楊升群

摘 要：運(yùn)算貫穿了小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，它是所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的基石。離開(kāi)了計(jì)算，數(shù)學(xué)活動(dòng)便成了無(wú)根之木，無(wú)魚(yú)之水。而運(yùn)算教學(xué)的成功與否決定了學(xué)生的運(yùn)算能力的質(zhì)量，其重中之重是如何處理好算理與算法的融合問(wèn)題，算理指的是“為什么這樣計(jì)算的問(wèn)題”，算法指的是“怎么計(jì)算的問(wèn)題”，兩者相輔相成，不可或缺。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);運(yùn)算教學(xué);算理;算法;融合

計(jì)算能力作為小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須掌握的基本技能，它的形成主要是讓學(xué)生親身經(jīng)歷算理的探究過(guò)程，深化對(duì)算理的理解，主動(dòng)建構(gòu)算法，達(dá)到解決問(wèn)題目標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)。在運(yùn)算課堂教學(xué)中會(huì)出現(xiàn)兩種極端的現(xiàn)象，一是教師只注重算法的教學(xué)，一味地講解或灌輸計(jì)算的方法，卻忽視了對(duì)算理的理解，這樣教學(xué)違背教學(xué)理念和新課改精神;二是毫無(wú)目標(biāo)開(kāi)展算理的探究，忽視適時(shí)對(duì)算法的提煉和歸納，這樣學(xué)生運(yùn)算技能達(dá)不到熟練程度。故此，在課堂教學(xué)實(shí)踐中，教育者探尋算理和算法的融合之道，提高學(xué)生的運(yùn)算技能，刻不容緩。

一、搭建平臺(tái)，支撐算理和算法的融合

搭建科學(xué)合理的平臺(tái)，為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提供腳手架，便于學(xué)生深入探究和體驗(yàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的課堂，教師要根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)和所學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)，搭建滿足學(xué)生探究和體驗(yàn)的教學(xué)平臺(tái)，為實(shí)現(xiàn)算理和算法的融合服務(wù)。

（一）搭建動(dòng)手操作平臺(tái)，探究算理和算法的融合

1.動(dòng)手操作，感受算理

教學(xué)“兩位數(shù)減一位數(shù)（退位）減法”，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉而又喜歡的場(chǎng)景：熊大撿了23顆堅(jiān)果，熊二撿了5顆堅(jiān)果。鼓勵(lì)學(xué)生提出用減法計(jì)算的問(wèn)題“熊大比熊二多撿多少顆堅(jiān)果？”后，列式23-5=？低年級(jí)學(xué)生思維主要是以具體形象為主，對(duì)于抽象化的數(shù)字計(jì)算通過(guò)單純的講解，無(wú)法讓所有的學(xué)生理解算理，需要?jiǎng)?chuàng)建動(dòng)手操作的平臺(tái)。為了幫助學(xué)生直觀表達(dá)計(jì)算過(guò)程，教師可引導(dǎo)學(xué)生用一根“小棒”代表一顆“堅(jiān)果”，通過(guò)擺小棒的方法，嘗試計(jì)算，邊擺邊說(shuō)說(shuō)你是怎么算的？

學(xué)生是這樣描述計(jì)算過(guò)程的：①23根小棒中，我先拿走單獨(dú)的3根，再拆開(kāi)一捆，從10根里再拿走2根，剩余8根，再和10根合起來(lái)就是18根;②23根小棒拆開(kāi)一捆，從10根里面拿走5根，剩余5根，再和13根合起來(lái)就是18根;③23根小棒沒(méi)有單獨(dú)的5根，拆開(kāi)一捆和單獨(dú)的3根合起來(lái)13根，從13根里面拿走5根。剩余8根，再和10根合起來(lái)就是18根。

動(dòng)手?jǐn)[小棒的過(guò)程就是算理在腦海里呈現(xiàn)的過(guò)程，學(xué)生表達(dá)的過(guò)程就是學(xué)生思維從抽象思維向形象思維過(guò)渡的過(guò)程。此過(guò)程讓學(xué)生在潛意識(shí)里經(jīng)歷了算理認(rèn)知過(guò)程，初步感受算理，為進(jìn)一步探究做好鋪墊。

