袁宇博，趙小俠，郭 釗，楊 迪，王 浩，羅奇松，賀俊芳，王碧熙，王紅英，付福興，楊森林

(西安文理學院 機械與材料工程學院，陜西 西安 710065)

圓孔衍射根據(jù)光源與圓孔以及圓孔與衍射屏之間的距離遠近可以分為：菲涅爾圓孔衍射(近場衍射)和夫瑯禾費圓孔衍射(遠場衍射)。夫瑯禾費圓孔衍射軸線上的光強可以根據(jù)惠更斯-菲涅爾原理積分得到，而菲涅爾圓孔衍射光強分布，原理上也可以從惠更斯-菲涅爾原理出發(fā)計算得到。但是在實際情況下，由于光源與障礙物圓孔以及與衍射屏的距離關系會導致光強計算相當復雜。菲涅爾圓孔衍射的傳統(tǒng)理論是建立在菲涅爾的半波帶法對圓孔衍射的定性解釋。孫景亭[1-4]曾在球面波入射的情況下,導出了菲涅爾圓孔衍射時軸上光強分布的解析表達式,并對軸上光強分布進行了定量分析討論；用標量衍射理論導出了平行光入射時，圓孔衍射的精確積分表達式；用數(shù)值積分法可求出整個衍射空間光場和光強的分布；也導出了普遍情況下的菲涅爾圓孔衍射的精確積分表達式和非傍軸區(qū)軸上點的菲涅爾圓孔衍射的解析表達式，并借助于數(shù)值計算方法，模擬出衍射光強隨各種不同參數(shù)而變化的曲線。曹國榮[5]曾采用振幅矢量法，找出了菲涅爾圓孔衍射軸線上光強分布的規(guī)律及解析表達式。相對于孫景亭老師的推導理論，振幅矢量圖法研究菲涅爾圓孔衍射軸線上的光強分布規(guī)律，具有簡單的特點，又比菲涅耳半波帶法優(yōu)越，在一定的近似條件下可以得到與孫老師理論相同的結果。但是結果不夠形象。于建強[6]在遠場傍軸條件下，推導了圓孔夫瑯禾費衍射場三維分布的積分表達式，并基于Matlab軟件進行了數(shù)值積分，得到了圓孔夫瑯禾費衍射圖樣的三維光強分布數(shù)據(jù)。游開明[7]利用Hankel變換算法，克服菲涅耳衍射積分計算的復雜性和因光波頻率高而導致的采樣點數(shù)目巨大兩大難題，將二維計算變換為一維計算，并利用球面波因子處理，在普通PC上實現(xiàn)了菲涅耳圓孔衍射的計算機模擬演示。兩位老師的模擬研究相對理論推導形象，但沒有實際的實驗結果形象生動。

項目主要搭建了圓孔的菲涅爾衍射實驗，研究了在保持光源與衍射物圓孔距離不變的條件下，改變衍射屏與障礙物的距離，觀察衍射屏上衍射光強的變化。從而與圓孔夫瑯禾費衍射實驗比較，得出可以把圓孔夫瑯禾費衍射看作菲涅爾圓孔衍射的一個特例的結論。這與蘇海濤[8]的點光源在聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射，當光源與目標物的距離增大時，衍射光強(圖樣)就會發(fā)生改變，從而使菲涅爾圓孔衍射過渡到夫瑯禾費圓孔衍射的結論是一致的。

1 理論分析

1.在菲涅爾圓孔衍射中，根據(jù)惠更斯原理，當光源與半徑恒定的衍射物圓孔和圓孔與觀察屏之間的距離保持不變，對于菲涅爾圓孔衍射引用半波帶劃分法，得到菲涅爾圓孔對稱軸上一點處的衍射圖樣的規(guī)律[9]：

通過圓孔的波面劃分為k個半波帶，當k為奇數(shù)時，觀察屏中央衍射圖樣為亮斑，當k為偶數(shù)時，觀察屏中央衍射圖樣為暗斑[10，11]。

(1)

上式1中Rh為圓孔半徑，R為點光源到圓孔的球面波的半徑，r0為點光源到圓孔的球面波與通過圓孔的對稱軸的交點到對稱軸上觀察點之間的距離，λ為單色光的波長。

由式1可以得出，當光源給定，圓孔的大小即圓孔半徑Rh恒定，并且光源與圓孔之間的距離恒定即光源到圓孔的球面波半徑R恒定情況下，在圓孔對稱軸上的觀察點位置改變，即r0值發(fā)生變化，劃分的半波帶個數(shù)k也隨之改變。從而使觀察點處的衍射圖樣發(fā)生亮暗的周期性變化。

