【摘 要】 數(shù)學(xué)史是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要依托，以教育目標(biāo)分類學(xué)（修訂版）為理論依據(jù)，從學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平、知識分類以及數(shù)學(xué)史在教材中的主要滲透特征三個維度構(gòu)建了高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容對比研究的框架. 基于本框架對新人教A版高中數(shù)學(xué)必修冊和北師版高中數(shù)學(xué)必修冊教材中數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了對比研究. 結(jié)果顯示：二者在總體數(shù)量方面相差不大;在認(rèn)知水平和知識分類兩個維度的史實分布特征具有較強(qiáng)的一致性;在主要滲透特征方面二者呈現(xiàn)出一定的差異性. 為教師教學(xué)提出以下幾點建議：（1）引導(dǎo)學(xué)生以史料為背景進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作，提高學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平;（2）前置“數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)任務(wù)清單”，以興趣引領(lǐng)學(xué)生主動認(rèn)知;（3）史實材料的選取要兼顧“德育”和“智育”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)史;高中數(shù)學(xué);教材對比

1 問題提出

隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)文化的育人價值被逐漸挖掘. 2003年，我國首次將數(shù)學(xué)文化納入普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1]，這意味著數(shù)學(xué)文化已經(jīng)受到數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注. 數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的有機(jī)組成部分，是學(xué)生了解數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展脈絡(luò)、體會數(shù)學(xué)文化屬性的重要依托，而教科書作為教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的主要載體，是開展數(shù)學(xué)史實學(xué)習(xí)的重要資源. 2019年，我國部分地區(qū)開始率先使用依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》編寫的新版高中數(shù)學(xué)教材，按照教育部“同綱異構(gòu)”的教材編寫原則，各版本教材在數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選擇和編排上存在著一定的差異.

對數(shù)學(xué)史在各版本教材中的選擇和編排進(jìn)行研究，不僅有利于總結(jié)教材編寫經(jīng)驗，為今后的教材編寫提供借鑒，而且對于教師把握教材、體會教育理念的轉(zhuǎn)變有著重要的指導(dǎo)意義. 通過對文獻(xiàn)進(jìn)行研讀，筆者發(fā)現(xiàn)已進(jìn)行的數(shù)學(xué)史對比研究多從數(shù)學(xué)史在教科書中的內(nèi)容類型、內(nèi)容來源、呈現(xiàn)視角等方面進(jìn)行探索和比較[2][3][4]，而從學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平和知識分類這兩個角度的研討較少. 本研究從數(shù)學(xué)史在教科書中的主要滲透特征、學(xué)生對數(shù)學(xué)史的認(rèn)知水平以及知識分類三個維度構(gòu)建了高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容對比研究的框架，以期為廣大數(shù)學(xué)教育工作者提供參考，對不同版本高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行廣泛對比研究，為教師的史實教學(xué)提供建設(shè)性意見. 2 三維框架構(gòu)建

2.1 理論依據(jù)

《布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué)（修訂版）分類學(xué)視野下的學(xué)與教及其測評》[5]（以下簡稱《修訂版》）是對Lorin W.Anderson和David R.Krathwohl等人所編寫的《教育目標(biāo)分類學(xué)：認(rèn)知領(lǐng)域》一書的修訂和完善. 《修訂版》將原認(rèn)知框架修改為知識和認(rèn)知過程兩個維度，知識維度劃分為事實性、概念性、程序性、元認(rèn)知知識四個類別;認(rèn)知過程劃分為記憶/回憶、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造六個類別，每一類別又劃分為2～7個不等的亞類共30個. 應(yīng)該說《修訂版》作為當(dāng)今完善程度最高、適用范圍最廣的教育目標(biāo)分類理論之一，為教育科研人員提供了良好的理論研究框架，同時也為一線教師的教學(xué)實踐提供了操作指引和理論支撐;但高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容有限、涉及范圍較窄，過細(xì)的類別劃分對于《修訂版》在數(shù)學(xué)史領(lǐng)域的應(yīng)用是十分困難的. 布盧姆曾提出：“每個領(lǐng)域都應(yīng)該有符合該領(lǐng)域?qū)嶋H特征的目標(biāo)分類系統(tǒng)，它更詳細(xì)，更接近于該領(lǐng)域的語言符號系統(tǒng)和問題思維方式，因此，在合適的情況下，它可以具有新的類別及類別的合并與刪除.”因此，將原分類系統(tǒng)進(jìn)行整合與刪除后，其在數(shù)學(xué)史領(lǐng)域的可操作性可能會更強(qiáng). 2.2 框架建構(gòu)2.2.1 從學(xué)習(xí)者認(rèn)知水平的角度

