張林，張廣明

(南京工業(yè)大學(xué) 電氣工程與控制科學(xué)學(xué)院，南京 211816)

主動(dòng)磁軸承通過(guò)電磁力支承轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)，擁有噪聲低，使用壽命長(zhǎng)，無(wú)需潤(rùn)滑，能耗低，耐磨損等優(yōu)點(diǎn)[1]，在航空航天、飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)、智能電網(wǎng)等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。

在實(shí)際使用過(guò)程中，轉(zhuǎn)子材料不均勻和加工誤差等產(chǎn)生的質(zhì)量不平衡，使轉(zhuǎn)子在高轉(zhuǎn)速下產(chǎn)生與轉(zhuǎn)速同頻段的不平衡力和力矩，造成轉(zhuǎn)子振動(dòng)并產(chǎn)生位移偏差，影響整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？蒲腥藛T提出了很多控制方法使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸?。何墨I(xiàn)[2-3]采用一種基于不平衡系數(shù)的多邊長(zhǎng)實(shí)時(shí)迭代搜尋算法，由不平衡補(bǔ)償器產(chǎn)生補(bǔ)償力實(shí)現(xiàn)對(duì)不平衡力的抑制；文獻(xiàn)[4]提出了基于振動(dòng)解耦的迭代搜尋方法，利用轉(zhuǎn)子振動(dòng)時(shí)的質(zhì)心位置分解其運(yùn)動(dòng)，精確彌補(bǔ)了所需要的對(duì)偶力；文獻(xiàn)[5]采用了一種改進(jìn)的Hilbert變換方法，實(shí)現(xiàn)了僅通過(guò)一路徑向位移信號(hào)辨識(shí)出高精度轉(zhuǎn)速信號(hào)；文獻(xiàn)[6]針對(duì)傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制 (Iterative Learning Control，ILC)增益值固定的缺陷提出了基于迭代學(xué)習(xí)理論的變?cè)鲆婵刂品椒?，?shí)現(xiàn)了對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)的補(bǔ)償；文獻(xiàn)[7]提出了基于不平衡常數(shù)迭代逼近的算法，將補(bǔ)償信號(hào)反饋到系統(tǒng)閉環(huán)回路上，對(duì)不平衡質(zhì)量的大小和相位進(jìn)行迭代修正，實(shí)現(xiàn)了不平衡量的辨識(shí)；文獻(xiàn)[8-10]采用不依靠轉(zhuǎn)速的在線識(shí)別不平衡量大小和位置的方法，主要利用不平衡質(zhì)量大小和相位不變的特性，實(shí)現(xiàn)不平衡補(bǔ)償?shù)目刂?，試?yàn)結(jié)果表明該方法對(duì)不平衡控制的抑制效果顯著；文獻(xiàn)[11]指出相當(dāng)多的研究均只考慮轉(zhuǎn)子在額定轉(zhuǎn)速下的擾動(dòng)抑制，對(duì)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化過(guò)程的研究較少，但該過(guò)程又是必不可少的。

本文提出將反推控制器[12]和擾動(dòng)觀測(cè)器[13]相結(jié)合形成一個(gè)復(fù)合控制器的控制策略，在轉(zhuǎn)子從零轉(zhuǎn)速上升到額定轉(zhuǎn)速再下降到零轉(zhuǎn)速的整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中，研究其對(duì)外部擾動(dòng)信號(hào)的抑制作用。

1 磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一般由徑向四自由度和軸向自由度組成，其中軸向自由度由電動(dòng)機(jī)提供。為研究需要，只建立結(jié)構(gòu)如圖1所示的徑向四自由度磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)， 2套徑向主動(dòng)磁軸承和2個(gè)位移傳感器分別位于轉(zhuǎn)子的兩邊。Oxyz為質(zhì)心坐標(biāo)系，O為質(zhì)心位置，x，y分別為轉(zhuǎn)子前后、上下的徑向運(yùn)動(dòng)方向，z為轉(zhuǎn)子的軸線方向；OLxLyL，ORxRyR分別為左、右磁軸承的坐標(biāo)系；OsLxsLysL，OsRxsRysR分別為左、右傳感器的坐標(biāo)系;a，b分別為左、右磁軸承到轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離,c，d分別為左、右傳感器到質(zhì)心的距離,ω為轉(zhuǎn)子角速度，θx，θy分別為轉(zhuǎn)子繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角。

