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位似變換是一種是放大或縮小物體的特殊相似,縮放因子在所有方向上都作相同的變換.如圖1,以點O為位似中心,將線段AB進行位似變換,使新圖形A′B′與原圖形AB的位似比為即如圖2,點P在AB上,連接并延長PO,交A′B′于P′,易證ΔA′OP′∽ΔAOP,AP與A′P′仍然是位似關(guān)系,且有

圖1

結(jié)論一在位似變換中,某一點運動時,對應(yīng)點的運動軌跡與該點的運動軌跡形狀相同,只是大小不一定相同.

特殊地,當該點作直線運動時,對應(yīng)點亦作直線運動.如圖2,當點P在線段上從點A運動到點B時,對應(yīng)點P′的運動軌跡為線段A′B′,運動方向是從點A′到點B′的方向.

圖2

在圖2的基礎(chǔ)上,將ΔOA′B′繞點O旋轉(zhuǎn)某一度數(shù)得到ΔOA′′B′′,點P′相應(yīng)地旋轉(zhuǎn)到P′′的位置.如圖3,連接AA′′、BB′′、CC′′,由∠A′OA′′=∠B′OB′′=∠P′OP′′得到∠AOA′′=∠BOB′′=∠POP′′,所以ΔAOA′′∽ΔBOB′′∽ΔPOP′′.我們不妨稱這種變換為類位似變換,其旋轉(zhuǎn)中心點O為類位似中心,稱點P和點P′′為對應(yīng)點,AB和A′′B′′為對應(yīng)邊,新圖形與原圖形對應(yīng)邊的比為類位似比,稱類位似中心與對應(yīng)點的夾角為類位似角.類位似變換的特點是保持對應(yīng)邊的比例關(guān)系不變,類位似角相等.類位似變換是位似變換與旋轉(zhuǎn)變換的合體.

圖3

結(jié)論二在類位似變換中,某一點運動的過程中,該點與類位似中心連線掃過的圖形與其對應(yīng)點與類位似中心連線掃過的圖形相似.

特征分析類位似變換的特征為定角、定比、定中心.運動過程中,類位似角保持不變,比例關(guān)系保持不變,類位似中心保持不變,簡稱為“三定”.

例1如圖4,點P以點O為類位似中心作類位似變換,類位似比為已知點P所經(jīng)過的軌跡長為5,求對應(yīng)點P′的軌跡長.

圖4

簡析點P所經(jīng)過的軌跡長為5,∴對應(yīng)點P′的軌跡長為

評析該例運用“三定”性質(zhì),直接解題.

例2如圖5,正方形ABCD的邊長為2,動點B′從點B出發(fā),沿邊BA向終點A運動,以CB′為邊向上作正方形B′CD′A′.

圖5

(1)求運動過程中點A′經(jīng)過的路徑長.

(2)求運動過程中DA′的最小值.

(3)求運動過程中CA′掃過的面積.

圖6

簡析(1)變換過程中保持∠B′CA′=45°不變,保持不變,類位似中心為點O,滿足“三定”法則,屬于類位似變換.過點A作A′′A ⊥AC,垂足為A,延長CD,交A′′A于點A′′.則有點A′的運動經(jīng)過的路徑長

(2)運動過程中DA′的最小值為點D到AA′′的距離,值為

(3)運動過程中CA′掃過的面積為

評析該類位似變換隱藏在以正方形為背景的問題中,由于問題動點在線段上運動,其對應(yīng)點的運動軌跡也是一條線段,通過動點的起點找到對應(yīng)點的起點,再通過動點的終點找到對應(yīng)點的終點,連接對應(yīng)點的起點和終點即得到對應(yīng)點的運動軌跡,從而清晰地還原運動過程.

例3(1)如圖7,點O為坐標原點,⊙O的半徑為1,點A(2,0).動點B在⊙O上,連結(jié)AB,向上作等邊ΔBAC,求OC的最大值.

圖7

(2)如圖8,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求線段AM長的最大值及此時點P的坐標.

圖8

簡析(1)如圖9,問題符合“三定”原則,屬于類位似變換問題.類位似比為1.點C的運動軌跡是圓,其圓心O′是點O的對應(yīng)點,求得其坐標為O′(1,),故OC的最大值為3.實際上,OC的最小值為1.

圖9

(2)如圖10,問題(2)是(1)的變式.點B是類位似變換中心,類位似比=點P運動軌跡⊙A的半徑為2,對應(yīng)圖形⊙A′的圓心A′是點A的對應(yīng)點,坐標為(2,3),半徑為故AM的最大值為+3.如圖11,構(gòu)建一線三等角模型,可得到此時點P的坐標為

圖10

圖11

評析該問題中動點運動軌跡為圓,故類位似變換后的軌跡也是圓,可將動點的圓心進行類位似變換得到軌跡的圓心,將動點圓的半徑大小乘以位似比即得到軌跡圓的半徑大小,從而確定軌跡圓的位置和大小,進而解決問題.

教學(xué)反思(1)類位似變換具有“三定”特征,分別是“定角”“定中心”和“定比”;反過來,具有“三定”特征的圖形變換就是類位似變換.類位似變換實質(zhì)上是位似變換和旋轉(zhuǎn)變換的合體,因此同時具有相似和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).主要包括圖形的形狀相同,但大小可能不同(也可能相同).不但如此,某一點在運動變化過程中,該點與類位似中心連線掃過的圖形與其對應(yīng)點與類位似中心連線掃過的圖形相似.

(2)組合思維把多項貌似不相關(guān)的事物通過想像加以連接,從而使之變成彼此不可分割的新的整體,往往可以得到意想不到的結(jié)果.組合是一種創(chuàng)新,使得組合之后的事物“整體具有單個事物所不具備的新質(zhì)”,增加了新的功能.在數(shù)學(xué)教學(xué)中也常可見此類思維.比如菱形和矩形組合成正方形,平行線與角平分線組合成等腰三角形模型等等.而通過原事物的性質(zhì)研究往往就可以輕松地研究組合事物的性質(zhì).