1.了解與記憶史實

對于數(shù)學(xué)教科書中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實內(nèi)容了解和記憶即可： 無需通過任何形式和手段（如通過查閱資料對其進(jìn)行歸納、總結(jié)與拓展）對史實材料進(jìn)行加工，僅以閱讀的形式進(jìn)行認(rèn)知;不涉及數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用. 一般來講，數(shù)學(xué)名言、數(shù)學(xué)家簡介和數(shù)學(xué)符號的由來等史料都屬于這一層次.

2.理解與應(yīng)用史實

對于數(shù)學(xué)教科書中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實內(nèi)容需要進(jìn)行理解和應(yīng)用：在認(rèn)知過程中涉及到運(yùn)算、推理、畫圖、數(shù)據(jù)整理等解決數(shù)學(xué)問題所必需的數(shù)學(xué)技能的史實材料;以史實材料（即包括數(shù)學(xué)自身發(fā)展歷史，也包含數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用史）為背景的數(shù)學(xué)建?；顒? 例如新人教A版高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊P39探究中第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的由來——趙爽弦圖，見圖1. 雖然學(xué)習(xí)者在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過趙爽弦圖的相關(guān)史實內(nèi)容，但由于此處要求從圖中“找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系”，故此處史實內(nèi)容從認(rèn)知水平來看要達(dá)到理解與應(yīng)用的層次.

新人教A版教材P39探究活動

3.整合與歸因史實

對于數(shù)學(xué)教科書中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實內(nèi)容需要進(jìn)行整合與歸因：需根據(jù)已有的史實材料、通過查閱資料等手段對其進(jìn)行分析、拓展和評價，并最終以數(shù)學(xué)寫作的形式進(jìn)行匯報的任務(wù).

例如新人教A版選擇性必修第一冊P89中的“請你查閱有關(guān)資料，進(jìn)一步了解吳文俊的事跡，了解我國數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)機(jī)械化方面的卓越貢獻(xiàn)”. 要想完成上述學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)習(xí)者可以按照如下步驟進(jìn)行，見圖2.

2.2.2 從知識分類的角度1.陳述性史實知識

將數(shù)學(xué)教科書中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實內(nèi)容劃分為陳述性史實知識：史實內(nèi)容為數(shù)學(xué)發(fā)展所必須的基本要素：關(guān)于語言的或計算的符號、歷史事件的地點、人物及其言論等史實;上述基本要素的文字?jǐn)U展、評價，不同要素間的以文字為主要形式的整合. 例如人教A版高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊P62旁注，“函數(shù)符號y=f（x）是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在18世紀(jì)引入的”就是一個陳述性史實知識;人教A版高中數(shù)學(xué)教科書必修第一冊P97，以“函數(shù)的形成與發(fā)展”為主題進(jìn)行文獻(xiàn)閱讀和數(shù)學(xué)寫作，這是眾多數(shù)學(xué)基本要素間的整合，屬于陳述性史實知識.

2.應(yīng)用性史實知識

將數(shù)學(xué)教科書中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實內(nèi)容劃分為應(yīng)用性史實知識：與數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)技能有關(guān)的史實內(nèi)容;以史實（既包括數(shù)學(xué)科學(xué)自身發(fā)展歷史，也包含數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用史）為背景建立數(shù)學(xué)模型的相關(guān)知識. 例如新人教A版必修第二冊P81中的“代數(shù)基本定理”;P91中的“棣莫佛定理”;P121中的“祖暅原理”等都屬于應(yīng)用性史實知識. 2.2.3 從主要滲透特征的角度1.總體數(shù)量：即數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教材中的出現(xiàn)次數(shù).