圖1 徑向四自由度磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

根據(jù)牛頓定律建立徑向四自由度磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，即

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)～(4)式可以簡(jiǎn)化為以下矩陣等式，即

(5)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量;FLx，F(xiàn)Rx分別為左、右磁軸承在x方向的電磁力；FLy，F(xiàn)Ry分別為左、右磁軸承在y方向的電磁力；x，y分別為廣義坐標(biāo)中轉(zhuǎn)子質(zhì)心x，y方向的位移；Jx，Jy，Jz分別為轉(zhuǎn)子在x，y方向的赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Mεx，Mεy分別為轉(zhuǎn)子在x，y方向的不平衡力矩；Fex，F(xiàn)ey分別為作用在轉(zhuǎn)子x,y方向的不平衡力；e，ε分別為主軸偏心距和由力矩導(dǎo)致的傾角；t為時(shí)間；θ為質(zhì)量不平衡引起的靜不平衡與動(dòng)不平衡相角;M為質(zhì)量與慣量矩陣；G為陀螺矩陣；F為轉(zhuǎn)子電磁力矩陣；TL為電磁力系數(shù)矩陣；d為轉(zhuǎn)子干擾力矩陣；qc為質(zhì)子質(zhì)心位移角度矩陣。

另一方面，線性化的軸承電磁力F為

F=Kii-KsqL，

(6)

則磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可變換為

(7)

由圖1中的幾何關(guān)系可得

(8)

聯(lián)立(7),(8)式，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在質(zhì)心下的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為磁軸承坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，即

(9)

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 反推控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

反推控制作為一種有效的控制設(shè)計(jì)方法，可以簡(jiǎn)單理解為：首先，將整個(gè)系統(tǒng)劃分為多個(gè)子系統(tǒng)，子系統(tǒng)的個(gè)數(shù)要少于整個(gè)系統(tǒng)的階數(shù)；然后，利用反向遞推思想設(shè)計(jì)每個(gè)子系統(tǒng)的虛擬控制函數(shù)，并構(gòu)造保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的李亞普諾夫函數(shù)；最后，推導(dǎo)出整個(gè)系統(tǒng)的控制信號(hào)。反推控制的最大優(yōu)點(diǎn)是可以保證整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定。令

(10)

代入(9)式，由于擾動(dòng)信號(hào)在實(shí)際過(guò)程中無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量，故控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中去除磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中擾動(dòng)信號(hào)d，則磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型變形為

(11)

(12)

定義位置跟蹤誤差

e1=x1-x1d，

(13)

有

(14)

式中：x1d為轉(zhuǎn)子期望運(yùn)動(dòng)軌跡。

構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)，即

(15)

求導(dǎo)得

(16)

定義速度跟蹤誤差

e2=x2-x2d，

(17)

則

(18)

將(17)，(18)式代入(16)式得

(19)

對(duì)(17)式求導(dǎo)可得

(20)

構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)，即

(21)

(22)

令

(23)

將(23)式代入(22)式可得

(24)

式中：k1為位置誤差收斂系數(shù)；k2為速度誤差收斂系數(shù)。k1，k2均為正數(shù)，可保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

將(20)式代入(23) 式可得

(25)

由(25),(18),(17),(13)式可得

(26)

由(26)式可得

(27)

(28)

2.2 擾動(dòng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

標(biāo)稱控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，r為參考輸入，K0(s)為標(biāo)稱性能控制器，G0(s)為被控對(duì)象的標(biāo)稱模型傳遞函數(shù)，控制器K0(s)的設(shè)計(jì)只考慮了控制系統(tǒng)輸出y對(duì)參考輸入r的跟蹤性能。

