生紅

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的難點.相關(guān)習(xí)題能很好地檢驗學(xué)生的理解以及分析問題的能力.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)在為學(xué)生系統(tǒng)講解基礎(chǔ)知識的同時，注重提升學(xué)生解答二次函數(shù)習(xí)題的能力，為其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的有效提升奠定堅實基礎(chǔ).本文圍繞二次函數(shù)與方程問題、二次函數(shù)與實際問題、二次函數(shù)綜合問題展開論述，以供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);問題解答

1 二次函數(shù)與方程問題

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx-1的最小值為-2，則方程|ax2+bx-1|=2的不相同實數(shù)根的個數(shù)為（）.

（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.

該題較為典型，間接地考查了二次函數(shù)圖象問題.解題時需要構(gòu)建已知條件與要求解問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，能夠聯(lián)系所學(xué)的二次函數(shù)圖象畫出帶有絕對值二次函數(shù)圖象，通過觀察圖象的交點得出根的個數(shù).

解析 求方程|ax2+bx-1|=2根的個數(shù)，可將其看成函數(shù)y=|ax2+bx-1|和y=2圖象的交點個數(shù).

其中y=|ax2+bx-1|圖象可由y=ax2+bx-1位于x軸下方的部分向上翻折得到.

因二次函數(shù)y=ax2+bx-1過定點（0，-1），且其最小值為-2，則可大致畫出其圖象，如圖1，則y=|ax2+bx-1|圖象的圖象如圖2：

y=2是和x軸平行的直線，由圖2可知兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)為三個，即有三個不等實根，選擇B項.

2 二次函數(shù)與實際問題

例2 如圖3所示，某建筑物的截面圖由拋物線和矩形OAA′B構(gòu)成，其中矩形的長、寬分別為16m、4m，構(gòu)建圖中坐標(biāo)系，則拋物線可表示為y=-116x2+bx+c表示，其中CD為一排和地面平行的燈帶.若燈帶的長度至少為12m，求燈帶和拋物線頂點的距離.

用二次函數(shù)解決實際問題是各類測試以及中考的重要考點.解答該類問題的關(guān)鍵在于能夠充分吃透題意，提煉出題干中的有用信息，通過合理的抽象將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運用二次函數(shù)的性質(zhì)定理求解.

解析 因為OB=16，OA=4，可知拋物線過點（0，4），（16，4），將其代入解得c=4，-16+16b+4=4，b=1，則y=-116x2+x+4.

因為y=-116x2+x+4=-116（x-8）2+8，

當(dāng)x=8時，拋物線取得最大值8.

因燈帶至少為12m，則可求得C點的橫坐標(biāo)為16-122=2.

將其代入到拋物線方程中可得

y=-116（x-8）2+8=-116×36+8=5.75，

即，C點坐標(biāo)為（2，5.75），則燈帶和拋物線頂點的距離為8m-5.75m=2.25m.

3 二次函數(shù)綜合問題

例3 如圖4所示，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象和x軸交于點A（-3，0），B（1，0）和y軸交于點C（0，3），其中C、D是二次函數(shù)圖象上一對對稱點，一次函數(shù)圖象經(jīng)過B、D兩點.（1）寫出二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值x的取值范圍.（2）設(shè)點E為直線BD和y軸的交點，連接AD、AE，求△ADE的面積.

函數(shù)綜合問題考查的知識點較多，難度較大.解答該類問題不能有知識漏洞，同時還需要具體問題具體分析，注重運用數(shù)形結(jié)合思想，降低計算復(fù)雜度，尤其應(yīng)大膽的想象，通過做出合理的輔助線，確保問題得以順利解決.

解析 問題（1）由圖可知B點坐標(biāo)已知，則需要求出點D坐標(biāo).點C、D均在拋物線上則其關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.

因拋物線過點A（-3，0），B（1，0），代入y=-x2+bx+c解得b=-2，c=3，即，y=-x2-2x+3，則其對稱軸為直線x=-1，

由C點坐標(biāo)為（0，3），則D的坐標(biāo)為（-2，3），則滿足條件的x的取值范圍為x<-2或x>1;

問題（2）設(shè)直線BD方程為y=kx+b，B（1，0）、D（-2，3）兩點坐標(biāo)已知，代入求得k=-1，b=1，則直線BD的方程y=-x+1，則點E的坐標(biāo)為（0，1）.

S△ADE=S△ABD-S△ABE

=12×AB×yD-12×AB×yE

=12×4×3-12×4×1

=6-2

=4.

4 結(jié)語

綜上所述，結(jié)合具體例題探討二次函數(shù)常見習(xí)題類型的解答過程，不僅鞏固了學(xué)生所學(xué)，加深了學(xué)習(xí)者對二次函數(shù)知識的理解，而且使其掌握了不同題型的突破思路以及在解題過程中應(yīng)把握的細(xì)節(jié)，幫助其積累一定的解題經(jīng)驗，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

[1]許志國.運用數(shù)形結(jié)合思想解決初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)問題[J].試題與研究，2021（25）：15-16.

[2]沈達(dá)峰.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)問題的解題方法與技巧簡析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（14）：71-72.

[3]崔亞江.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的解題技巧探析[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（08）：11-12.

[4]孫光琪.初中數(shù)學(xué)中“二次函數(shù)”的教學(xué)策略初探[J].天津教育，2020（17）：91-92.