田鮮麗 張夢思

摘 要：以“生活中的小概率”事件為例，開展中學生數(shù)學學習興趣的策略研究。目的是通過理論聯(lián)系實際，改變中學生的學習現(xiàn)狀，激發(fā)其學習數(shù)學的興趣，讓學生能更深刻地了解小概率事件以及數(shù)學與生活的密切聯(lián)系。培養(yǎng)學生樹立學好數(shù)學、提升自身素養(yǎng)的信念，學會利用知識解決實際問題的能力。

關鍵詞：新課標;小概率事件;學習興趣

新課標指出，普通高中的培養(yǎng)目標是進一步提升學生綜合素質，著力發(fā)展核心素養(yǎng)，使學生具有理想信念和社會責任感，具有科學文化素養(yǎng)和終身學習能力，具有自主發(fā)展能力和溝通合作能力。高中數(shù)學教學應以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內容的本質。在教學中，提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展。

現(xiàn)在的中學生生活條件優(yōu)越，由于社會環(huán)境、就業(yè)壓力對他們的影響，導致學習積極性缺乏、興趣不高，給當今教育帶來嚴重的挑戰(zhàn)，也給中學數(shù)學教師帶來很大的困擾。我們以“生活中的小概率事件”為例給學生開展了一節(jié)實踐課，目的是從新課程核心素養(yǎng)出發(fā)，理論與生活相結合，讓學生感悟到知識來源于生活、回歸于生活，培養(yǎng)學生的學習興趣，好好學習知識，利用知識改變生活。

一、創(chuàng)設情境，了解概率

早在1654年，有一個賭徒梅勒向當時的數(shù)學家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：兩個賭徒約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應該怎么分才合理呢？

概率論產(chǎn)生于17世紀，本來是由保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，“賭博者的請求”卻是數(shù)學家們思考概率論問題的源泉。概率論在生活中無處不在，與我們的生活息息相關。

設計意圖：通過有吸引力的數(shù)學發(fā)展史，讓學生認識到問題是通過科學解決的，同時知識又能改變生活，解決生活中的困惑。

二、理解概念，深化理論

（一）小概率事件的定義

在教育與心理統(tǒng)計中，我們通常將概率小于0.05的事件稱為小概率事件。小概率事件在一次實驗中幾乎是不可能發(fā)生的，但在多次重復實驗中是必然發(fā)生的，我們稱其為小概率原理。

小概率事件又被人們稱作“黑天鵝事件”，可能我們平常未曾注意，其實小概率事件的應用非常廣泛，從商業(yè)到金融市場，再到生活處處都離不開小概率事件?，F(xiàn)實中小概率事件一旦發(fā)生，帶來的影響是無法估量的。理論上小概率事件確實存在并發(fā)生的各種條件和可能性，但小概率事件在實際發(fā)生時的各種可能性寥寥無幾，基本可以忽略不計，不容易引起我們注意。

（二）伯努利大數(shù)定律

所以，小概率事件是不可能發(fā)生的，一旦發(fā)生，產(chǎn)生的影響是很大的，也是超乎想象的。

設計意圖：讓學生認識什么是小概率事件以及小概率事件的理論來源，使學生更進一步把生活與數(shù)學聯(lián)系起來。

三、理論剖析，點燃信心

下面我們通過小概率事件與不可能事件的區(qū)別，進行理論辨析，深入思考，讓星星之火可以燎原，讓一切努力成為可能。燃起學生心中的火苗，讓學生堅定信念，用知識武裝自己。

（一）不可能事件定義

不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。不可能事件的表示方法我們一般用0來表示，不可能事件的概率是0，但我們不可以說概率為0的事件一定是不可能事件。

那么，如何區(qū)分小概率事件和不可能事件呢？下面看一下這兩種事件的區(qū)別及理論推導。

（二）小概率事件與不可能事件的區(qū)別

小概率事件在隨機試驗中出現(xiàn)的可能性幾乎為0。因此對于小概率事件的實際應用方面，也稱為實際不可能事件。下面看它的推導，假設小概率事件A出現(xiàn)的概率為ε>0，用AK來表示“A在第K次隨機試驗中出現(xiàn)”，那我們可以得出以下的結論：

P（AK）=ε，P（AK）=1-ε.

事件A一次都不會發(fā)生的概率為（1-ε）n.

至少出現(xiàn)一次的概率為1-（1-ε）n.

