮g(n)=則g(n) 整理后應(yīng)滿足:即這樣的a不存在!

解決一般地,類似不等式加強(qiáng)為

這樣,給類似的不等式證明提供了一條嶄新的道路(下稱“新方法”)!

問(wèn)題5新方法與傳統(tǒng)不等式放縮法相比,有什么異同和優(yōu)點(diǎn)?

分析其實(shí)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程,關(guān)注利用n=k的歸納假設(shè)推導(dǎo)n=k+1 應(yīng)滿足的條件,發(fā)現(xiàn)新方法其本質(zhì)上就是放縮法.

解決由上分析,新方法本質(zhì)上就是特殊的放縮法,只是它不僅給出了一種放縮程序化的探求方法,而且縮小了的上界;另外我們還可以通過(guò)待定系數(shù)調(diào)整g(n),使得進(jìn)一步逼近上確界.因此新的證明方法相比傳統(tǒng)的放縮法更精確,更具可操作性.

問(wèn)題6從傳統(tǒng)放縮法的視角,如何理解新方法中放縮的特殊性?

分析進(jìn)一步化簡(jiǎn)整理得到發(fā)現(xiàn)新方法推導(dǎo)的放縮結(jié)論,一般情形下,解題者不會(huì)想到如此操作.

解決根據(jù)上述放縮的三個(gè)著眼點(diǎn),結(jié)合上例中對(duì)于的證明,來(lái)理解新方法的放縮結(jié)論,首先從第二項(xiàng)開(kāi)始大于等于其次新數(shù)列通項(xiàng)屬等差×等比,能采用錯(cuò)位相減的方法求和.最后新數(shù)列和的上確界為沒(méi)有超過(guò)上限1.

新方法給出的放縮雖可通過(guò)邏輯推理得到,但美中不足的是過(guò)程相對(duì)復(fù)雜,而且待定系數(shù)之前需觀察通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征,也具一定的技巧性.

問(wèn)題7無(wú)論是新方法還是傳統(tǒng)放縮都有點(diǎn)“高深”,那對(duì)具體的通項(xiàng),放縮的方向和結(jié)論有沒(méi)有規(guī)律可循?

分析在新方法放縮結(jié)論的基礎(chǔ)上,繼續(xù)觀察模考題參考答案給出的放縮過(guò)程:

顯然,跟新方法相比,參考答案給出的方法,放縮更加“大膽粗獷”.

結(jié)合問(wèn)題6 中對(duì)放縮的三個(gè)著眼點(diǎn),來(lái)挖掘數(shù)列放縮的規(guī)律.首先,當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí),通項(xiàng)an=中起關(guān)鍵作用的是3n,相對(duì)于3n,分子n與分母中的?1 可以忽略不計(jì),參考答案將3n用2n替換,明顯比新方法的放縮更加大刀闊斧;其次,形式上參考答案放縮結(jié)論是非常簡(jiǎn)潔的等比數(shù)列能直接使用公式求和.

但應(yīng)該指出的是,如此大膽放縮,其“代價(jià)”就是上界估計(jì)精確度的降低,也就是極有可能放過(guò)頭,參考答案放縮成好在數(shù)列求和結(jié)果還沒(méi)有超過(guò)上限1,否則就要不斷調(diào)整,譬如將原題上限的估計(jì)精度提高到常見(jiàn)調(diào)整有兩種處理辦法,一種是增強(qiáng)通項(xiàng)放縮的精度,譬如從第三項(xiàng)開(kāi)始改放縮為另一種是保留左側(cè)數(shù)列求和的前幾項(xiàng)不變,保留越多精確度越高,本例中,只需保留前三項(xiàng),后續(xù)仍然放縮為也就能達(dá)到證明的精度.

