杜方欣 任巧紅

摘要：隨著科技的發(fā)展，信息技術與課程融合在時代的呼吁下正大跨步的走進課堂，幾何畫板作為數(shù)學中的制圖軟件，逐漸體現(xiàn)出它的優(yōu)勢。《初中數(shù)學新課程標準》及2022年《中考考試大綱》都分別對圖形的變換作出了要求，復雜的圖形變換借助幾何護畫板的動態(tài)演示，使中考中的動點、旋轉、折疊問題得到更好地解決。

關鍵詞：幾何畫板;中考;動點;旋轉;折疊

正文

中考試題中，常動點、旋轉、折疊問題[1]幾乎每年都考，而這些題目由于變化多端，導致考生望而生畏，傳統(tǒng)教學對此類問題的解決有很大的局限性。教師課堂上在黑板上作圖，不僅花費時間較長，而且不能很好地體現(xiàn)出動態(tài)的運動，出現(xiàn)學生很努力地聽講，卻聽的模模糊糊，使得課堂效率低下。而幾何畫板中的一個“動畫”按鈕，或者用鼠標拖動，可以生動地表現(xiàn)出圖形由一般到特殊、運動過程的變化，在數(shù)學課堂課堂中具有明顯的優(yōu)勢[2]。

一、幾何畫板解決中考中的動點問題

1.例題

例：如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=4，BC=3，P是△ABC內(nèi)部一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP長的最小值。

2.分析：

此題中，點P是動點，究竟何時CP的值最小，同學們一頭霧水，不知如何分析。

教師引導：∠PAB=∠PBC，此條件有何用？

生：∠PAB+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°，即∠APB=90°

教師引導：∠APB的度數(shù)會隨著點P的移動發(fā)生變化嗎？AB的長確定嗎？一條定長線段所對的角永遠是90°，這種情況會出現(xiàn)在什么圖形中呢？點P的運動軌跡是什么？

在一系列的引導下，同學們思考，最終得出點P 是在以AB為直徑的圓周上。

教師請學生操作幾何畫板，顯示出已隱藏的圓，改變點P的位置，臺上學生反復操作，臺下學生認真觀察CP的變化，很快得出當點C、P、O三點在同一直線時，CP最短，且CP=OC-OP。

教師再次引導：點C、P、O三點不共線時，CP與OC-OP的大小關系如何？

利用幾何畫板，讓學生由直觀的觀察感受，深化到了對知識點的運用理解及掌握。

二、幾何畫板解決中考中的旋轉問題

1.例題

將等邊三角形ABC的邊AB繞點A逆時針旋轉至AB’，記旋轉角為α，連接BB’，過點C作CE垂直于直線BB’，垂足為E，連接CB’，取BC邊的中點F，連接AF。當A，E，F(xiàn)三點共線時，請直接寫出 的值。

2.分析

此題中，學生的難點在于如何在直線AF上準確的找到點E的位置，既要滿足CE⊥BB’，又要滿足AB’=AB，學生往往找到了點E，又得不到滿足條件的B’，找到了B’，又得不到滿足條件的點E。

針對此問題，教師進行了引導：

（1）∠CEB=90°，BC為等邊三角形的邊長，由此可知，點E應在以BC為直徑的圓周上。（2）利用幾何畫板，以BC為直徑構造圓F，構造線段CE，構造直線BE。（3）AB繞著點A逆時針旋轉得到了AB’，由此可推出點B’的運動軌跡是以點A為圓心AB長為半徑的圓周。（4）利用幾何畫板，構造出圓A，此時直線BE與圓A有交點，此交點即為滿足條件的B’。（5）移動點E的位置，使其與AF共線，對應的B’即到達相應的位置，發(fā)現(xiàn)A、E、F三點共線共有兩種情況。（6）根據(jù)此位置下的一些特殊的角度值，利用三角函數(shù)值，或勾股定理完成最終的求解。

教師和學生有了幾何畫板的幫助，在教師的引導下，學生步步參與，步步發(fā)問，步步思考，最終構造出神奇的圖形，實現(xiàn)了由抽象到形象的一個過程，實現(xiàn)了化復雜為簡便的一個過程，分析過程又運用了不同的知識點，學生體驗到了作圖的過程，加深了知識點的掌握，在一步步的研究過程中，拓展了學生對此類問題解決的思維，增強了學生克服難題的信心。

三、幾何畫板解決中考中的折疊問題

1.例題

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3.點D是BC邊上一動點（不與點B，C重合），過點D作DE⊥BC交AB邊于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處.當△AEF為直角三角形時，BD的長為？

2.分析

此題中將△BDE沿直線DE折疊后得到的△AEF為直角三角形，哪個角為直角，位于何處時為直角，這些問題對于個別有基礎有空間想象能力的學生來說還可以做出來，但對于絕大多數(shù)學生想不出來滿足條件的圖形該如何畫，畫不出來圖形，題目就無從下手，更不知道用哪個知識點來解決問題。

教師引導：（1）利用幾何畫板構造Rt三角形ABC，在BC邊上任取一點D，過點D構造BC的垂線，交AB于點E。（2）選中DE，標記鏡面，選中△BDE，進行反射變換，構造出折疊后的圖形。（3）度量△AEF的三個內(nèi)角度數(shù)，移動點D的位置，觀察三個內(nèi)角度數(shù)的變化。（4）發(fā)現(xiàn)∠AEF=60°不變，另外兩個角度發(fā)生變化，均有等于90°的情況出現(xiàn)。（5）當△AEF有內(nèi)角為90°時，停止移動點D，在此種情況下，利用折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)進行求解。

在幾何畫板的幫助下，學生不僅能很直觀地感受到圖形的變化，從而解決問題。反過來還能幫助學生對題目有更深入的理解，比如有同學剛開始并不能意識到∠AEF不可能等于90°，但在幾何畫板的演示下，學生意識到∠AEF的度數(shù)沒有變化，從而指引學生反思為何∠AEF的度數(shù)不變，從而打開了學生探索的心門，增加了學生探索知識的欲望。

參考文獻：

[1]鼎成中考精準提分.數(shù)學/鼎成主編.——西安：西安出版社，2020.8，ISBN 978-7-5541-4839-6

[2]《幾何畫板》在初中數(shù)學課堂教學中的應用與思考