蔡忠侯，鐘志賢，李先瑄，祁雁英，段一戩

(桂林理工大學(xué) 機(jī)械與控制工程學(xué)院，廣西 桂林 541006)

0 引言

隨著工業(yè)技術(shù)的提升，很多工業(yè)實(shí)際系統(tǒng)變得越來(lái)越復(fù)雜，難以建立精確的數(shù)據(jù)模型，使基于模型的現(xiàn)代控制理論方法陷入瓶頸。針對(duì)該問(wèn)題，僅依賴受控系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)，而不依賴受控過(guò)程中模型信息的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法開始逐漸被關(guān)注[1-3]。其中，無(wú)模型自適應(yīng)控制 (Model-Free Adaptive Control,MFAC)算法因具有適用性強(qiáng)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算負(fù)擔(dān)小，易于實(shí)現(xiàn)和魯棒性較強(qiáng)等特點(diǎn)，在眾多的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法中脫穎而出。MFAC算法主要通過(guò)引入一個(gè)偽梯度的概念，建立與受控系統(tǒng)等價(jià)的動(dòng)態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析[4]，可以有效避免系統(tǒng)因未建模而產(chǎn)生的誤差；但MFAC算法需要憑借經(jīng)驗(yàn)人工設(shè)置合適的參數(shù)初始值[1,5-7]才能獲得較好的控制性能，應(yīng)用有一定的局限性。

為克服傳統(tǒng)MFAC算法的劣勢(shì)，許多學(xué)者提出了有關(guān)MFAC算法參數(shù)的整定方法：文獻(xiàn)[8]利用MFAC算法邊建模邊控制的特點(diǎn)，提出了一種二階泛模型，并利用基于下降梯度法的參數(shù)整定優(yōu)化算法對(duì)不同性能的控制器進(jìn)行參數(shù)整定，結(jié)果顯示與傳統(tǒng)MFAC算法相比，改進(jìn)后算法的控制效果良好；針對(duì)單輸入、單輸出的離散非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[9]提出了一種基于虛擬參考反饋整定的改進(jìn)MFAC算法，仿真結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)后MFAC算法的有效性；文獻(xiàn)[10]利用粒子群優(yōu)化算法尋找MFAC算法的最優(yōu)參數(shù)解，實(shí)現(xiàn)了傾轉(zhuǎn)翼飛機(jī)在過(guò)渡段的平穩(wěn)飛行；文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了一種基于單純形法的方式實(shí)現(xiàn)了參數(shù)尋優(yōu)并發(fā)現(xiàn)了設(shè)定參數(shù)初始值的基本規(guī)律；文獻(xiàn)[12]通過(guò)遺傳算法將緊格式無(wú)模型自適應(yīng)控制的η，μ，ρ，λ參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單個(gè)參數(shù)ρ的問(wèn)題，并對(duì)步長(zhǎng)因子ρ進(jìn)行動(dòng)態(tài)化取值，降低了系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)出現(xiàn)超調(diào)的可能性；針對(duì)復(fù)雜的多輸入、多輸出系統(tǒng)，文獻(xiàn)[13]提出了一種基于擬牛頓算法的參數(shù)整定方法，通過(guò)擬牛頓算法對(duì)前3個(gè)時(shí)刻的u(0)，u(1)，u(2)，y(0)，y(1)，y(2)值進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，選擇最優(yōu)參數(shù)，并在煉油廠氣體分餾裝置中取得了較好的控制效果；文獻(xiàn)[14]利用磷蝦算法的全局勘探能力和粒子群算法的局部搜索能力，設(shè)計(jì)了一種混合磷蝦群智能算法的MFAC算法，可以快速找出最優(yōu)參數(shù)來(lái)提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，通過(guò)在變風(fēng)量系統(tǒng)的試驗(yàn)表明了該算法可以使受控系統(tǒng)平穩(wěn)、高效運(yùn)行。

針對(duì)以上研究成果，本文通過(guò)對(duì)比增量式PD算法與全格式無(wú)模型自適應(yīng)控制 (Full-Format Dynamic Linearization Model-Free Adaptive Control, FFDL-MFAC) 算法的相似性，推導(dǎo)出PD算法參數(shù)與FFDL-MFAC算法參數(shù)之間的關(guān)系，確定了控制單自由度磁懸浮系統(tǒng)的全格式無(wú)模型自適應(yīng)控制器參數(shù)，并通過(guò)仿真和試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 MFAC算法

對(duì)于一般的單輸入、單輸出離散非線性系統(tǒng)

y(k+1)=f[y(k),…，y(k-ny),u(k),…，u(k-nu)],

(1)

式中：u(k)為k時(shí)刻系統(tǒng)的輸入；y(k)為k時(shí)刻系統(tǒng)的輸出；ny，nu為系統(tǒng)偽階數(shù)；f(…):Rny+nu+2|→R為未知的非線性函數(shù)[15]。

定義HLy,Lu(k)∈RLy,Lu為在區(qū)間[k-Lu+1,k]內(nèi)的所有控制輸入信號(hào)以及在區(qū)間[k-Ly+1,k]內(nèi)所有輸出信號(hào)組成的向量，即

