顧文亞 許志君

在正比例教學中滲透函數(shù)思想，能有效銜接中小學教學內(nèi)容，為學生學習函數(shù)圖像埋下伏筆。“正比例圖像”是蘇教版數(shù)學教材六年級下冊的教學內(nèi)容，本節(jié)課主要通過正比例圖像的教學，立足生長點，關(guān)注細節(jié)點，發(fā)展延伸點，加深學生對正比例關(guān)系中數(shù)值變化規(guī)律的認識，初步滲透函數(shù)思想。

一、復習舊知，錨定起點

師：上節(jié)課我們通過研究表格里兩種相關(guān)聯(lián)量的數(shù)據(jù)變化，認識了正比例。誰來具體說說圖1中的表格所呈現(xiàn)的路程和時間為什么成正比例關(guān)系？

生：因為路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時間變化，路程也隨著變化。通過計算，路程和相對應(yīng)時間的比值一定，也就是速度總是一定。所以表中汽車行駛的路程和時間成正比例關(guān)系。

師：誰還記得正比例關(guān)系可以用怎樣的式子表示？

生：y/x=k（一定）。

師：像圖1這樣的正比例關(guān)系，不僅可以用式子表示，還可以用圖像來表示。今天我們一起來學習正比例圖像。

【評析】正比例的學習，是學生第一次正式接觸“變量”關(guān)系，是函數(shù)思想在小學階段的初步滲透。本環(huán)節(jié)的復習，應(yīng)用正比例的意義判斷兩種量是不是成正比例，為正比例圖像的認識、理解與繪制做鋪墊。

二、化靜為動，理解圖像

師：我們將表格里的時間欄畫成橫軸，橫軸上一格表示多少小時？（課件演示：從0開始，把橫軸向右拉動，動態(tài)出示刻度線和相應(yīng)的數(shù)據(jù)，如圖2所示）

生：橫軸上的一格表示1小時。

師：隨著時間的變化，路程也隨著變化。這里的縱軸表示路程，縱軸上一格表示多少千米？

（課件演示：把縱軸向上拉動，動態(tài)出示刻度線和相應(yīng)的數(shù)據(jù)，如圖2所示）

生：縱軸上的一格表示80千米。

師：橫軸和縱軸就表示表中兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師：如果要用1個點表示1小時行駛80千米。這個點在哪里？你們是怎么找的？

師：如果要用1個點表示2小時行駛160千米呢？5小時呢？

（學生在作業(yè)紙上找一找）

師（指著圖3中的一個點）：老師在這張圖上也找了一個點，這個點表示什么意思？

生：這個點橫軸指向7，縱軸指向560，表示7小時行駛了560千米。

師：是的，我們用一個點就能表示這輛汽車行駛某段時間所對應(yīng)的路程。你們還能找到像這樣的點嗎？

（學生同桌交流）

師（指著圖3中的點）：其實像這樣的點還有很多，比如，這個點，表示汽車1.2小時行駛96千米;這個點，表示汽車1.5小時行駛120千米;這個點，表示汽車4.3小時行駛344千米;這個點，表示汽車4.7小時行駛376千米……

師：把這些點連起來，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)這些點連起來是一條直線。

生：這些點連起來是一條線段。

師：對，這些點都在一條直線上，這條直線可以向兩端延長。瞧，這個“0”點，表示汽車處于什么狀態(tài)？

生：汽車還沒有啟動，處于靜止狀態(tài)。

師：是的，這條直線上的每一個點都可以表示一組對應(yīng)的量。瞧，汽車以同樣的速度繼續(xù)行駛，路程就隨著時間的變化而變化。這條直線上的每個點都可以看出汽車行駛的時間和所對應(yīng)的路程，這個圖像就表示了時間和路程的正比例關(guān)系（如圖4）。

師：根據(jù)圖4中的圖像，你們知道這輛汽車2.5小時行駛多少千米？行駛440千米需要多少小時？你們是怎么知道的？

生：我用直尺畫兩條虛線，就可以看出這輛汽車2.5小時行駛了200千米。

生：我用三角尺比一比，一條直角邊指向橫軸上的2.5，三角尺直角的頂點和這條直線相交，然后再看另一條直角邊指向幾就可以知道2.5小時行駛了200千米。

師：是個好辦法。根據(jù)已知數(shù)值2.5，找到圖像上對應(yīng)的點，再順著這個點找到相對應(yīng)的路程。

師：行駛440千米需要多少小時呢？

生：我用三角尺比一比，根據(jù)已知數(shù)值440，找到圖像上對應(yīng)的點，再順著這個點找到相對應(yīng)的時間。440千米需要5.5小時。

師：同學們巧用學具，根據(jù)圖像找到了相應(yīng)的數(shù)據(jù)。接下來，請大家算一算路程和時間的比值是多少。

生：200÷2.5=80，比值是80。

生：400÷5=80，比值是80。

生：我覺得不管選哪個點，只要是在這條直線上，路程和時間的比值都是80。

師：在計算、觀察中同學們又有了新的發(fā)現(xiàn)和理解，這輛汽車行駛過程中隨著時間的變化，路程也隨之變化，但是速度不變?？粗鴪D4，我們還可以找到、聯(lián)想到更多這樣的點。所以，正比例圖像一般是從0開始畫一條射線。