2.比較共性，直擊核心

呈現(xiàn)算理多樣化的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察不同擺法的直觀圖：三個(gè)學(xué)生擺法不同，但他們都做了同樣的一件事（都要拆開(kāi)其中的一捆），這是什么呢？通過(guò)學(xué)生集思廣益，產(chǎn)生思維的共鳴：無(wú)論用哪種擺法，單獨(dú)的3根小棒總是不夠，必需拆開(kāi)其中的一捆變十根，從中再拿出相應(yīng)的小棒。讓學(xué)生感受到異中有同，同中有異，在存異求同的過(guò)程中直擊核心問(wèn)題，詮釋算理。

3.歸納概括，提煉算法

當(dāng)堂練習(xí)活動(dòng)35-8=，42-6=，并讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)你是怎么算的？引導(dǎo)練習(xí)題與例題算理和算法的比較，歸納概括，提煉算法。學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程，對(duì)計(jì)算法則的歸納和提煉，水到渠成，完美實(shí)現(xiàn)算理和算法的融合。

（二）搭建自主探究平臺(tái)，構(gòu)建算理和算法的融合

教師在教學(xué)中搭建學(xué)習(xí)自主探究的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用自己的生活經(jīng)驗(yàn)和原有的知識(shí)能力探究算理，多元化理解算理內(nèi)涵，起到事半功倍的效果。以學(xué)習(xí)五年級(jí)數(shù)學(xué)“小數(shù)加減法”為例。

1.自主探索，構(gòu)建算理初衷

教師出示例題情境圖：小明買了一本講義夾用了4.75元，小麗買了一個(gè)筆記本用了3.4元。鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題：小明和小麗一共用了多少錢？后列出算式“4.75+3.4=？”教師先引導(dǎo)學(xué)生估一估：明確和的區(qū)間在7～9之間。根據(jù)解決問(wèn)題的需要驅(qū)動(dòng)：你能想辦法計(jì)算4.75+3.4的和嗎？在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生主動(dòng)嘗試用自己的生活經(jīng)驗(yàn)和原有的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，出現(xiàn)以下幾種情況：

2.借助經(jīng)驗(yàn)，尋找算理本質(zhì)

針對(duì)課堂的生成，組織學(xué)生交流：你覺(jué)得哪種方法計(jì)算結(jié)果正確，哪種計(jì)算方法是錯(cuò)誤的？并說(shuō)明理由，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)批判意識(shí)。

第3種方法計(jì)算是正確的，把4.75元看作4元7角5分，把3.4元看作3元4角，這樣5分與0分相加是5分，7角與4角相加11角，4元與3元相加再加上進(jìn)的1元是8元，得到8元1角5分，所以和是8.15元。（2）把4.75看作4個(gè)1，7個(gè)0.1和5個(gè)0.01，把3.4看作3個(gè)1和4個(gè)0.1，4.75的百分位0.05和3.4百分位沒(méi)有相加，百分位還是0.05，0.7與0.4相加得1.1，4與3相加得7，最后和是8.15。這樣學(xué)生利用自己的經(jīng)驗(yàn)和原有的知識(shí)進(jìn)行說(shuō)理，尋找加法計(jì)算算理的本質(zhì)，加深對(duì)算理的理解。

3.反向驗(yàn)證，鞏固算理理解

證明一種方法是否正確、可行，可通過(guò)反向思維驗(yàn)證。說(shuō)說(shuō)這兩種方法錯(cuò)誤的原因：數(shù)位不同，也就是兩個(gè)不同的計(jì)數(shù)單位不能直接相加。這樣加深學(xué)生對(duì)算理的理解。追問(wèn)：為什么數(shù)位相同才能相加？經(jīng)過(guò)學(xué)生的交流和討論得到：數(shù)位相同，計(jì)數(shù)單位也就相同，只有計(jì)數(shù)單位相同才能相加減。

二、立足情境，溝通優(yōu)化，馭法于理

小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)的學(xué)習(xí)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活，教師立足情境開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)，從學(xué)生的生活經(jīng)歷出發(fā)探究算理，溝通算理和算法的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)算理和算法的融合。以教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)和筆算”為例。