由于ε是一個任意小的正數(shù)，所以有：

我們從上面的分析、推導可以得出：在一次隨機試驗中不可能發(fā)生的事件并不是永遠都不會發(fā)生的，并且結果會隨著我們的試驗次數(shù)的增加，增加到一定的程度后，小概率事件也會發(fā)生。

在日常生活中，人們常把小概率事件視為不可能事件。如果試驗次數(shù)足夠多，小概率事件發(fā)生的次數(shù)也會增多。但是不可能事件是永遠不會發(fā)生的。這就是小概率事件和不可能事件的區(qū)別。生活中我們應區(qū)分小概率事件和不可能事件，同時要學會靈活把控。

設計意圖：通過不可能事件的定義介紹，把小概率事件與不可能事件進行區(qū)分，讓學生意識到小概率事件也是會發(fā)生的，尤其是部分學習成績差的學生，讓他們通過這一理論剖析，開始產(chǎn)生學習的念頭，激發(fā)其學習的熱情。

（三）小概率事件的推斷

根據(jù)伯努利大數(shù)定律，我們記事件A是在n次獨立重復試驗中發(fā)生的，發(fā)生的次數(shù)記為nA，P是隨機事件A發(fā)生在n次試驗中的概率，對于ε<0有：

我們可知事件A發(fā)生的頻率收斂于事件A發(fā)生的概率。假設事件A幾乎不發(fā)生的情況下可知當試驗次數(shù)越來越大時，我們可以用事件A的頻率來代替事件 的概率。當事件A的概率ε很小時，大量重復試驗中事件A出現(xiàn)的頻率也會很小。

只有在重復至少5000次以上的試驗中事件A才會發(fā)生一次。所以小概率事件在一次試驗中實際上是不太可能發(fā)生的，在許多生活與概率問題的研究中，稱可能出現(xiàn)的這種實驗結果為實際不可能事件。實際不可能事件的實驗往往發(fā)生在每一次的試驗過程中或者實際上我們認為根本不可能出現(xiàn)的，這就是所謂的小概率原理。它是一種重要判斷依據(jù)，也是實踐歸納總結并被人們廣泛學習、推廣的基本原理。

小概率原理在我們日常生活中有著廣泛應用，影響著人們的思想和行為。例如，我國福利彩票的發(fā)行，雖然人們都知道中大獎的概率幾乎為0，但仍有很多人去購買。雖然存在有些人是為殘疾人福利事業(yè)奉獻愛心、貢獻力量，但其中最主要的原因還是人們過度期望一個小概率事件能夠在一次隨機試驗事件中發(fā)生的僥幸心理，夢想自己可以中大獎。

設計意圖：通過小概率事件的推斷，讓學生意識到只要有一絲希望，我們就應該拼搏，為了自己的理想和追求，讓一切成為可能，創(chuàng)造奇跡，改變命運。

四、生活中的小概率事件淺析

例1.童年時廟會上總會有這樣的游戲：一個不透明的箱子中裝有20個除了顏色不同其他都相同的球，其中有10個紅色的球、10個黑色的球，當小朋友從不透明箱子中隨機抽取10個球，對應的懲罰和獎勵如表1。

注意：表格中正數(shù)為獎勵的錢，負數(shù)為懲罰的錢。

從表1中的獎勵錢數(shù)和懲罰的錢數(shù)來看，這個游戲還是很吸引人的，畢竟結果中5種都是獎勵錢，只有一個懲罰了3元，涉及的金額也不大，很容易吸引小朋友去玩，但其實贏的機會很小。學過概率統(tǒng)計的數(shù)學知識后我們知道，這其實是不放回隨機取樣的古典概型。我們得到的所有結果總共是923780種可能。我們來算一下獎勵和懲罰的概率，然后可以算出盈虧，就知道為什么看起來是個虧本的生意卻賺錢了。

從這20個球中任取10個，所有事件可能導致的概率的隨機結果一共有923780種，樣本空間是固定的。我們通過概率的公式和計算，很容易就得到了上述這5種計算結果，其所對應的概率系數(shù)分別是：

我們不妨做一個實驗，假設進行了1000次摸球試驗，6種情況平均出現(xiàn)的次數(shù)分別為：0，0，4，250，95，68次，經(jīng)營游戲者預期可得：

3×250-（10×0+3×0+1×4+0.5×95+0.2×68）=684.9

這個結果是不是讓人出乎意料，它開出的中獎概率竟然只有0.000002。我們經(jīng)常會聽到新聞中報道某網(wǎng)點有人買彩票中了幾百萬。學過概率知識的人都知道，中彩票的概率是非常低的，純屬小概率事件。所以中大獎的可能性非常小。但是，當買彩票的人多的時候，總有一個人會中獎，這也就是為什么中獎的可能性微乎其微但還是有人喜歡買彩票的原因，畢竟誰也說不準這個小概率可能會輪到自己。

小概率事件原理的應用最經(jīng)典的就是保險公司推薦的產(chǎn)品。買保險的時候我們知道用到它的可能性微乎其微，但是我們還是要堅持買下適合自己的保險以防萬一。小概率事件不是不可能事件，我們要在尊重現(xiàn)實和法規(guī)的情況下，將損失降到最小，維護自身權益。

