謝秋鳳
【摘? 要】代數(shù)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)的拉墻筋,滲透高中數(shù)學(xué)的每一個章節(jié),更強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)運(yùn)算的應(yīng)用。針對學(xué)生運(yùn)算能力較差的現(xiàn)實(shí)情況,教師需要弄清各種基礎(chǔ)運(yùn)算的作用,分析學(xué)生運(yùn)算出錯的原因,幫助學(xué)生攻克運(yùn)算難關(guān),提高學(xué)生解題能力。
【關(guān)鍵詞】高中;數(shù)學(xué);代數(shù)運(yùn)算
初中數(shù)學(xué)在小學(xué)整式運(yùn)算基礎(chǔ)上,增加了代數(shù)式的運(yùn)算,從了解到強(qiáng)化這些運(yùn)算,為高中數(shù)學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)主要應(yīng)用到哪些代數(shù)運(yùn)算呢?整式乘法及合并同類項(xiàng)、通分因式分解、配方、通分逆運(yùn)算及繁分式的化簡是整個高中數(shù)學(xué)應(yīng)用較廣、出錯率較高的基本代數(shù)運(yùn)算。下面就來看看這些基本運(yùn)算在各章節(jié)中的應(yīng)用,它們的作用和出錯情況,抓住運(yùn)算的作用和目的,用“細(xì)心”“耐心”和“信心”攻克這些運(yùn)算難關(guān)。
一、整式乘法及合并同類項(xiàng)
整式乘法及合并同類項(xiàng)的作用:將整式化簡整合,適用于各種含參量運(yùn)算。
例1:已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為MN,當(dāng)l⊥x軸時,|MN|=3。
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使得當(dāng)l變化時,總有PM與PN所在的直線關(guān)于x軸對稱?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
解析:(1)略;(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時,x軸上任意一點(diǎn)都滿足PM與PN所在直線關(guān)于x軸對稱,當(dāng)直線l不垂直于x軸時,假設(shè)存在p(t,0)滿足條件,設(shè)l的方程為y=k(x-1),M(x2,y1),N(x2,y2),聯(lián)立y=k(x-1)
3x
+4y
=12,當(dāng)直線l垂直于x軸時,x軸上任意一點(diǎn)P都滿足PM與PN所在直線關(guān)于x軸對稱;當(dāng)直線l不垂直于x軸時,假設(shè)存在p(t,0)滿足條件,設(shè)l的方程為y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立y=k(x-1)
3x
+4y
=12得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0;
可得x+x=,xx= ①
∵PM與PN所在的直線關(guān)于x軸對稱
∴+=0 ②
∵M(jìn)N兩點(diǎn)在直線y=k(x-1)上,∴y1=k(x1-1),
y2=k(x2-1)代入②得,==0,
∴2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0 ③,將①代入③得,
==0,要使上式與k的取值無關(guān),則t=4。
綜上所述,存在p(4,0),使得當(dāng)l變化時,總有PM與PN所在直線關(guān)于x軸對稱。整式乘法及合并同類項(xiàng)比較典型的是應(yīng)用于“直線與圓錐曲線”交點(diǎn)問題中,解方程組時代入消元,通過整式乘法及合并同類項(xiàng),解出方程或設(shè)而不解。學(xué)生往往在這個過程中出錯,導(dǎo)致本大題一分不得。在此類問題中,我們應(yīng)耐心、細(xì)心地降次排列好,關(guān)注系數(shù)有沒有遺漏錯誤,及時糾正再往下寫。
二、通分、因式分解
通分的主要作用是將幾個異分母分式(數(shù))化為一個分式,通過分析分子與分母兩個式子的因式求根或判號。因式分解的作用:將整式分解成幾個因式的乘積,便于求根或判號。判號在高中數(shù)學(xué)中主要用于兩個方面。
(一)比較大小“作差”
例2:已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=x+-4。
(1)求函數(shù)f(x)在R上的解析式;(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+∞)上是增函數(shù)。
解析:(1)略;(2)證明:設(shè) f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)=(x1-x2),∵ f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明,很多學(xué)生往往在“作差”之后,沒有變形到位就開始討論判號,沒有充分的依據(jù)判號。這題的變形就需要通分、因式分解,這樣通過各個因式的符號判定最后的符號,就解決問題了。只有弄清通分、因式分解的作用是判號,為什么要進(jìn)行這樣的變形,才能應(yīng)用運(yùn)算。 (二)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,研究單調(diào)性 例3:已知函數(shù)f(x)=aln x+x2-ax(a∈R)。(1)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求g(x)= f(x)-2x在區(qū)間[1,e]上的最小值h(a)。 解:(1)f'(x)=+2x-a(x>0),∵x=3是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn),∴f'(3)=+6-a=0,解得a=9,∴f'(x)=,∴0 (2)g(x)=aln x+x2-ax-2x,x∈[1,e],g'(x)=,①≤1即a≤2時,g(x)在[1,e]遞增,g(x)min=g(1)=-a-1;②1< 綜上h(a)=-a-1,a≤2 aln --a,2 a(1-e)+e(e-2),a≥2e。 