HLy,Lu(k)=[y(k),…,y(k-Ly+1),u(k),…,u(k-Lu+1)],

(2)

當(dāng)滿足k≤0時(shí)，HLy,Lu(k)=0Ly,Lu，Ly，Lu稱為系統(tǒng)的偽階數(shù)，0≤Ly≤ny,0≤Lu≤nu。

記

ΔHLy,Lu(k)=HLy,Lu(k)-HLy,Lu(k-1)。

(3)

針對(duì)(1)式所示的非線性系統(tǒng)提出2個(gè)假設(shè): 1)除有限的時(shí)刻點(diǎn)外，f(…)關(guān)于各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的；2)除有限的時(shí)刻點(diǎn)外， (1)式滿足廣義利普希茨條件，即任意的k1≠k2,k1,k2≥0，且HLy,Lu(k1)≠HLy,Lu(k2)，有

|y(k1+1)-y(k2+1)|≤b‖HLy,Lu(k1)-HLy,Lu(k2)‖,

(4)

y(kj+1)=f[y(kj),…,y(kj-ny),u(kj),…,u(kj-nu)];j=1,2,

式中：b是一個(gè)大于0的常數(shù)。

(5)

偽梯度向量為

Φf,Ly,Lu(k)=[Φ1(k),…,ΦLy(k),ΦLy+1(k),…,ΦLy+Lu(k)]T,

(6)

其是未知但有界的。

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，采用以下函數(shù)作為控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)，即

J(u(k))=|y*(k+1)-y(k+1)|2+

λ|u(k)-u(k-1)|2,

(7)

式中：λ為權(quán)重因子，用來(lái)控制輸入量變化，λ>0；y*(k+1)為期望的輸出信號(hào)，y*(k+1)-y(k+1)確保系統(tǒng)的輸出與期望輸出一致。

將(5)式代入(7)式中對(duì)u(k)求導(dǎo)并令其等于零，通過(guò)矩陣求逆原理可得到控制算法為

Δu(k)=

i=1,2,…。

(8)

為完成(8)式控制算法，需知偽梯度(Pseudo Gradient, PG)的值。對(duì)于一般的離散非線性系統(tǒng)，偽梯度是一個(gè)時(shí)變參數(shù)，很難確定其真實(shí)值，需要根據(jù)輸入、輸出數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，因此采用PG估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)進(jìn)行偽梯度的估計(jì)運(yùn)算，即

J(Φf,Ly,Lu(k))=|y(k)-y(k-1)-

(9)

式中：μ為權(quán)重因子，μ>0。

由于該準(zhǔn)則函數(shù)中只考慮了第k個(gè)采樣時(shí)刻，由此準(zhǔn)則函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的參數(shù)估計(jì)算法具有對(duì)時(shí)變參數(shù)的跟蹤能力。采用與(8)式相同的求解方法，可得到偽梯度的估計(jì)算法，即

ΔH(k-1)]，

(10)

2 PD型FFDL-MFAC算法控制器

FFDL-MFAC算法是針對(duì)一類離散時(shí)間非線性提出的一種控制算法，為保證離散參數(shù)的相似性，本文采用增量式PD控制器進(jìn)行無(wú)模型自適應(yīng)控制器參數(shù)的初始化。

增量式PD控制算法結(jié)構(gòu)為

(11)

式中：KP為比例系數(shù)；TD為微分時(shí)間常數(shù)；T為時(shí)間常數(shù)；e(k)為偏差。

在Ly=2，Lu=1的控制系統(tǒng)中，通過(guò)第1節(jié)求得的估計(jì)算法，可知FFDL-MFAC算法方案為

(12)

u(k)=u(k-1)+

(13)

當(dāng)期望輸出值y*(k)是一個(gè)常數(shù)時(shí)，(13)式可以轉(zhuǎn)化為

ρ1Φ1(k)]-[-ρ1Φ1(k)+ρ2Φ2(k)]e(k+1)-

ρ2Φ2(k)e(k-2)},

(14)

其中

e(k)=y*(k)-y(k)。

(15)

對(duì)比 (11),(14)式可知

(16)

根據(jù)(16)式，首先利用相應(yīng)的參數(shù)整定方法得到PD控制器的參數(shù)值，然后選定初始值λ，Ф1(1)，Ф2(1)，Ф3(1)，根據(jù)與全格式無(wú)模型自適應(yīng)控制器的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到計(jì)算u(k)的步長(zhǎng)因子ρ1，ρ2，ρ3。

3 FFDL-MFAC算法的應(yīng)用

3.1 單自由度磁懸浮系統(tǒng)

磁懸浮系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)[15]，其數(shù)學(xué)模型難以精確建立，使控制器的選擇受到限制，而FFDL-MFAC算法僅需要在線的I/O數(shù)據(jù)，避免了建立數(shù)學(xué)模型造成的誤差，將其應(yīng)用于磁懸浮系統(tǒng)具有很大的研究意義。