設計意圖：讓學生辯證地看待問題，學會運用有利于自身發(fā)展的知識工具，不要貪圖小利而失大義。要合理地利用知識來規(guī)避風險，讓一切朝著更有利于自身發(fā)展的方向發(fā)展。

例2.您是否聽

說過墨菲定律？愛德華·墨菲是英國的一名飛機工程師，1949年在第一次參加美國空軍轟炸機的最后一次飛行實驗中測定出人類飛機對加速度的最大承受能力。本試驗是將16個火箭加速器懸空地裝載于試驗者飛機的尾翼上面，火箭加速器有上、下兩種固定加速方式，但是一件令人感覺很不可思議的事情突然發(fā)生在了這次實驗中，有人居然能同時將這16個火箭加速器全部裝錯了位置，于是墨菲根據(jù)這件事說了這樣一句話“有可能出錯的事情，就會出錯”。很快，這句話就被人們傳播開了，被人們稱為墨菲定律。它闡述了偶然中的必然性，和小概率事件原理有著異曲同工之妙。

在數(shù)理概率統(tǒng)計中，有一條特別重要的概率統(tǒng)計基本規(guī)律：假設某一類意外事件發(fā)生在下一次實驗事件（活動）過程中發(fā)生一次的概率為P（P>0），則在n次實驗（活動）中至少會發(fā)生一次的概率為P=1-（1-P）n，由此可見，當實驗次數(shù)n增大到一定的程度的時候，P會越來越接近于1，即它會成為一個必然事件。

設計意圖：通過小概率事件在科技試驗與環(huán)境的發(fā)展中的存在現(xiàn)象，讓學生認識到學習知識的嚴謹和防控，做任何事都不能存在僥幸心理，學習也是如此，要做到不輕視任何學科、任何知識點，要認真學習、掌握。

例3.“和平精英”游戲。地圖中有100個人，他們在地圖各處收集物資進行槍戰(zhàn)，可以4人組隊，也可以2人組隊和1人組隊，在4人組隊中，我們假設每個隊伍都是4人且沒人退出游戲，那么整局游戲就有25個隊伍，對于玩家來說，“吃雞”才會獲得最后的勝利，如果一個隊伍想要獲得勝利，他們一天打了20局，那么他們想要獲得勝利的幾率是多少呢？計算可知為：P=≈0.002.

而0.002是小于0.05的，可見也是一個小概率事件。

設計意圖：通過網(wǎng)絡游戲讓學生認識這些只是娛樂的方式，絕不能因此耽誤學習和生活。相信科學，只有通過辛勤勞動和學習知識才能武裝自己，增強自己的實力。希望學生不要沉迷于游戲，課余時間多鍛煉身體、多閱讀經(jīng)典著作，拓寬自己的視野，做一個積極向上、有活力、有理想的青年。樹立信念，培養(yǎng)社會責任感，不斷探索，為家庭的幸福、父母的期望和祖國的繁榮而拼搏。

五、總結

數(shù)學與生活密切相關，無處不在。通過上面的案例我們可以看出小概率事件時刻圍繞在我們身邊，廣泛應用在生產(chǎn)、生活、經(jīng)濟等方面，希望我們了解并掌握小概率事件。讓它帶給我們更多的驚喜！讓我們利用數(shù)學知識做出合理決策，學好數(shù)學知識，提高自身素養(yǎng)，利用知識創(chuàng)造美好未來。

六、反思

通過本次實踐課，學困生開始低下頭，表情凝重，但有股即將爆發(fā)的內驅力。從家長的反饋來看，他們回家后開始主動參與集體活動，幫助干家務，主動看書、做作業(yè)。成績中等的學生更是表現(xiàn)出色。班級學習氛圍一下好了很多，教室里有了朗朗的讀書聲，學生你爭我趕，個個都奮勇拼搏，唯恐落后，這就是新課程的魅力。新理念、新教法有效地激發(fā)了學生的動力。中學數(shù)學教師應不斷探索新課程核心素養(yǎng)，努力培養(yǎng)中學生的學習興趣和愛好，使他們成為有擔當、有理想、有信念的新時代中國特色社會主義接班人。

參考文獻：

[1]茆詩松，程依明，蒲小龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]張朝霞，吳杰.日常生活中的小概率事件[J].太原師范學院學報（自然科學版），2006（4）：61-63.

[3]李昀鴻.小概率事件的原理及應用[J].科技資訊，2016（16）：168-170.

作者簡介：田鮮麗（1976—），女，漢族，首都師范大學教育碩士，中學高級教師，河南省骨干教師，駐馬店市學科技術帶頭人，研究方向：拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的探究課程構建。

張夢思（1998—），女，漢族，本科，畢業(yè)于商丘師范學院，就職于東莞市萬江長鴻學校，研究方向：探究式教學。