（一）應(yīng)用情境，嘗試計(jì)算

教師創(chuàng)設(shè)情境圖：教師夫妻二人邀請(qǐng)10個(gè)朋友看電影，每張電影票24元。讓根據(jù)信息提出數(shù)學(xué)問(wèn)題：購(gòu)買電影票一共需要多少元錢？并列出算式24×12=？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合情境圖，通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、圈一圈等方法嘗試計(jì)算。

匯報(bào)以下幾種情況：

（1）平均分的方法：把看電影的12人平均分成2組，每6人為一份，24×6×2=288;也可以把12人分成3組，每4人為一組24×4×3=288。

（2）先分后合的方法：把12人分成5人和7人，先算5人購(gòu)票需要的錢數(shù)，再算7購(gòu)票需要的錢數(shù)，再合起來(lái)24×5+24×7;可以把12人分成9人和3人，先算9人購(gòu)票需要的錢數(shù)，再算3人購(gòu)票需要的錢數(shù)，再合起來(lái)24×9+24×3;還可以把12人分成教師夫妻2人和10個(gè)客人，先算教師夫妻2人購(gòu)票需要的錢數(shù)，再算10個(gè)客人購(gòu)票需要的錢數(shù)，再合起來(lái)24×2+24×10等。

（二）立足情境，溝通優(yōu)化

如果一味追求算法多樣化，沒(méi)有對(duì)多樣化和策略進(jìn)行必要的比較和優(yōu)化，容易誤導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行低層次的重復(fù)，阻礙學(xué)生的思維發(fā)展，與新課改理念相悖。質(zhì)疑：這么多的方法，哪種方法最理想呢？面對(duì)質(zhì)疑學(xué)生產(chǎn)生思維波動(dòng)。我們可以先分類，再優(yōu)化算法。

（1）優(yōu)化先分后合法：你更喜歡哪種分法？說(shuō)明你的理由。生A：把購(gòu)票12人分成教師夫妻2人和10個(gè)客人，先算教師夫妻2人購(gòu)票需要的錢數(shù)，再算10個(gè)客人購(gòu)票需要的錢數(shù)，再合起來(lái)這種方法，因?yàn)榉殖梢粋€(gè)一位數(shù)和一個(gè)整十?dāng)?shù)計(jì)算可以通過(guò)口算就能得出結(jié)果。生B：因?yàn)?4×2能口算，24×10也能口算。得到學(xué)生的一致認(rèn)可后，繼續(xù)優(yōu)化方法。

（2）優(yōu)化“平均分”法和“先分后合”法：在交流的過(guò)程中有的說(shuō)“先分后合”法好，因?yàn)檎當(dāng)?shù)好算，有的說(shuō)“平均分”法好，因?yàn)槠骄址椒ǜ?jiǎn)單。兩種觀點(diǎn)處在焦灼的狀態(tài)，此時(shí)教師的引導(dǎo)作用顯得至關(guān)重要，教師相機(jī)追問(wèn)：是不是所有的兩位數(shù)都能平均分呢？在此情境中，學(xué)生的思維得到發(fā)散，逐漸向深度思考問(wèn)題。接著舉例說(shuō)明，遇到像13、17、19、23（質(zhì)數(shù)）等不能平均分，但這些數(shù)能拆開(kāi)一個(gè)整十?dāng)?shù)和一個(gè)一位數(shù)，運(yùn)用“先分后合”法計(jì)算更好。這樣讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程，體會(huì)算法的廣泛性和普遍適用性。

（3）優(yōu)化豎式：學(xué)生感受到運(yùn)用“先分后合”方法的優(yōu)越性后，讓學(xué)生獨(dú)立嘗試列豎式計(jì)算24×12，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下三種不同的情況。

教師呈現(xiàn)以上三種方法，引導(dǎo)學(xué)生比較，你喜歡哪一種方法，不喜歡哪種方法？為什么？

生A：第2種方法好，因?yàn)樗人?4×2=48表示2人購(gòu)票需要的錢數(shù)，再算24×10=240表示10人購(gòu)票需要的錢數(shù)，再算48+240=288表示12人購(gòu)票需要的錢數(shù)。不喜歡第1種方法，因?yàn)榭床怀鏊?jì)算的過(guò)程;生B：第3種方法比第2種方法更簡(jiǎn)單，這里的24×10得240，把2寫在百位上，把4寫在十位上，就可以表示240，所以第2種方法240末尾的0可以省略。

