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        小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)算理和算法融合之道

        2022-05-30 23:02:33楊升群
        新課程·上旬 2022年35期
        關(guān)鍵詞:算理融合小學(xué)數(shù)學(xué)

        楊升群

        摘 要:運(yùn)算貫穿了小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,它是所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的基石。離開(kāi)了計(jì)算,數(shù)學(xué)活動(dòng)便成了無(wú)根之木,無(wú)魚(yú)之水。而運(yùn)算教學(xué)的成功與否決定了學(xué)生的運(yùn)算能力的質(zhì)量,其重中之重是如何處理好算理與算法的融合問(wèn)題,算理指的是“為什么這樣計(jì)算的問(wèn)題”,算法指的是“怎么計(jì)算的問(wèn)題”,兩者相輔相成,不可或缺。

        關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué);運(yùn)算教學(xué);算理;算法;融合

        計(jì)算能力作為小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須掌握的基本技能,它的形成主要是讓學(xué)生親身經(jīng)歷算理的探究過(guò)程,深化對(duì)算理的理解,主動(dòng)建構(gòu)算法,達(dá)到解決問(wèn)題目標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)。在運(yùn)算課堂教學(xué)中會(huì)出現(xiàn)兩種極端的現(xiàn)象,一是教師只注重算法的教學(xué),一味地講解或灌輸計(jì)算的方法,卻忽視了對(duì)算理的理解,這樣教學(xué)違背教學(xué)理念和新課改精神;二是毫無(wú)目標(biāo)開(kāi)展算理的探究,忽視適時(shí)對(duì)算法的提煉和歸納,這樣學(xué)生運(yùn)算技能達(dá)不到熟練程度。故此,在課堂教學(xué)實(shí)踐中,教育者探尋算理和算法的融合之道,提高學(xué)生的運(yùn)算技能,刻不容緩。

        一、搭建平臺(tái),支撐算理和算法的融合

        搭建科學(xué)合理的平臺(tái),為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提供腳手架,便于學(xué)生深入探究和體驗(yàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的課堂,教師要根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)和所學(xué)知識(shí)的特點(diǎn),搭建滿足學(xué)生探究和體驗(yàn)的教學(xué)平臺(tái),為實(shí)現(xiàn)算理和算法的融合服務(wù)。

        (一)搭建動(dòng)手操作平臺(tái),探究算理和算法的融合

        1.動(dòng)手操作,感受算理

        教學(xué)“兩位數(shù)減一位數(shù)(退位)減法”,創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉而又喜歡的場(chǎng)景:熊大撿了23顆堅(jiān)果,熊二撿了5顆堅(jiān)果。鼓勵(lì)學(xué)生提出用減法計(jì)算的問(wèn)題“熊大比熊二多撿多少顆堅(jiān)果?”后,列式23-5=?低年級(jí)學(xué)生思維主要是以具體形象為主,對(duì)于抽象化的數(shù)字計(jì)算通過(guò)單純的講解,無(wú)法讓所有的學(xué)生理解算理,需要?jiǎng)?chuàng)建動(dòng)手操作的平臺(tái)。為了幫助學(xué)生直觀表達(dá)計(jì)算過(guò)程,教師可引導(dǎo)學(xué)生用一根“小棒”代表一顆“堅(jiān)果”,通過(guò)擺小棒的方法,嘗試計(jì)算,邊擺邊說(shuō)說(shuō)你是怎么算的?

        學(xué)生是這樣描述計(jì)算過(guò)程的:①23根小棒中,我先拿走單獨(dú)的3根,再拆開(kāi)一捆,從10根里再拿走2根,剩余8根,再和10根合起來(lái)就是18根;②23根小棒拆開(kāi)一捆,從10根里面拿走5根,剩余5根,再和13根合起來(lái)就是18根;③23根小棒沒(méi)有單獨(dú)的5根,拆開(kāi)一捆和單獨(dú)的3根合起來(lái)13根,從13根里面拿走5根。剩余8根,再和10根合起來(lái)就是18根。

        動(dòng)手?jǐn)[小棒的過(guò)程就是算理在腦海里呈現(xiàn)的過(guò)程,學(xué)生表達(dá)的過(guò)程就是學(xué)生思維從抽象思維向形象思維過(guò)渡的過(guò)程。此過(guò)程讓學(xué)生在潛意識(shí)里經(jīng)歷了算理認(rèn)知過(guò)程,初步感受算理,為進(jìn)一步探究做好鋪墊。

