高峻澤，柳亦兵，周傳迪，張彬

(1.華北電力大學 先進飛輪儲能技術研究中心，北京 102206；2.貝肯新能源天津有限公司，天津 300300)

主動磁懸浮軸承(Active Magnetic Bearing，AMB)具有無機械接觸，零磨損失效，低待機功耗，長使用壽命，低維護成本和可主動控制等優(yōu)勢，廣泛應用于飛輪儲能領域[1]。隨著飛輪儲能對電網(wǎng)調(diào)峰、調(diào)頻的逐步應用，飛輪轉(zhuǎn)子趨向于高速化以及寬轉(zhuǎn)速范圍的工作特點，導致飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)面臨多次過臨界轉(zhuǎn)速問題。由于飛輪轉(zhuǎn)子存在材料缺陷、加工精度、工作變形等因素造成的不平衡質(zhì)量，在過臨界轉(zhuǎn)速時可能產(chǎn)生較大振動，對轉(zhuǎn)子運行可靠性產(chǎn)生不利影響，故需對飛輪轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的不平衡振動進行有效控制[2]。

通過AMB實現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡振動控制主要分為兩類方法[3-4]：1)自動平衡方法(最小作用力補償控制)，其原理為在傳感器采集的位移信號進入控制器前，通過引入位移補償信號或濾波方法，消除與轉(zhuǎn)速同頻的不平衡振動信號分量，不對該分量產(chǎn)生控制力，使轉(zhuǎn)子繞其慣性主軸旋轉(zhuǎn)，自動平衡方法主要有自適應陷波器法[5-6]、自適應最小均方誤差(Least Mean Square，LMS)算法[7-9]和迭代搜索法[10]等；2)不平衡補償方法(最小位移補償控制)，其實質(zhì)為通過一定控制算法使AMB產(chǎn)生一個與轉(zhuǎn)子自身不平衡力大小相等、方向相反的補償力，從而使轉(zhuǎn)子繞其幾何中心旋轉(zhuǎn)，不平衡補償方法主要有自適應自對中方法[11]、基于模型的補償方法[12]、基于觀測器的補償方法[13]、影響系數(shù)法[14]等。以往文獻中大多針對AMB剛性轉(zhuǎn)子的某一固定轉(zhuǎn)速或某一小范圍轉(zhuǎn)速段設計相應的控制算法，對寬轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)實現(xiàn)不平衡振動控制的研究較少。此外，文獻[15]首次表明在AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，除殘余不平衡激振力產(chǎn)生與轉(zhuǎn)速同頻的簡諧振動外，還存在因系統(tǒng)固有頻率而產(chǎn)生的自由振動，該文獻采用變控制器參數(shù)的方法在一定程度上減弱了2種振動頻率接近時系統(tǒng)產(chǎn)生的“拍振”現(xiàn)象，但影響依然很大。

針對AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的振動問題，在自適應LMS算法的基礎上，提出了一種自適應變步長LMS算法，可同時解決由不平衡產(chǎn)生的同步轉(zhuǎn)速不平衡振動和由臨界轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的“拍振”現(xiàn)象。首先，基于有限單元法建立了AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型；然后，在已有步長因子的基礎上提出了一種新的步長因子迭代公式；最后，對提出的自適應變步長LMS算法的有效性進行了驗證。

1 AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學建模

AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的立式結(jié)構如圖1所示，飛輪轉(zhuǎn)子軸向由永磁軸承支承，徑向由上下2套主動磁懸浮軸承支承。

為便于分析，特作以下假設：轉(zhuǎn)子是軸對稱的，忽略軸向永磁軸承對徑向的干擾力，傳感器與AMB在軸向位置上重合。

根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學理論，基于有限單元法得到AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學方程為

(1)

式中：xk，yk(k=1,…,n)分別為飛輪轉(zhuǎn)子n個節(jié)點沿x，y方向的位移；αk，βk分別為飛輪轉(zhuǎn)子n個

1—上徑向主動磁懸浮軸承；2—軸向永磁軸承；3—飛輪轉(zhuǎn)子；4—真空外殼；5—下徑向主動磁懸浮軸承。

節(jié)點繞x，y軸旋轉(zhuǎn)的角位移；M，G，C，K分別為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、陀螺、阻尼、剛度矩陣；Fmag為AMB對轉(zhuǎn)子施加的電磁力；n為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；Fd為轉(zhuǎn)子受到的不平衡激振力。