（三）建立聯(lián)系，馭法于理

在學(xué)生充分溝通優(yōu)化的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系豎式與橫式和情境圖之間的聯(lián)系，師：通過(guò)剛才我們探究，你能結(jié)合情境圖和橫式說(shuō)說(shuō)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算過(guò)程嗎？

在此過(guò)程中，情境、算理和算法相互溝通融合，直觀形象，算理清，算法明，體現(xiàn)運(yùn)算教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)揮的巨大價(jià)值。

三、任務(wù)驅(qū)動(dòng)，探索法后藏理的內(nèi)涵

學(xué)生學(xué)習(xí)新的計(jì)算法則，有的是憑自己的猜測(cè)，有的是自學(xué)的，有的是從課外輔導(dǎo)班學(xué)到的。這樣的學(xué)習(xí)是知其然，不知其所以然的，運(yùn)算教學(xué)教師可以運(yùn)用任務(wù)驅(qū)動(dòng)策略，引導(dǎo)學(xué)生探究法后藏理的內(nèi)涵。

（一）任務(wù)驅(qū)動(dòng)，激發(fā)情感體驗(yàn)

教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘法”教師提出問(wèn)題：×=？，學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)知道×=，你能想辦法證明×=嗎？并在小組里交流。通過(guò)“證明”這一任務(wù)驅(qū)動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的情感體驗(yàn)，學(xué)生能向更深層次進(jìn)行思考，使學(xué)生進(jìn)入深層次學(xué)習(xí)。

（二）辨析溝通，明確算法依托

經(jīng)過(guò)小組交流，學(xué)生能從多角度驗(yàn)證：

1.從分?jǐn)?shù)意義入手，數(shù)形結(jié)合

通過(guò)交流發(fā)現(xiàn)，這種數(shù)形結(jié)合的方法，都是先畫(huà)個(gè)圖表示單位1，再分一分，找到，再分一分，找到的，也就是，都是把單位“1”平均分成8份，這個(gè)分母8都是通過(guò)4×2得到的。這幾種方法本質(zhì)是一樣的，只是方式不同而已。

2.多元互化融合，支撐算法貫通

×=1÷2÷4=0.125=

×=0.5×0.25=0.125=

運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的思想方法，證明推理的合理性，利用新知還原舊知，開(kāi)辟思維新天地。這樣不僅能讓學(xué)生掌握算法，也能理解算法背后蘊(yùn)藏算理的內(nèi)涵，擺脫運(yùn)算教學(xué)枯燥無(wú)味的標(biāo)簽，使運(yùn)算教學(xué)更富有生命力。

四、建立算理和算法本質(zhì)體系，整體把握內(nèi)在聯(lián)系

（一）承上啟下，建立加減法算理的本質(zhì)聯(lián)系

小數(shù)加減法與整數(shù)加減法在算法上有共通性，列豎式的時(shí)候都是相同數(shù)位對(duì)齊，從低位算起，滿十進(jìn)一，其算理的本質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位才能相加減，起到承上的作用。異分母分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法進(jìn)行比較：計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)相加減都需要先通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，其目的就是把不同分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化成相同計(jì)數(shù)單位，算理的本質(zhì)與整數(shù)和小數(shù)加減法相同：相同計(jì)數(shù)單位才能相加減。

（二）適可而止，建立整數(shù)多位數(shù)乘法算理的聯(lián)系

教學(xué)“三位數(shù)乘兩位的筆算”時(shí)，教師在探究算理，總結(jié)算法后，拓展延伸環(huán)節(jié)“□□□…×□□□…”你還會(huì)算嗎？為什么也可以這樣算呢？猜猜多位數(shù)乘多位數(shù)我們將來(lái)還學(xué)嗎？為什么不學(xué)了呢？通過(guò)充分表達(dá)學(xué)或不學(xué)的道理后，明確其算理是一致的，構(gòu)建整數(shù)乘法運(yùn)算算理與算法的框架。

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