        2.比較共性,直擊核心

        呈現(xiàn)算理多樣化的基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察不同擺法的直觀圖:三個(gè)學(xué)生擺法不同,但他們都做了同樣的一件事(都要拆開(kāi)其中的一捆),這是什么呢?通過(guò)學(xué)生集思廣益,產(chǎn)生思維的共鳴:無(wú)論用哪種擺法,單獨(dú)的3根小棒總是不夠,必需拆開(kāi)其中的一捆變十根,從中再拿出相應(yīng)的小棒。讓學(xué)生感受到異中有同,同中有異,在存異求同的過(guò)程中直擊核心問(wèn)題,詮釋算理。

        3.歸納概括,提煉算法

        當(dāng)堂練習(xí)活動(dòng)35-8=,42-6=,并讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)你是怎么算的?引導(dǎo)練習(xí)題與例題算理和算法的比較,歸納概括,提煉算法。學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程,對(duì)計(jì)算法則的歸納和提煉,水到渠成,完美實(shí)現(xiàn)算理和算法的融合。

        (二)搭建自主探究平臺(tái),構(gòu)建算理和算法的融合

        教師在教學(xué)中搭建學(xué)習(xí)自主探究的平臺(tái),引導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用自己的生活經(jīng)驗(yàn)和原有的知識(shí)能力探究算理,多元化理解算理內(nèi)涵,起到事半功倍的效果。以學(xué)習(xí)五年級(jí)數(shù)學(xué)“小數(shù)加減法”為例。

        1.自主探索,構(gòu)建算理初衷

        教師出示例題情境圖:小明買了一本講義夾用了4.75元,小麗買了一個(gè)筆記本用了3.4元。鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題:小明和小麗一共用了多少錢?后列出算式“4.75+3.4=?”教師先引導(dǎo)學(xué)生估一估:明確和的區(qū)間在7~9之間。根據(jù)解決問(wèn)題的需要驅(qū)動(dòng):你能想辦法計(jì)算4.75+3.4的和嗎?在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下,學(xué)生主動(dòng)嘗試用自己的生活經(jīng)驗(yàn)和原有的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算,出現(xiàn)以下幾種情況:

        2.借助經(jīng)驗(yàn),尋找算理本質(zhì)

        針對(duì)課堂的生成,組織學(xué)生交流:你覺(jué)得哪種方法計(jì)算結(jié)果正確,哪種計(jì)算方法是錯(cuò)誤的?并說(shuō)明理由,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)批判意識(shí)。

        第3種方法計(jì)算是正確的,把4.75元看作4元7角5分,把3.4元看作3元4角,這樣5分與0分相加是5分,7角與4角相加11角,4元與3元相加再加上進(jìn)的1元是8元,得到8元1角5分,所以和是8.15元。(2)把4.75看作4個(gè)1,7個(gè)0.1和5個(gè)0.01,把3.4看作3個(gè)1和4個(gè)0.1,4.75的百分位0.05和3.4百分位沒(méi)有相加,百分位還是0.05,0.7與0.4相加得1.1,4與3相加得7,最后和是8.15。這樣學(xué)生利用自己的經(jīng)驗(yàn)和原有的知識(shí)進(jìn)行說(shuō)理,尋找加法計(jì)算算理的本質(zhì),加深對(duì)算理的理解。

        3.反向驗(yàn)證,鞏固算理理解

        證明一種方法是否正確、可行,可通過(guò)反向思維驗(yàn)證。說(shuō)說(shuō)這兩種方法錯(cuò)誤的原因:數(shù)位不同,也就是兩個(gè)不同的計(jì)數(shù)單位不能直接相加。這樣加深學(xué)生對(duì)算理的理解。追問(wèn):為什么數(shù)位相同才能相加?經(jīng)過(guò)學(xué)生的交流和討論得到:數(shù)位相同,計(jì)數(shù)單位也就相同,只有計(jì)數(shù)單位相同才能相加減。

        二、立足情境,溝通優(yōu)化,馭法于理

        小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)的學(xué)習(xí)來(lái)源于生活,服務(wù)于生活,教師立足情境開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng),從學(xué)生的生活經(jīng)歷出發(fā)探究算理,溝通算理和算法的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)算理和算法的融合。以教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)和筆算”為例。

