袁燕

“幾何直觀”作為《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的核心概念之一，在數(shù)學學習中有重要的地位和意義?！皫缀巍奔磶缀螆D形?！爸庇^”就是借助經驗、觀察、測試或類比聯(lián)系，所產生的對事物關系的直接的感知與認識，通過直觀能建立起學生對自身體驗與外物體驗的對應關系。在“分數(shù)計算算理”的實際教學中，幾何直觀可以把復雜的問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。

數(shù)學發(fā)展的歷程表明，越是高度抽象的數(shù)學內容，往往越需要形象直觀的模型作為其解釋和支撐。越是抽象的數(shù)學對象，其數(shù)學本質越有可能用簡捷而直觀的圖形來表達。這就是“幾何直觀”?！皫缀沃庇^”作為義務教育小學數(shù)學課程標準（2011年版）十大核心概念之一，愈來愈成為數(shù)學教學關注的焦點。

《課標解讀》指出：借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。可見，幾何直觀是學生空間觀念形成的基礎。小學生的思維以具體形象思維為主，所以幾何直觀能力是學好小學經驗性知識的保證，是思考數(shù)學問題、發(fā)展數(shù)形結合思想的基礎，是學生必備的一種基本素養(yǎng)。借助幾何直觀，能啟迪我們的思路，可以幫助我們理解和接受抽象的內容、方法、觀念，促進我們理解數(shù)學的本質和思想。很多抽象的數(shù)學問題，都可以變成可借用的幾何直觀問題，他們是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的向導。幾何直觀在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。

一、“幾何直觀”的內涵與外延

幾何直觀內容在教材呈現(xiàn)上比較零散，教師在教學策略實施上比較隨性，不夠嚴謹和系統(tǒng)化。教材在解決問題的過程中都是比較重視運用幾何直觀的，但都缺乏明確的指導。如在教材中理解分數(shù)計算，算理方面都是直接呈現(xiàn)或以問題形式提示學生，但具體該怎樣計算卻沒有體現(xiàn)。這樣既不利于教師準確把握教材，也不利于學生更好地掌握分數(shù)計算算理[1]。

孔凡哲教授認為：幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數(shù)學的研究對象（空間形式和數(shù)量關系）進行直接感知、整體把握的能力;在中小學數(shù)學中，幾何直觀可以體現(xiàn)為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀四種表現(xiàn)形式。

課標中描述：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。就是通過圖形的直觀性質來闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關系形象化、簡單化，實現(xiàn)代數(shù)問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，為研究和探求數(shù)學問題開辟了一條重要途徑。

二、“幾何直觀”在理解分數(shù)計算算理方面的實踐意義

幾何直觀是依托、利用圖形進行數(shù)學的思考和想象。它既是一種意識，也是一種能力和思維方式。幾何直觀幫助學生理解算理和掌握算法的方法，教師在深刻解讀教材的基礎上，基于學生學情，在具體的教學題境中借助幾何直觀幫助學生更好理解算理、掌握算法。

幾何直觀有助于學生在不知道計算方法的情況下，得出計算結果，為算理的理解打下基礎。如在學習異分母分數(shù)加法的時候，計算1/2+1/4，學生不清楚怎樣算時，可通過畫圖，得出3/4的結果。從而初步理解計算1/2+1/4，需要將1/2變成分母也是4的分數(shù)：2/4，再與1/4合起來，就是3/4。畫圖的過程不僅能幫助學生得出計算結果，學生在畫圖時，初步感受了異分母分數(shù)相加減、需要先通分再加減的道理。

幾何直觀有助于學生理解運算的意義，并通過對意義的理解從而理解計算的算理。如分數(shù)乘法單元中，計算1/5×3，學生要在一張長方形紙上先涂出這張紙的1/5，再涂出3個1/5，在涂的過程中，學生理解了1/5×3實際上表示的是求3個1/5的和是多少？3個1/5的和，一共有1×3個1/5，也就是3/5。同樣，2/5×2，學生通過涂一涂、想一想，不難理解求得是2個2/5的和，一共有2×2個1/5。畫直觀圖的過程中，學生不自覺得將算式的意義表示出來，對于分數(shù)乘整數(shù)意義理解了，那么也就理解了分數(shù)乘整數(shù)的計算算理。

幾何直觀有助于學生直觀理解算理，并抽象出計算方法。以北師大版五年級下冊數(shù)學教材中分數(shù)除法（一）一課為例，為什么2/7÷3=2/7×1/3，為什么除以一個不為零的數(shù)，要乘以這個數(shù)的倒數(shù)？這對學生來說是比較難以理解的。如果教師單純地告知學生這種算法，不引領學生探究算法背后的算理，那樣的計算教學顯然是乏味的、機械的。