控制系統(tǒng)采用分散PD控制，可得AMB線性化電磁力為[2]

fmag=kii+kss,

(2)

式中：ki，ks分別為AMB的力-電流剛度系數(shù)和力-位移剛度系數(shù)；i為AMB的控制電流；s為儲能飛輪轉(zhuǎn)子在AMB節(jié)點處的位移。

2 AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)及臨界轉(zhuǎn)速分析

儲能飛輪轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為2 000～20 000 r/min，對圖1的AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行模態(tài)分析，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相關參數(shù)見表1。

表1 AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)仿真參數(shù)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速(頻率特征值)是關于支承軸承剛度的函數(shù)[16]，可預測臨界轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子運行速度的接近程度，其變化曲線如圖2所示，僅包括轉(zhuǎn)子剪切變形和慣性效應的影響，不包括轉(zhuǎn)子陀螺效應。由圖2可知，當軸承支承剛度約為2×107N/m時，前3個模態(tài)均表現(xiàn)出明顯的斜坡特性，說明此剛度比較合理[17]。在軸承支承剛度為2×107N/m和阻尼為1×104N·s/m下，繪制了轉(zhuǎn)子坎貝爾圖(圖3)，在陀螺效應影響下，前2階模態(tài)分解為2個隨轉(zhuǎn)速變化趨勢完全不同的模態(tài)，其中隨轉(zhuǎn)速升高而增大的為正進動，隨轉(zhuǎn)速升高而減小的為反進動。與轉(zhuǎn)速同步振動頻率(1×)的交點即為轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速7 213 r/min(120.230 Hz)。飛輪轉(zhuǎn)子在3 000 r/min轉(zhuǎn)速下的前2階模態(tài)振型如圖4所示，x，y，z分別為飛輪轉(zhuǎn)子在x，y，z方向上量綱一的位移。其中,一階反進動頻率為120.217 Hz，正進動頻率為120.223 Hz;二階反進動頻率為328.988 Hz，正進動頻率為417.406 Hz。

圖2 轉(zhuǎn)子頻率特征值隨AMB剛度的變化Fig.2 Variation of rotor eigenvalues with stiffness of AMB

圖3 飛輪轉(zhuǎn)子坎貝爾圖Fig.3 Campbell diagram of flywheel rotor

圖4 3 000 r/min下飛輪轉(zhuǎn)子的振型圖Fig.4 Mode shapes of flywheel rotor under 3 000 r/min

3 基于變步長LMS的不平衡補償

3.1 基于標準LMS的自適應濾波器

基于標準LMS算法的自適應濾波器原理如圖5所示，其迭代公式為

圖5 LMS算法自適應濾波器原理Fig.5 Adaptive filter principle of LMS algorithm

(3)

式中：d(k)為輸入期望信號；k為采樣時刻；a1(k)，a2(k)分別為d(k)中正、余弦成分的幅值；ω為期望信號角頻率；Ts為采樣周期；y(k)為輸出跟隨信號；wL1(k)，wL2(k)為迭代權函數(shù)；ω0為算法的濾波角頻率；e(k)為誤差信號；μ為迭代步長因子。LMS算法的目標是當k趨于無限大時，wL1(k)，wL2(k)分別無限趨近于a1(k)，a2(k)，使y(k)無限趨近于d(k)，從而達到消除干擾信號的目的。

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利用Z變換可以得到從d(k)到e(k)的脈沖傳遞函數(shù)為

H(Z)=

(4)

由(4)式知，H(Z)的零點為Z0=e±jω0Ts,其中j為虛數(shù)單位，j2=-1。當d(k)為角頻率等于ω0的正弦信號時H(Z)=0，表明自適應LMS算法可以完全濾掉輸入信號中與ω0同頻的正弦信號分量。

3.2 變步長LMS算法

由于AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子處于頻繁升降速的工況中，而固定步長的LMS算法在轉(zhuǎn)速頻率失配時不能取得良好的濾波效果[18]，需要考慮可實時濾波的變步長LMS算法。

文獻[19]針對文獻[20]中變步長LMS算法存在的問題提出一種改進算法，其步長因子為

(5)

(6)