        (一)應(yīng)用情境,嘗試計(jì)算

        教師創(chuàng)設(shè)情境圖:教師夫妻二人邀請(qǐng)10個(gè)朋友看電影,每張電影票24元。讓根據(jù)信息提出數(shù)學(xué)問(wèn)題:購(gòu)買電影票一共需要多少元錢?并列出算式24×12=?引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合情境圖,通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、圈一圈等方法嘗試計(jì)算。

        匯報(bào)以下幾種情況:

        (1)平均分的方法:把看電影的12人平均分成2組,每6人為一份,24×6×2=288;也可以把12人分成3組,每4人為一組24×4×3=288。

        (2)先分后合的方法:把12人分成5人和7人,先算5人購(gòu)票需要的錢數(shù),再算7購(gòu)票需要的錢數(shù),再合起來(lái)24×5+24×7;可以把12人分成9人和3人,先算9人購(gòu)票需要的錢數(shù),再算3人購(gòu)票需要的錢數(shù),再合起來(lái)24×9+24×3;還可以把12人分成教師夫妻2人和10個(gè)客人,先算教師夫妻2人購(gòu)票需要的錢數(shù),再算10個(gè)客人購(gòu)票需要的錢數(shù),再合起來(lái)24×2+24×10等。

        (二)立足情境,溝通優(yōu)化

        如果一味追求算法多樣化,沒(méi)有對(duì)多樣化和策略進(jìn)行必要的比較和優(yōu)化,容易誤導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行低層次的重復(fù),阻礙學(xué)生的思維發(fā)展,與新課改理念相悖。質(zhì)疑:這么多的方法,哪種方法最理想呢?面對(duì)質(zhì)疑學(xué)生產(chǎn)生思維波動(dòng)。我們可以先分類,再優(yōu)化算法。

        (1)優(yōu)化先分后合法:你更喜歡哪種分法?說(shuō)明你的理由。生A:把購(gòu)票12人分成教師夫妻2人和10個(gè)客人,先算教師夫妻2人購(gòu)票需要的錢數(shù),再算10個(gè)客人購(gòu)票需要的錢數(shù),再合起來(lái)這種方法,因?yàn)榉殖梢粋€(gè)一位數(shù)和一個(gè)整十?dāng)?shù)計(jì)算可以通過(guò)口算就能得出結(jié)果。生B:因?yàn)?4×2能口算,24×10也能口算。得到學(xué)生的一致認(rèn)可后,繼續(xù)優(yōu)化方法。

        (2)優(yōu)化“平均分”法和“先分后合”法:在交流的過(guò)程中有的說(shuō)“先分后合”法好,因?yàn)檎當(dāng)?shù)好算,有的說(shuō)“平均分”法好,因?yàn)槠骄址椒ǜ?jiǎn)單。兩種觀點(diǎn)處在焦灼的狀態(tài),此時(shí)教師的引導(dǎo)作用顯得至關(guān)重要,教師相機(jī)追問(wèn):是不是所有的兩位數(shù)都能平均分呢?在此情境中,學(xué)生的思維得到發(fā)散,逐漸向深度思考問(wèn)題。接著舉例說(shuō)明,遇到像13、17、19、23(質(zhì)數(shù))等不能平均分,但這些數(shù)能拆開(kāi)一個(gè)整十?dāng)?shù)和一個(gè)一位數(shù),運(yùn)用“先分后合”法計(jì)算更好。這樣讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程,體會(huì)算法的廣泛性和普遍適用性。

        (3)優(yōu)化豎式:學(xué)生感受到運(yùn)用“先分后合”方法的優(yōu)越性后,讓學(xué)生獨(dú)立嘗試列豎式計(jì)算24×12,學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下三種不同的情況。

        教師呈現(xiàn)以上三種方法,引導(dǎo)學(xué)生比較,你喜歡哪一種方法,不喜歡哪種方法?為什么?

        生A:第2種方法好,因?yàn)樗人?4×2=48表示2人購(gòu)票需要的錢數(shù),再算24×10=240表示10人購(gòu)票需要的錢數(shù),再算48+240=288表示12人購(gòu)票需要的錢數(shù)。不喜歡第1種方法,因?yàn)榭床怀鏊?jì)算的過(guò)程;生B:第3種方法比第2種方法更簡(jiǎn)單,這里的24×10得240,把2寫在百位上,把4寫在十位上,就可以表示240,所以第2種方法240末尾的0可以省略。

        (三)建立聯(lián)系,馭法于理

        在學(xué)生充分溝通優(yōu)化的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系豎式與橫式和情境圖之間的聯(lián)系,師:通過(guò)剛才我們探究,你能結(jié)合情境圖和橫式說(shuō)說(shuō)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算過(guò)程嗎?