2.運(yùn)用方式：汪曉勤提出了數(shù)學(xué)教材運(yùn)用數(shù)學(xué)史的五種方式[6]，具體內(nèi)容見表1.

3.呈現(xiàn)位置：數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教材中的呈現(xiàn)位置主要有三種：前置式、并置式和后置式[3]. 前置式即指數(shù)學(xué)史出現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識之前，并置式即數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識同時出現(xiàn)，后置式是數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)知識之后出現(xiàn). 例如：北師版高中數(shù)學(xué)教材每一章都以數(shù)學(xué)名言引入，這是前置式;人教A版教材在介紹弧度制時，在旁注介紹了弧度制概念的提出，這就是并置式. 三維對比研究框架整體結(jié)構(gòu)見圖3.

3 案例分析3.1 研究對象

以新人教A版高中數(shù)學(xué)必修冊教材和北師版高中數(shù)學(xué)必修冊教材為對象進(jìn)行對比研究. 將數(shù)學(xué)史的概念界定為：數(shù)學(xué)教科書中涉及到的有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、思想方法的發(fā)展歷程，數(shù)學(xué)家簡介、與數(shù)學(xué)有關(guān)的名言，數(shù)學(xué)符號的由來，數(shù)學(xué)在社會政治、經(jīng)濟(jì)、文化以及其他領(lǐng)域的應(yīng)用史. 3.2 研究結(jié)果分析3.2.1 二者在認(rèn)知水平維度和知識分類維度的史實分布特征具有較強(qiáng)的一致性研究發(fā)現(xiàn)，新人教A版必修冊和北師版必修冊在認(rèn)知水平和知識分類兩個維度的史實分布特征具有較強(qiáng)的一致性，即P1、P2層次的史實內(nèi)容相比較多，P3層次較少，K1、K2兩個層次的史實內(nèi)容數(shù)量較接近，且K2層次的史實內(nèi)容略多于K1層次，見圖4. 具體來說，新人教A版必修冊在P1、P2、P3層次的史實數(shù)量分別為15處、22處和5處，在K1、K2層次的史實數(shù)量分別為18處和22處;北師版必修冊在P1、P2、P3層次的史實數(shù)量分別為20處、25處和4處，在K1、K2層次的史實數(shù)量分別為21處和28處.

3.2.2 二者在數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式及呈現(xiàn)位置方面具有一定的差異性

在主要滲透特征方面，二者呈現(xiàn)出“一同二異”的表現(xiàn)特征. 具體而言，在總體數(shù)量方面，新人教A版和北師版必修冊相差不大，分別為42處和49處;在運(yùn)用方式方面，新人教A版教材在點綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式這五種方式的占比分別為0%、47.6%、2.4%、28.6%、21.4%，而北師版的這一數(shù)據(jù)為0%、20.4%、24.5%、49.0%、6.1%;在呈現(xiàn)位置方面，新人教A版中數(shù)學(xué)史內(nèi)容在前置式、并置式、后置式這三個位置的占比分別約為4.8%、57.1%、38.1%，而北師版的這一數(shù)據(jù)為28.6%、16.3%、55.1%，究其原因是北師版教材中引用了大量的數(shù)學(xué)名言放置在章首頁，這就造成了北師版“前置式”和“復(fù)制式”在各自整體內(nèi)占比較高，見圖5.

3.2.3 從三維結(jié)構(gòu)整體來看，二者各具特色

從三維結(jié)構(gòu)整體來看，二者各具特色，既有共同關(guān)注的重點，也有不同的滲透理念，見表2. 首先，二者對學(xué)生在陳述性史實知識方面的認(rèn)知水平要求較低，多為P1層次，分別為14處和17處，而對于應(yīng)用性史實知識的認(rèn)知水平要求多為P2層次，分別為22處和23處. 其次，二者都是處于（P2，C2，K2）層次的史實內(nèi)容最多，且這一層次史實內(nèi)容的滲透特征也較相似，即都是順應(yīng)式運(yùn)用最多、附加式次之. 但是，北師版在這一層次共運(yùn)用順應(yīng)式20次，占比87.0%，而新人教A版在這一層次的主要運(yùn)用方式也為順應(yīng)式，但占比只有54.5%，可見，北師版教材的編寫側(cè)重于對史實內(nèi)容的加工，而新人教A版還關(guān)注史實的重構(gòu). 此外，二者在（P3，C3，K1）和（P3，C3，K2）層次、（P1，C3，K1）和（P2，C3，K2）層次的呈現(xiàn)位置方面也呈現(xiàn)出了較強(qiáng)的一致性. 由此可見，在整體結(jié)構(gòu)方面，二者各有所長，既有共性，也有差異.