2.蘇海濤通過數(shù)學推導的方法[8]，討論聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射，推出夫瑯禾費圓孔衍射合振動的函數(shù)式即光強分布如下。

菲涅爾圓孔衍射合振動函數(shù)式：

y=H0cos[wt-ks(θ)-kq0φ0sinθ]

(2)

式中H0為貝塞爾函數(shù)，

夫瑯禾費圓孔衍射相當于光源距離很遠時發(fā)生菲涅爾圓孔衍射，滿足2φ0→0，此時q0φ0=r(r為衍射圓孔半徑)，得到下式3夫瑯禾費圓孔衍射合振動函數(shù)式：

y=H0cos[wt-ks(θ)-krsinθ]

(3)

蘇老師理論分析了菲涅爾圓孔衍射過渡到夫瑯禾費圓孔衍射，即可以把夫瑯禾費圓孔衍射看成菲涅爾圓孔衍射的一個特例。

項目研究在保持光源與衍射物圓孔距離不變的條件下，改變觀察屏與障礙物的距離，觀察觀察屏上衍射光強的變化。從而與圓孔夫瑯禾費衍射實驗相比較，也得出可以把圓孔夫瑯禾費衍射看作菲涅爾圓孔衍射的一個特例的結論。

2 實驗裝置

實驗室中搭建的近場菲涅爾圓孔衍射實驗裝置圖如下圖1所示。

圖1 實驗室搭建的菲涅爾衍射實驗裝置圖

圖1中從右向左依次為：1-實驗光源532 nm激光器；2-圓形可調(diào)衰減器；3-空間光濾波器；4-聚焦為準直透鏡(Φ25.4,f100.0)；5-聚焦透鏡(Φ40,f150.0)；6-衍射物-圓孔；7-CCD數(shù)字相機(通過數(shù)據(jù)線與電腦連接進行圖像的觀察)。

實驗中依次調(diào)整激光器、空間濾波器和準直鏡；安裝聚焦透鏡和衍射物-圓孔和CCD數(shù)字相機。搭建好如上圖1的近場菲涅爾圓孔衍射光路后，讓光源照射在衍射物圓孔上，通過軟件適當調(diào)節(jié)數(shù)字攝像機CCD的成像參數(shù)，并通過數(shù)據(jù)線把采集到的衍射圖樣傳輸?shù)诫娔X中進行觀察。實驗中選擇直徑250 μm的圓孔為衍射物來進行實驗驗證的。

3 實驗結果

實驗過程中，保持光路中的其他光學器件不變，僅改變衍射物圓孔和相機之間的距離，實驗采集到的圓孔衍射圖樣如下。

(1)衍射物圓孔與相機之間距離為60.0 mm時得到的菲涅爾衍射圖如下圖2所示。

圖2 衍射物距CCD相機60.0 mm處的菲涅爾衍射圖樣

圖2中左圖為圓孔菲涅爾衍射光斑，右圖為圓孔菲涅爾衍射圖樣的光強分布。衍射圖樣中心為亮斑，根據(jù)半波帶理論，當CCD相機到圓孔之間的距離為60.0 mm情況下，可以把光源到圓孔的波面劃分為奇數(shù)個半波帶。

(2)衍射物圓孔與相機之間距離為103.0 mm時得到的菲涅爾衍射圖如下圖3所示。

圖3 衍射物距CCD相機103.0 mm處的菲涅爾衍射圖樣

圖3中左圖為圓孔菲涅爾衍射光斑，右圖為圓孔菲涅爾衍射圖樣的光強分布。衍射圖樣中心為暗斑，根據(jù)半波帶理論，當CCD相機到圓孔之間的距離為103.0 mm情況下，可以把光源到圓孔的波面劃分為偶數(shù)個半波帶。

(3)衍射物圓孔與相機之間距離為168.0 mm時得到的菲涅爾衍射圖如下圖4所示。

圖4 衍射物距CCD相機168.0 mm處的菲涅爾衍射圖樣

圖4中左圖為圓孔菲涅爾衍射光斑，右圖為圓孔菲涅爾衍射圖樣的光強分布。衍射圖樣中心為亮斑邊緣有暗環(huán)亮環(huán)分布，根據(jù)半波帶理論，當CCD相機到圓孔之間的距離為168.0 mm情況下，光源到圓孔的波面劃分的半波帶個數(shù)正在由偶數(shù)向奇數(shù)變化，不是整數(shù)而是小數(shù)。