        在此過(guò)程中,情境、算理和算法相互溝通融合,直觀形象,算理清,算法明,體現(xiàn)運(yùn)算教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)揮的巨大價(jià)值。

        三、任務(wù)驅(qū)動(dòng),探索法后藏理的內(nèi)涵

        學(xué)生學(xué)習(xí)新的計(jì)算法則,有的是憑自己的猜測(cè),有的是自學(xué)的,有的是從課外輔導(dǎo)班學(xué)到的。這樣的學(xué)習(xí)是知其然,不知其所以然的,運(yùn)算教學(xué)教師可以運(yùn)用任務(wù)驅(qū)動(dòng)策略,引導(dǎo)學(xué)生探究法后藏理的內(nèi)涵。

        (一)任務(wù)驅(qū)動(dòng),激發(fā)情感體驗(yàn)

        教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘法”教師提出問(wèn)題:×=?,學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)知道×=,你能想辦法證明×=嗎?并在小組里交流。通過(guò)“證明”這一任務(wù)驅(qū)動(dòng),激發(fā)學(xué)生的情感體驗(yàn),學(xué)生能向更深層次進(jìn)行思考,使學(xué)生進(jìn)入深層次學(xué)習(xí)。

        (二)辨析溝通,明確算法依托

        經(jīng)過(guò)小組交流,學(xué)生能從多角度驗(yàn)證:

        1.從分?jǐn)?shù)意義入手,數(shù)形結(jié)合

        通過(guò)交流發(fā)現(xiàn),這種數(shù)形結(jié)合的方法,都是先畫(huà)個(gè)圖表示單位1,再分一分,找到,再分一分,找到的,也就是,都是把單位“1”平均分成8份,這個(gè)分母8都是通過(guò)4×2得到的。這幾種方法本質(zhì)是一樣的,只是方式不同而已。

        2.多元互化融合,支撐算法貫通

        ×=1÷2÷4=0.125=

        ×=0.5×0.25=0.125=

        運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的思想方法,證明推理的合理性,利用新知還原舊知,開(kāi)辟思維新天地。這樣不僅能讓學(xué)生掌握算法,也能理解算法背后蘊(yùn)藏算理的內(nèi)涵,擺脫運(yùn)算教學(xué)枯燥無(wú)味的標(biāo)簽,使運(yùn)算教學(xué)更富有生命力。

        四、建立算理和算法本質(zhì)體系,整體把握內(nèi)在聯(lián)系

        (一)承上啟下,建立加減法算理的本質(zhì)聯(lián)系

        小數(shù)加減法與整數(shù)加減法在算法上有共通性,列豎式的時(shí)候都是相同數(shù)位對(duì)齊,從低位算起,滿十進(jìn)一,其算理的本質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位才能相加減,起到承上的作用。異分母分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法進(jìn)行比較:計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)相加減都需要先通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù),其目的就是把不同分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化成相同計(jì)數(shù)單位,算理的本質(zhì)與整數(shù)和小數(shù)加減法相同:相同計(jì)數(shù)單位才能相加減。

        (二)適可而止,建立整數(shù)多位數(shù)乘法算理的聯(lián)系

        教學(xué)“三位數(shù)乘兩位的筆算”時(shí),教師在探究算理,總結(jié)算法后,拓展延伸環(huán)節(jié)“□□□…×□□□…”你還會(huì)算嗎?為什么也可以這樣算呢?猜猜多位數(shù)乘多位數(shù)我們將來(lái)還學(xué)嗎?為什么不學(xué)了呢?通過(guò)充分表達(dá)學(xué)或不學(xué)的道理后,明確其算理是一致的,構(gòu)建整數(shù)乘法運(yùn)算算理與算法的框架。

        參考文獻(xiàn):

        [1]王國(guó)宏.探索根源之道,滋潤(rùn)理性之思[J].教學(xué)研究,2019(1).

        [2]徐國(guó)裕,一位特級(jí)教師的專題式引領(lǐng)[M].福州:福建人民出版社,2018.

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