4 啟示

教材作為貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)和承載課程理念的物質(zhì)載體，是師生開展史實學(xué)習(xí)的重要資源. 通過對框架的構(gòu)建和兩個版本教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的對比研究，發(fā)現(xiàn)了兩個版本教材在數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選擇和編排上的共性與差異，為教師教學(xué)提出以下三條建議. 4.1 引導(dǎo)學(xué)生以史料為背景進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作，提高學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平

研究表明，數(shù)學(xué)寫作可以有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平[7]，而對史實內(nèi)容進(jìn)行整合與歸因，就是學(xué)習(xí)者通過收集、歸納、整理等方式，從更高的視角對史料進(jìn)行意義建構(gòu)，并最終以數(shù)學(xué)寫作的形式呈現(xiàn)的過程. 這一過程不僅有利于學(xué)習(xí)者了解數(shù)學(xué)概念、公式、定理的發(fā)生發(fā)展脈絡(luò)，更重要的是對于學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平的提升具有重要意義. 在新人教A版教材和北師版教材中，P3層次的史實數(shù)量占比分別為12%和8%，相比P1、P2層次的史實數(shù)量占比較低. 因此，在教學(xué)過程中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對教材中涉及的史料進(jìn)行拓展與分析，培養(yǎng)學(xué)生收集、分析、歸納材料和數(shù)學(xué)寫作方面的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平. 4.2 前置“數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)任務(wù)清單”，以興趣引領(lǐng)學(xué)生主動認(rèn)知

美國數(shù)學(xué)家魏爾德認(rèn)為：數(shù)學(xué)課堂上只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的技術(shù)是不夠的，要使學(xué)生被數(shù)學(xué)所吸引，一定要運(yùn)用數(shù)學(xué)歷史知識[8]. 而史料的不同運(yùn)用方式和呈現(xiàn)位置會給學(xué)生帶來不同的情感體驗. 在運(yùn)用方式方面，教師要借鑒教材，采取順應(yīng)式和重構(gòu)式的方式，以此來保證史料的時代適用性. 在史料呈現(xiàn)位置方面，教師可以在章開頭設(shè)置“數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)任務(wù)清單”. 例如“圓錐曲線的方程”這一章涉及了大量的史實知識，從梅內(nèi)赫莫斯的“梅氏三線”到歐幾里得的《圓錐曲線》，再到阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》和安提繆斯的“兩釘一線”橢圓畫法[9]，學(xué)生只有了解圓錐曲線的產(chǎn)生發(fā)展歷程，對知識的建構(gòu)才會更加深刻. 在學(xué)習(xí)本章之前，教師可以預(yù)先列出每一節(jié)涉及的史料，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，調(diào)查圓錐曲線的發(fā)展歷程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生主動認(rèn)知. 4.3 史實材料的選取要兼顧“德育”和“智育”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度和價值觀的綜合體現(xiàn)[10]，即核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要兼顧“德育”和“智育”. 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)與人文之間架起了一座橋梁，因而在德育上可以發(fā)揮獨特的優(yōu)勢[9]. 因此，教師在史料的選取過程中，在保證趣味性、科學(xué)性、可學(xué)性、有效性、人文性的史料選取原則下[11]，要重視中國傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)元素，兼顧學(xué)生的德與智共同發(fā)展. 例如，在介紹《趙爽弦圖》的過程中，也可以將趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周髀》”的故事介紹給學(xué)生，這樣既讓學(xué)生了解了趙爽弦圖，發(fā)展了學(xué)生的“智”，又讓學(xué)生感受到趙爽刻苦鉆研的精神，培養(yǎng)了學(xué)生的“德”.

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作者簡介 常海斌（1999—），男，吉林公主嶺人，碩士生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.