圖2 標(biāo)稱控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of nominal control system

基于擾動(dòng)觀測(cè)器的控制結(jié)構(gòu)如圖3所示，d(s)為外部干擾信號(hào)，Q(s)為低通濾波器，V(s)為控制參數(shù)，G(s)為被控對(duì)象的實(shí)際模型傳遞函數(shù)。

圖3 基于擾動(dòng)觀測(cè)器的控制結(jié)構(gòu)圖

圖3中系統(tǒng)輸出y可表示為

(29)

一般認(rèn)為同頻擾動(dòng)的頻率小于低通濾波器的截止頻率，在(29)式中由復(fù)頻域轉(zhuǎn)到頻域，則有濾波器Q(s)≈1，設(shè)定參數(shù)V(s)≈0，(29)式可近似為

(30)

由此看出，基于該擾動(dòng)觀測(cè)器的控制結(jié)構(gòu)能抑制外部干擾d(s)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。

3 系統(tǒng)仿真分析

表1 磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of rotor system of magnetic bearing

表2 復(fù)合控制器參數(shù)Tab.2 Parameters of compound controller

復(fù)合控制器應(yīng)用在磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)全轉(zhuǎn)速條件下的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速譜如圖4所示。

圖4 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速譜曲線Fig.4 Rotor speed curve

轉(zhuǎn)子在徑向四自由度上的位移響應(yīng)曲線如圖5所示，藍(lán)色、紅色實(shí)線分別為在反推控制器和復(fù)合控制器下的結(jié)果。由圖5可知，隨著轉(zhuǎn)速的增大，位移響應(yīng)曲線幅值隨之變大，在轉(zhuǎn)速到達(dá)額定轉(zhuǎn)速時(shí)，位移響應(yīng)曲線幅值達(dá)到最大，然后隨轉(zhuǎn)速減小，位移響應(yīng)曲線幅值逐漸下降至零。

圖5 轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)曲線Fig.5 Displacement response curve of rotor

控制器的電流輸出曲線如圖6所示，藍(lán)色、紅色實(shí)線分別為在反推控制器下和復(fù)合控制器下的結(jié)果。由圖6可知，在復(fù)合控制器作用下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)輸入電流約比反推控制器作用下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)輸入電流大1倍多，在大電流的控制下，抑制了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的位移振動(dòng)幅值，提高了系統(tǒng)的抗干擾性。

圖6 控制器的電流輸出曲線Fig.6 Current output curve of controller

轉(zhuǎn)子額定轉(zhuǎn)速下位移響應(yīng)幅值見(jiàn)表3，反推控制器對(duì)磁軸承控制系統(tǒng)的擾動(dòng)有一定的抑制作用，但效果不好，當(dāng)采用復(fù)合控制器時(shí)，擾動(dòng)抑制效果有了明顯提升：xL，xR，yL，yR的位移幅值分別降低約85.8%， 83.4%，83.1%，85.7%。

表3 轉(zhuǎn)子額定轉(zhuǎn)速下位移響應(yīng)幅值比較

4 結(jié)束語(yǔ)

轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡帶來(lái)的同頻干擾是磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中影響系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的主要因素之一，在建立磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)下，分別設(shè)計(jì)了反推控制器和擾動(dòng)觀測(cè)器，并將反推控制算法與擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合，形成一個(gè)復(fù)合控制器。與單獨(dú)使用反推控制器相比，復(fù)合控制器對(duì)轉(zhuǎn)子徑向四自由度的擾動(dòng)降低約一個(gè)數(shù)量級(jí)，并且在轉(zhuǎn)子從零轉(zhuǎn)速上升到額定轉(zhuǎn)速再下降到零轉(zhuǎn)速的全過(guò)程中對(duì)擾動(dòng)信號(hào)的抑制均有較好效果，提高了系統(tǒng)的抗干擾性和穩(wěn)態(tài)精度。