以文獻(xiàn)[16]提出的復(fù)雜非線性單自由度磁懸浮系統(tǒng)作為模型，單自由度磁懸浮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 單自由度磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

經(jīng)過(guò)平衡點(diǎn)處的線性化處理后，得到單自由度磁懸浮系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(17)

式中：Ka為功率放大器系數(shù)；i0為電磁鐵中平衡電流；x0為被控對(duì)象的平衡位移；s為控制系統(tǒng)中關(guān)于時(shí)間的微分算子；g為重力加速度。

針對(duì)本文研究的磁懸浮小球系統(tǒng)，小球的質(zhì)量為m=94 g，Ka=6.508，i0=0.394 3 A，x0=0.01 m。則單自由度磁懸浮小球系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(18)

確定采樣時(shí)間T=0.001 s，將(18)式經(jīng)離散化處理后可知該單自由度磁懸浮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型為

y(k+1)=2.002y(k)+y(k-1)+3.819×10-6u(k)+3.819×10-6u(k-1)。

(19)

3.2 仿真結(jié)果

通過(guò)傳統(tǒng)的整定方法確定增量式PD算法的參數(shù)值，并根據(jù)(16)式計(jì)算FFDL-MFAC算法的參數(shù)值(表1)。

表1 2種算法仿真參數(shù)取值Tab.1 Simulation parameter values of two algorithms

為驗(yàn)證PD型全格式無(wú)模型自適應(yīng)控制器的有效性，通過(guò)MATLAB/Simulink建立單自由度磁懸浮系統(tǒng)仿真模型并進(jìn)行分析。仿真試驗(yàn)框圖如圖2所示，確定期望輸出位置信號(hào)為y*(k)=1，并在t=1.5 s時(shí)加入階躍信號(hào)作為擾動(dòng)輸入；步長(zhǎng)因子ρi(i=1,2,3)發(fā)生變化時(shí)對(duì)控制器跟蹤性能的變化如圖3所示。仿真結(jié)果表明，步長(zhǎng)因子ρi(i=1,2,3)都會(huì)使控制器的控制性能發(fā)生改變，變化較大時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，證明了通過(guò)PD控制算法對(duì)FFDL-MFAC控制器的步長(zhǎng)因子進(jìn)行整定的有效性。PD型全格式無(wú)模型自適應(yīng)控制器與PD控制器的仿真結(jié)果對(duì)比如圖4所示，結(jié)果表明這2種控制器都可以使系統(tǒng)穩(wěn)定，且基于PD型全格式無(wú)模型自適應(yīng)控制器的磁懸浮小球系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間更短，在加入擾動(dòng)信號(hào)后可以更快地恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)，具有更強(qiáng)的魯棒性。

圖2 單自由度磁懸浮系統(tǒng)仿真試驗(yàn)框圖

圖3 不同ρ控制器跟蹤信號(hào)結(jié)果Fig.3 Tracking signal results of different ρ for controller

圖4 2種算法仿真結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of simulation results of two algorithms

3.3 試驗(yàn)結(jié)果

以圖5的單自由度磁懸浮試驗(yàn)平臺(tái)為研究對(duì)象，驗(yàn)證PD算法整定全格式無(wú)模型自適應(yīng)控制器參數(shù)方法的有效性和適用性。2種算法的實(shí)時(shí)控制參數(shù)取值見表2。通過(guò)實(shí)時(shí)控制改變小球穩(wěn)定的參考位置，進(jìn)一步驗(yàn)證FFDL-MFAC算法對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的魯棒性，試驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。單自由度磁懸浮系統(tǒng)通過(guò)PD算法整定全格式無(wú)模型自適應(yīng)控制器和PD控制器的位移輸出對(duì)比結(jié)果分析如圖7所示， 2種控制器都可以使被控對(duì)象穩(wěn)定在期望輸出位置處，但是相比于PD控制器，利用PD型全格式無(wú)模型自適應(yīng)控制器可以使被控對(duì)象更快、更穩(wěn)地懸浮在指定參考位置，且根據(jù)表3可知該算法的誤差均方根(Root Mean Square of Error，RMS)減小了0.002。

表3 2種算法的誤差均方根Tab.3 RMS of two algorithms

圖5 單自由度磁懸浮試驗(yàn)平臺(tái)

表2 2種算法實(shí)時(shí)控制參數(shù)取值Tab.2 Real-time control parameter values of two algorithms

圖6 不同參考位置的實(shí)時(shí)控制結(jié)果

圖7 2種算法的實(shí)時(shí)控制結(jié)果對(duì)比

algorithms

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)比增量式PD算法與FFDL-MFAC算法的相似性，建立PD型FFDL-MFAC算法，實(shí)現(xiàn)FFDL-MFAC算法的參數(shù)初始化，并將該算法應(yīng)用于單自由度磁懸浮系統(tǒng)。仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，PD型無(wú)模型自適應(yīng)控制器和PD控制器都可以使磁懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮，基于PD型無(wú)模型自適應(yīng)控制器的響應(yīng)時(shí)間更短，魯棒性更強(qiáng)。