解決常見(jiàn)的放縮還是有規(guī)律可循,一般可以在觀察通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,先明確各項(xiàng)無(wú)窮大“階”的高低順序,眾所周知: 以“2”為例,當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí),n!?2n ?n2?2n ?log2n ?常數(shù)2.上例中類似地有3n ?n ?常數(shù)-1;然后結(jié)合已有數(shù)列的求和方法和放縮方向,從階小的項(xiàng)開(kāi)始調(diào)整,往能求和的數(shù)列通項(xiàng)變形,一般來(lái)說(shuō),調(diào)整項(xiàng)的階越高調(diào)整幅度越大.抓住本質(zhì),放縮就有規(guī)律可循,也就不再高深莫測(cè).對(duì)于?？碱},除了前面提到的兩種放縮,通項(xiàng)還可以放縮為等,甚至可以從數(shù)列的某一項(xiàng)開(kāi)始放縮成(1

問(wèn)題8根據(jù)剖析過(guò)程,是否意味著這類不等式的證明可采用一種“賴皮”的方法?

分析還是就模考題的證明而言,解題者根本不需要細(xì)細(xì)思考,就對(duì)作一大膽放縮,例如:說(shuō)明: 此處沒(méi)有細(xì)細(xì)運(yùn)算,是故作玄虛,n隨意選取了足夠大的100.接下去對(duì)原不等式作如下變形和放縮,

雖然有點(diǎn)投機(jī)取巧,但從邏輯的角度,證明本質(zhì)上將數(shù)列求和從無(wú)限變?yōu)橛邢?過(guò)程也無(wú)可厚非!

解決由上,本文研究的不等式中的級(jí)數(shù)都是收斂的,因此可“較隨意”地放縮成一個(gè)易求和的數(shù)列,譬如放縮成一個(gè)簡(jiǎn)單的無(wú)窮遞縮等比數(shù)列,則總存在一個(gè)較大的N0,使得目標(biāo)值.因?yàn)殡S著N0不斷增大,與0 越來(lái)越接近,也就是說(shuō)不斷接近于的上確界,這樣就會(huì)出現(xiàn)類似上述這種“賴皮”的證明方法.

問(wèn)題9上述放縮的“賴皮”法以及用數(shù)學(xué)歸納證明加強(qiáng)命題的新方法,是否普遍適用?

分析我們來(lái)考察不等式的證明.眾所周知顯然當(dāng)n →∞時(shí),1?→1,也就是的上確界為1.那么無(wú)論從那一項(xiàng)N0開(kāi)始放縮,放縮成那個(gè)具體的數(shù)列bn,總有放縮肯定會(huì)突破上確界1,至少放大到1+(bN0?aN0).

其次,在“盲目”的狀態(tài)下,解題者能將此加強(qiáng)成“不等式”,再用數(shù)學(xué)歸納法證明嗎? 答案也是否定的,假設(shè)可以加強(qiáng)為則1?<1?g(n),即g(n)<對(duì)任意的n都成立.期望加強(qiáng)命題能用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明,按照前面的邏輯推理,則必須滿足:?n0,對(duì)?k≥n0,都有g(shù)(k)?g(k+1)≥則矛盾! 因此不能使用加強(qiáng)成“不等式”再數(shù)學(xué)歸納法證明的新方法.

解決上述放縮的“辣皮”法不是普遍適用的,至少對(duì)于收斂級(jí)數(shù)當(dāng)C剛好為的上確界C0時(shí),C?C0=δ=0 沒(méi)有放縮的自由活動(dòng)空間,在這種情況下,上述放縮法不再適用;另外,對(duì)于數(shù)學(xué)歸納證明加強(qiáng)成命題的新方法,也不是普遍適用的,但有時(shí)候可以加強(qiáng)為等式來(lái)證明.

至此,對(duì)這個(gè)數(shù)列不等式證明過(guò)程的“連問(wèn)”,暫告一個(gè)段落.但問(wèn)題似乎還遠(yuǎn)沒(méi)有結(jié)束,譬如: 對(duì)于收斂級(jí)數(shù)是否可以分成兩類,即分別加強(qiáng)“不等式”或“等式”再用數(shù)學(xué)歸納法證明? 如果不能,需要滿足什么條件才能使用加強(qiáng)命題的新方法? 等等,期待讀者和同行對(duì)此不等式的進(jìn)一步研究!