如果學生借助畫圖，分數(shù)除法計算算理則非常顯而易見。2/7÷3，就是將2/7平均分成3份，每份就是2/7的1/3，當然要用2/7×1/3了。同理，2/7÷4，學生通過畫圖也不難發(fā)現(xiàn)，就是求2/7的1/4是多少。換其他任何一個分數(shù)除以一個不為零的整數(shù)，都是求這個分數(shù)的幾分之一是多少。學生有了這樣的直觀理解后，再抽象歸納出分數(shù)除以整數(shù)的計算方法，水到渠成。反過來，學生總結出這樣的計算方法后，仍舊可以通過畫圖的方法來解釋說明其中蘊含的道理[2]。

通過以上舉例不難發(fā)現(xiàn)，學生對分數(shù)加減乘除法算理的理解都離不開幾何直觀。幾何直觀的作用，一方面在于它對于算理的理解有啟動作用;另一方面則在于直感的材料對于算理的深化具有獨特作用。

三、借助“幾何直觀”理解計算算理的一般流程及要求

①明確要解決的問題，列出算式，思考怎樣算？追問為什么這樣列式？對運算意義的理解。②獨立畫圖解決、交流畫法——初步感受算理。畫圖得出結果、說出畫法、教師巡視了解畫的情況;交流、規(guī)范畫法，比較不同畫法的聯(lián)系區(qū)別。畫法和算法結合：結合圖說說結果是怎么得到的？③再次運用畫圖解決其他類似問題——進一步感受算理。可用書中問題、可補充其他問題、可學生自己舉例。④說說畫圖解決這類問題時的發(fā)現(xiàn)——理解、抽象算理。結合畫圖及計算概括出怎么算？為什么這么算？小結得到算理的過程，發(fā)展幾何直觀意識。⑤解決實際問題——深化、運用算理：如畫一畫、算一算等。

四、借助“幾何直觀”理解計算算理的具體教學建議

（一）重視學生獨立畫圖，發(fā)展學生的幾何直觀意識

教師在引導學生運用幾何直觀理解算理、解決問題時，不要急于教給學生怎樣畫圖，而要讓學生獨立嘗試，培養(yǎng)學生主動借助幾何直觀分析問題的意識。如在處理2/7÷3=？這一問題時，有的老師總是著急把自己的畫圖方法“迫不及待”地訓講給學生，讓學生先畫什么，再畫什么，可是學生自己畫圖時仍然不會畫，或者看圖不能寫出相應算式。

（二）重視學生自己的示意圖，重視學生自己解釋算理的過程

不要過于死板地規(guī)范學生的畫圖、過分強調學生畫的圖必須全班一樣，而要允許學生用自己的方式去表示，只要能說出道理即可。因為不同理解層次的學生有著不同的思維特點和思維水平，給學生展示自己畫圖的時間和空間，也是學生之間交流的需要。

（三）引導學生結合圖、結合計算過程，得出計算方法

數(shù)學教育本身是個過程，它不僅是傳授知識，更重要的是在教學過程中讓學生親身實踐而抓住其發(fā)展規(guī)律，學會抽象化、形式化的方法。直觀是具象，有了直觀畫圖后，在經歷了多次畫圖感受后，要引導學生結合圖、結合計算過程，抽象出計算的方法，實際上也是建立數(shù)學模型的過程。在學生結合圖抽象出計算方法后，教師還要讓學生結合圖說明和解釋算理。將抽象的算理再次放回到直觀的圖中，解釋算理的過程也是算理深化的過程[3]。

（四）把握好“幾何直觀”與計算理解的關系

如對于2/7÷3=2/21，學生除了運用畫圖外，還可以通過商不變規(guī)律，（2/7×1/3）÷（3×1/3）來計算;或者從分數(shù)意義的角度去思考，1/7除以3是1/21，2個1/7除以3，應得2個1/21，就是2/21等。因此，重要的是應該讓學生從這樣的學習素材中，去展現(xiàn)自己的探究能力，去經歷多樣化的探究，在個性思維得到發(fā)展的同時，自主實現(xiàn)算理的理解，獲取算法的優(yōu)化。

（五）不必強求借助“幾何直觀”來解決所有問題

借助幾何直觀是一種分析問題和解決問題的策略，是否需要畫圖與問題的難度、學生對情境的熟悉程度、學生的年齡特點等都有關系。如果學生不借助畫圖已經可以解決問題了，教師可以鼓勵他們運用畫圖來表達自己的思考過程，但不必強求他們必須經過畫圖才解決問題。

小學生的思維水平處于具體運算階段向形式運算階段過渡，更是離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，抽象思維同形象思維結合起來，充分展現(xiàn)問題的本質，能夠幫助學生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙，突破數(shù)學理解上的難點，培養(yǎng)學生科學的思維品質?？傊?，幾何直觀在計算算理的理解方面也起到了至關重要的作用。教師培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何直觀，需要依托數(shù)學課程的每個領域。有效的培養(yǎng)工作必須依托具體的數(shù)學課程教學內容，落實在課程內容之中、課堂教學細節(jié)之中，最終形成學生敏銳的洞察力和深厚的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]孫承勇.談幾何直觀在小學低段數(shù)學教學中的運用[J].小學教學參考，2020（3）：29-30.

[2]孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式：對《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的一點認識[J].課程.教材.教法，2012（7）：92-97.

[3]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數(shù)學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.