師：點（4，160）在這條直線上嗎？為什么？

生：我從圖上看出，這個點不在這條直線上。

生：這輛汽車每小時行駛80千米，4小時應(yīng)該行駛320千米，所以這個點不在這條直線上。

生：我也是這樣計算的，如果用160除以4，速度只有40，所以這個點不在這條直線上。

師：看來，利用正比例圖像，可以幫助我們解決實際問題。

【評析】這一環(huán)節(jié)的教學既要讓學生“看到”這些點在一條直線上，同時讓學生通過“算一算”，感受這些數(shù)值是特殊的，并通過反例“點（4，160）為什么不在這條直線上”的追問，明確只有當路程和時間的比值是80時，所對應(yīng)的點才在這條直線上。在畫圖的過程中，清楚地感受到這條直線所包含的無數(shù)個點的共同特征，感知符合不變規(guī)律的“每組數(shù)”的無限性，即體會直線背后所蘊含的知識內(nèi)核。

三、生活運用，感受價值

師：第1題（如圖5），請同學們自己做一做。

生：根據(jù)圖像是一條直線，可以知道小玲打字的數(shù)量和時間成正比例。

生：我用三角尺幫助看圖，根據(jù)省略號所繪制的圖像可以看出，小玲5分鐘可以打250個字，打750個字要超過14分鐘。

師：同學們學會了根據(jù)圖像分析、解決問題，再仔細觀察，圖6中這兩個圖像有什么相同的地方？

生：兩種量都表示正比例關(guān)系，所呈現(xiàn)的圖像都是一條射線。

生：每個點所表示的對應(yīng)量的比值是一定的。

師：對，正比例關(guān)系的圖像就是像這樣的一條直線。上節(jié)課我們通過計算比值是否一定來判斷兩種量是否成正比例，現(xiàn)在我們還可以根據(jù)這樣的圖像直接判斷。

師：接下來，你們會根據(jù)圖7中的圖像直接判斷嗎？

生：圖7中的圖像是一條射線，所以路程和時間成正比例。

生：用三角尺比畫，從圖上可以看出，20分鐘所行的路程在4千米到8千米之間，更接近4千米，我估計比5千米多一些。

生：行10千米，10正好在8和12的中間，所以，我的三角尺這樣擺，順著另一條直角邊看下來，在30分和40分之間，我估計要行35分鐘。

師：同學們會使用工具，而且也做出了比較精準的比照和預(yù)估，真不錯。接下來根據(jù)這里的數(shù)據(jù)，你們能畫出圖像嗎？請同學們自己動手畫一畫。

【評析】在練習環(huán)節(jié)，教師安排了三個層次的練習。第1題，以形變數(shù)，根據(jù)圖像直接判斷兩種量之間的關(guān)系;第2題，以數(shù)化形，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫圖，理解關(guān)系，拓展優(yōu)化畫圖方法，進一步凸顯圖像的本質(zhì)，滲透函數(shù)思想;第3題，形數(shù)互變，讓學生在解決問題的過程中感受圖像的價值，更直觀、更清楚，有助于學生分析與推理問題，滲透函數(shù)思想。

四、歸納整理，拓展延伸

師：今天我們認識了正比例圖像，誰來說說你的收獲？

師：如果橫軸上的量用x表示，縱軸上的量用y表示，在這樣的圖像上，可以找到任意一個x所對應(yīng)的y。同學們，隨著以后的學習，這條直線還可以向其他方向延伸，你們覺得會形成怎樣的圖像呢？課后大家可以繼續(xù)研究。

【評析】正比例圖像是一種特殊的一次函數(shù)圖像，函數(shù)圖像既是一個重要的數(shù)學概念，又是研究函數(shù)的重要工具，對培養(yǎng)學生的函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合思想具有重要作用。

【總析】

1.立足生長點，讓正比例關(guān)系“看得見”。在正比例圖像的形成過程中，“一個點能表示這輛汽車行駛某段時間及相應(yīng)路程這樣一組對應(yīng)的數(shù)值”，這是學生上節(jié)課學習的內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上教師提問“你們還能找到像這樣的點嗎”？預(yù)估學生找到的都是格點上的點，及時補充“其實像這樣的點還有很多”，隨機出示格點之間的點，不斷增加點的密度，讓學生初步感受這些點可能在一條直線上，清晰地看見這條直線上有很多個這樣的點，從而感受正比例圖像的連續(xù)性，滲透函數(shù)的連續(xù)性。

2.關(guān)注細節(jié)點，讓正比例關(guān)系“看得清”。正比例圖像是用一條直線把一些特殊的點連接起來。在連點成線的過程中，學生最容易忽視兩點：一是對圖像起點的認識，二是對圖像終點的認識。因此，本節(jié)課教學從“橫軸和縱軸的出示”“各點位置的確定”到“圖像的形成”，都以動態(tài)呈現(xiàn)。化靜為動，在教學中關(guān)注橫軸與縱軸所表示的意思，關(guān)注點的位置的確定過程，在逐步呈現(xiàn)的過程中幫助學生經(jīng)歷圖像的形成過程，促進學生對點所表示意思的理解，滲透函數(shù)思想。

3.發(fā)展延伸點，讓正比例關(guān)系“看得遠”。本節(jié)課教學從例題到習題的設(shè)計，數(shù)形結(jié)合，動態(tài)呈現(xiàn)。連點成線是繪制正比例圖像的方法和步驟，體現(xiàn)了正比例圖像的工具性。從有數(shù)個點走向無數(shù)個點，體現(xiàn)了正比例圖像的意義。

（作者單位：江蘇省無錫市張涇實驗小學 ）