(4)衍射物圓孔與相機之間距離為224.0 mm時得到的菲涅爾衍射圖如下圖5所示。

圖5 衍射物距CCD相機224.0 mm處的菲涅爾衍射圖樣

圖5中左圖為圓孔菲涅爾衍射光斑，右圖為圓孔菲涅爾衍射圖樣的光強分布。衍射圖樣中心為暗斑，根據(jù)半波帶理論，當CCD相機到圓孔之間的距離為224.0 mm情況下，可以把光源到圓孔的波面劃分為偶數(shù)個半波帶。

(5)衍射物圓孔與相機之間距離為364.0 mm時得到的菲涅爾衍射圖如下圖6所示。

圖6 衍射物距CCD相機364.0 mm處的菲涅爾圓孔衍射圖樣

圖6中左圖為圓孔菲涅爾衍射光斑，右圖為圓孔菲涅爾衍射圖樣的光強分布。衍射圖樣中心為亮斑邊緣有亮環(huán)和暗環(huán)的分布，根據(jù)半波帶理論，當CCD相機到圓孔之間的距離為364.0 mm情況下，光源到圓孔的波面劃分的半波帶個數(shù)正在由偶數(shù)向奇數(shù)變化，也非整數(shù)而是小數(shù)，但是該數(shù)字已經(jīng)非常接近于某一奇數(shù)。

(6)衍射物圓孔與相機之間距離為402.0 mm時得到的菲涅爾衍射圖如下圖7所示。

圖7 衍射物距CCD相機402.0 mm處的菲涅爾圓孔衍射圖樣

圖7中左圖為圓孔菲涅爾衍射光斑，右圖為圓孔菲涅爾衍射圖樣的光強分布。衍射圖樣中心為暗斑邊緣有亮環(huán)和暗環(huán)的分布，根據(jù)半波帶理論，當CCD相機到圓孔之間的距離為402.0 mm情況下，光源到圓孔的波面劃分的半波帶個數(shù)正在由奇數(shù)向偶數(shù)變化，也非整數(shù)而是小數(shù)，但是該數(shù)字已經(jīng)非常接近于某一偶數(shù)。

(7)衍射物圓孔與相機之間距離為620.0 mm時得到的菲涅爾衍射圖如下圖8所示。

圖8 衍射物距CCD相機620.0 mm處的菲涅爾圓孔衍射圖樣

圖8中左圖為圓孔菲涅爾衍射光斑，右圖為圓孔菲涅爾衍射圖樣的光強分布。衍射圖樣中心為亮斑，根據(jù)半波帶理論，當CCD相機到圓孔之間的距離為620.0 mm情況下，光源到圓孔的波面劃分為奇數(shù)個半波帶。

實驗室中搭建的夫瑯禾費衍射實驗裝置圖如下圖9所示。

圖9 實驗室搭建的夫瑯禾費衍射實驗裝置圖

圖9中從右向左依次為：1-實驗光源：532 nm激光器；2-圓形可調(diào)衰減器；3-空間光濾波器；4-準直透鏡(Φ25.4,f100.0)；5-聚焦透鏡(Φ40,f150.0)；6-衍射物-圓孔；7-聚焦透鏡(Φ40,f150.0)；8-CCD數(shù)字相機(通過數(shù)據(jù)線與電腦連接)。實驗得到的夫瑯禾費衍射圖樣如下圖10所示。

圖10夫瑯禾費遠場衍射的圖樣與圖10的菲涅爾衍射圖樣進行對比發(fā)現(xiàn)：當目標物與光源距離足夠大時，就發(fā)生遠場衍射，從而使近場衍射過渡到遠場衍射。從圖10可以清楚地看到，當目標物與光源的距離增大時，劃分的半波帶個數(shù)為k，根據(jù)k的奇偶性使衍射圖樣發(fā)生變化。當目標物與光源的距離足夠大時，近場衍射就過渡到遠場衍射。通過實驗可以更加深入的理解近遠場衍射的實質(zhì)。

圖10 夫瑯禾費衍射圖(左邊為衍射圖樣右邊為光強分析)

4 結 語

基于圓孔菲涅爾衍射原理，搭建了菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射兩個實驗光路。在保持光源到衍射物距離不變的情況下，通過改變衍射物到觀察屏的距離，在觀察屏上得到了周期性變化的衍射圖樣，當衍射物與觀察屏之間距離足夠大時最終將近場衍射過渡到遠場衍射。實驗證實了夫瑯禾費圓孔衍射可以看作菲涅爾圓孔衍射的一個特例的結論。這與蘇海濤[8]的點光源在聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射，當光源與目標物的距離增大時菲涅爾圓孔衍射過渡到夫瑯禾費圓孔衍射的結論相一致。加深了對圓孔的菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射的理解，弄清楚了兩種衍射之間的相互關系。