式中:b為一個正參數(shù)，反映了μM受e(k)的影響程度，一般取1～10，b越大說明受影響程度越小。

圖6 不同LMS算法下的信號誤差比較Fig.6 Comparison of signal errors under differentLMS algorithms

3.3 基于自適應變步長LMS算法的不平衡補償

基于自適應變步長LMS算法的AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡補償控制的結(jié)構框圖如圖7所示，其中u(t)為轉(zhuǎn)子參考信號，F(xiàn)d(t)為不平衡產(chǎn)生的激振力，Y(t)為AMB節(jié)點處的振動響應。在位移傳感器采集的振動信號和參考信號加權后的信號進入分散PD控制器前，通過LMS算法對位移響應信號中與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速同頻的分量進行補償，使位移響應信號在進入控制器前就消除了轉(zhuǎn)子同頻振動位移干擾。

圖7 基于自適應變步長LMS算法的AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡補償控制Fig.7 Unbalance compensation control of AMB-energy storage flywheel rotor system based onadaptive variable step LMS algorithm

4 仿真結(jié)果及分析

搭建Simulink模型將上述算法應用于飛輪儲能系統(tǒng)，分別在亞臨界區(qū)(臨界轉(zhuǎn)速7 213 r/min以下)和超臨界區(qū)(臨界轉(zhuǎn)速7 213 r/min以上)恒轉(zhuǎn)速工況以及恒加速工況下進行仿真分析。仿真時設定不平衡質(zhì)量位于轉(zhuǎn)子中心平面，不平衡量取為1×10-3kg·m，初始位置角為0。

4.1 恒轉(zhuǎn)速工況下的不平衡補償控制

當AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分別在3 000，15 000 r/min的恒轉(zhuǎn)速下運行時，在0.3 s時引入基于自適應變步長LMS算法的不平衡補償控制。由于仿真模型中轉(zhuǎn)子為中心對稱結(jié)構，參數(shù)完全相同的上、下兩端AMB處的轉(zhuǎn)子振動位移響應相同，因此僅給出3 000，15 000 r/min恒轉(zhuǎn)速時上端軸承處的轉(zhuǎn)子振動位移時域仿真結(jié)果,如圖8所示，其中仿真參數(shù)μ0=0.000 000 2，b=10。

圖8 恒轉(zhuǎn)速工況下上端軸承處轉(zhuǎn)子振動位移Fig.8 Vibration displacement of rotor with upper bearingunder constant speed condition

由圖8可知，AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子在0.3 s引入基于自適應變步長LMS算法的不平衡補償控制后，軸承處轉(zhuǎn)子的振動位移大幅降低，在3 000 r/min 恒轉(zhuǎn)速工況時最大振幅由原來的超過100 nm減小到不足6 nm，振幅減小了約94%；而在15 000 r/min恒轉(zhuǎn)速工況時最大振幅由原來的7 nm減小到不足1 nm，振幅減小了約86%。

4.2 恒加速工況下的不平衡補償控制

為進一步驗證本文提出的自適應變步長LMS算法在實際轉(zhuǎn)子運行工況中的控制效果，將儲能飛輪轉(zhuǎn)子在加速度a=40π rad/s2的恒加速工況下從0升速至20 000 r/min，仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 恒加速工況下加入補償前后上端軸承處轉(zhuǎn)子振動位移Fig.9 Vibration displacement of rotor with upper bearingbefore and after adding compensation underconstant acceleration condition

由圖9可知，在整個工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，基于自適應變步長LMS算法的不平衡振動控制開啟后，轉(zhuǎn)子不平衡振動均有所減小。但在不平衡振動控制開啟前，轉(zhuǎn)子越過臨界轉(zhuǎn)速之后振動減小甚微，而在不平衡振動控制開啟后，轉(zhuǎn)子越過臨界轉(zhuǎn)速之后振動大幅減小，控制效果明顯。

5 結(jié)束語

針對AMB-儲能飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的不平衡振動問題，引入一種基于自適應變步長LMS算法，在反饋信號進入PD控制器前實時補償同頻分量，從而實現(xiàn)不平衡振動補償控制，保證磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的穩(wěn)定運行。結(jié)果表明，所提出的基于自適應變步長LMS算法的不平衡補償控制方法能夠有效地抑制磁懸浮儲能飛輪轉(zhuǎn)子的不平衡振動。