討論函數(shù)的單調(diào)性,本題抓住導(dǎo)函數(shù)通分、因式分解,通過判定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)符號,研究函數(shù)的單調(diào)性。同學(xué)們在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時,對導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系的理解,需要轉(zhuǎn)換到導(dǎo)函數(shù)正負(fù)符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系上,將原函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)判號問題。 三、配方法 配方法就是將整式化成完全平方的形式,把二次多項(xiàng)式化為一個一次多項(xiàng)式的平方與一個常數(shù)的和。配方常用于“判號”,廣泛應(yīng)用于“二次函數(shù)問題”,主要作用是找到二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對稱軸和最值。 (一)判號 例4:已知函數(shù)f(x)=x3+3x,(1)求證:函數(shù)f(x)為奇函數(shù);(2)求證:函數(shù)f(x)為增函數(shù)。 解析:(1)略;(2)證明:設(shè)x1 =(x13-x23)+3(x1-x2)=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+3) =(x1-x2)[(x1+x2)2+x22+3)],又由x1 f(x2)<0,則函數(shù)為增函數(shù)。 本題中x12+x22+x1x2+3=(x1+x2)2+x22+3,運(yùn)用配方再判號。 (二)解決二次函數(shù)問題 例5:已知向量=(-3,2),=(2,1),=(3,-1),t∈R. (1)求|+t |的最小值及相應(yīng)的t值;若-t 與共線,求實(shí)數(shù)t. 解析:因?yàn)?(-3,2),=(2,1),所以+t = (-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t),所以|+t|===≥=。 當(dāng)且僅當(dāng)t=時取等號,即|+t |的最小值為,此時t=。 (2)略。 本題中=,這樣通過配方解決了二次函數(shù)問題,而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最廣泛的函數(shù)之一。 配方時可先將二次項(xiàng)和一次項(xiàng)組合并提取二次項(xiàng)系數(shù),再配出一次項(xiàng)系數(shù)的一半,最后考慮常數(shù)項(xiàng)。如ax2+bx+c=a(x2+x)+c=a(x+)2+c-,這里“”和“c-”是出錯率較高的地方,運(yùn)算時我們應(yīng)及時驗(yàn)算是否有誤。 四、通分的逆運(yùn)算 通分的逆運(yùn)算則是將一個分式用除法的分配律,分成幾個整式或分式的和。比較典型的有分離常數(shù),可以降低分子的次數(shù)。 例6:求下列函數(shù)的值域:(1)y=;(2)y=;(3)y=。 分析:(1)y===3-,將分子分母一次型轉(zhuǎn)換為反比例函數(shù)模型。(2)y==2x+-2,化為雙勾函數(shù)。分子二次分母一次的,也可用此法轉(zhuǎn)換為其他函數(shù)解決。當(dāng)然,函數(shù)y==2x--2,可以直接利用函數(shù)單調(diào)遞增來研究。(3)y===2-,這種分離常數(shù)的做法,將分子分母二次型轉(zhuǎn)換為分子一次型考慮,令3x+1=t,即可轉(zhuǎn)換為上一類題型。 這類問題,很多學(xué)生的困惑在于不知道這種運(yùn)算能降低分子的次數(shù),從而將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換為我們熟悉的基本函數(shù)。當(dāng)我們熟練掌握這一技巧,遇到這樣的分式函數(shù),就有信心順利地解決。 五、攻克運(yùn)算難關(guān)方法 以上是筆者對高中數(shù)學(xué)中幾種易錯代數(shù)運(yùn)算應(yīng)用的理解,在教學(xué)過程中,我們又該如何攻克這些運(yùn)算難關(guān)呢? (一)專題例談各種基本運(yùn)算 通過上述舉例,學(xué)生對這些基本運(yùn)算的作用有了初步了解,懂得恰當(dāng)運(yùn)用這些運(yùn)算是成功解決數(shù)學(xué)問題的首要步驟。高一、高二應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容局部舉例,高三可采取專題例談各種高中易錯基本運(yùn)算。 (二)設(shè)計專項(xiàng)訓(xùn)練 對高一、高二學(xué)生而言,新學(xué)內(nèi)容更需要知道這些運(yùn)算所起的作用,針對學(xué)生易錯情況,做針對性練習(xí)。對高三學(xué)生而言,提高易錯警惕,專項(xiàng)訓(xùn)練,提高解題準(zhǔn)確性和解題速度。 (三)用“細(xì)心”“耐心”和“信心”攻克這些運(yùn)算難關(guān) 對高三學(xué)生增加專題例談各種基本運(yùn)算,在系統(tǒng)地了解到各種基本運(yùn)算的作用后,更能以清晰的思路將大題轉(zhuǎn)化為小題,做針對性訓(xùn)練,查漏補(bǔ)缺。用“細(xì)心” “耐心”和“信心”攻克這些運(yùn)算難關(guān)。 【參考文獻(xiàn)】 [1]張大同.高中代數(shù)解題思路與技巧[M].太原:山西教育出版社,1996. [2]程志國.高中數(shù)學(xué)解題方法[M].北京:氣象出版社,1991. [3]李正興.高中數(shù)學(xué)微專題代數(shù)篇[M].上海:上海社會出版社,2020.