章啟平

[摘 ?要] 對(duì)課本習(xí)題的有效挖掘是對(duì)教材的創(chuàng)造性使用，把一道普通的教材課后習(xí)題進(jìn)行一般化的處理，進(jìn)行模型概括后，經(jīng)過(guò)延伸、拓展、變式探究旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性、發(fā)散性和深刻性，也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)素養(yǎng)的熏陶，教學(xué)中應(yīng)對(duì)課本習(xí)題精心設(shè)計(jì)與編排，讓課本習(xí)題“物超所值”.

[關(guān)鍵詞] 課本習(xí)題;相似;拓展;變式探究

立足課本，回歸課本，是中考命題的主要方向;充分挖掘課本習(xí)題的典型作用，是課本習(xí)題價(jià)值最大化的具體體現(xiàn).課本習(xí)題通常具有典型性、示范性和探索性的特點(diǎn)，依托課本習(xí)題，進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由臁⑼卣古c變式探究，可以更好地幫助學(xué)生理解所學(xué)的知識(shí)，也是培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與發(fā)散性的重要途徑.下面以一道課本習(xí)題為例，談?wù)剛€(gè)人體會(huì).

浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“第四章 ?相似三角形”，有這樣的一道課后習(xí)題：

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120 mm，高線AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上. 問(wèn)加工成正方形零件的邊長(zhǎng)為多少毫米？

習(xí)題解答

分析與解 如圖1所示，設(shè)高AD與正方形EFGH的邊EF交于I，顯然△AEF∽△ABC，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比的性質(zhì)列式，即：=.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)EF=x mm，又EF=FG=ID=x，AD=80 mm，AI=80-x，BC=120 mm，所以=，解得x=48. 所以加工成正方形零件的邊長(zhǎng)為48 mm.

這是一道非常典型的利用相似三角形性質(zhì)解決的問(wèn)題，上面的解法非常具有代表性，在三角形中內(nèi)接正方形（正方形的一邊與三角形的一邊重合，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另外兩邊上）涉及線段計(jì)算問(wèn)題，通常采用以上方法.

習(xí)題結(jié)論一般化與拓展

以上問(wèn)題與問(wèn)題的解法都具有典型性，代表性，因此，有必要對(duì)問(wèn)題及其結(jié)論進(jìn)行一般化的研究.

問(wèn)題1 如圖1所示，正方形EFGH的邊HG在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在△ABC的邊AB，AC上，設(shè)BC=a，邊BC上的高為h. 求正方形EFGH的邊長(zhǎng).

分析與解 同前面的課后習(xí)題，在圖1中，△AEF∽△ABC，設(shè)EF=x，=?=?x=.

問(wèn)題2 問(wèn)題1中其他條件不變，若在△AEF中，繼續(xù)作類似的正方形MNPQ，如圖2所示，求正方形MNPQ的邊長(zhǎng).

分析與解 設(shè)正方形MNPQ的邊長(zhǎng)MN=x，在△AEF中， 設(shè)EF上的高為h，由問(wèn)題1中的結(jié)論可知：x=.

因?yàn)镋F=x=，EF上的高h(yuǎn)=h-x，所以x====·

h-=.

上面過(guò)程是借助問(wèn)題1的結(jié)論，不難推出.

其實(shí)，這里仍然可以利用“相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比”的性質(zhì)來(lái)計(jì)算.線段MN與EF是△AEF和△ABC這兩個(gè)相似三角形中的一組對(duì)應(yīng)線段，因此=，即=.

所以x===.

以上相似三角形性質(zhì)的利用，簡(jiǎn)單明了，一目了然！

問(wèn)題3 如圖3所示，如果繼續(xù)在MN的上方作類似的正方形，其邊長(zhǎng)x又是多少？照此下去，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)x是多少？

分析與解 運(yùn)用問(wèn)題2中的第二種解法，可得=，

所以x===.

以此類推，不難得出：x=.

問(wèn)題4 對(duì)于銳角三角形ABC的余料，設(shè)三邊分別為a，b，c，且a≤b≤c，將該正方形加工成正方形零件，使正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上（圖1的方式），則正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)放在哪條邊上可使加工出來(lái)的正方形零件面積最大？

分析與解

①當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在△ABC的邊a上時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，邊a上的高為h，則：x=.

②當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在△ABC的邊b上時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，邊b上的高為h，則：x=.

③當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在△ABC的邊c上時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，邊c上的高為h，則：x=.

要使加工出來(lái)的正方形零件面積最大，即比較x，x，x的大小，可采用作差比較的方式進(jìn)行，設(shè)△ABC的面積為S，則S=ah=bh=ch，所以h=，h=，h=. 則：

x-x=-=-=-====.

上式中，2S>0，b-a≥0，△ABC為銳角三角形，ab-2S>0，（a2+2S）（b2+2S）>0，所以有≥0，即x-x≥0，這說(shuō)明當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在△ABC的邊a上時(shí)，其邊長(zhǎng)較大，由于a≤b，所以，當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在短邊上時(shí)，其邊長(zhǎng)較大.

特別說(shuō)明：（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，ab-2S=0，x=x，即正方形的兩邊同時(shí)落在Rt△ABC的兩條直角邊上. （2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，此時(shí)在△ABC內(nèi)部只能作出一個(gè)正方形，即正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)落在最長(zhǎng)邊上.

習(xí)題的變式探究

變式1 如圖4所示，點(diǎn)E是△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作EH⊥BC，垂足為H，EF∥BC交邊AC于F，過(guò)F作FG⊥BC，垂足為G，設(shè)BC=a，邊BC上的高為h. 問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？最大值是多少？

分析與解 當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)E點(diǎn)的位置情況，找到四邊形面積的最大值，有一定的困難. 故可以通過(guò)先找四邊形面積的最大值，再來(lái)確定E點(diǎn)的位置.顯然四邊形EFGH是矩形，其面積S=EH·EF. 點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF，EH的長(zhǎng)度均在變，故考慮尋找EF，EH的數(shù)量關(guān)系，將面積S關(guān)于EH，EF兩個(gè)變量的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的關(guān)系式.

如圖5所示，作△ABC邊BC上的高AD，交EF于點(diǎn)M. 設(shè)EH=x，EF=y.

因?yàn)椤鰽EF∽△ABC，所以=?=?y=a-x.

四邊形EFGH的面積S=EH·EF=xy=x

a-x=-x2+ax.

當(dāng)x=-=時(shí)，S=ah.

由于EH==MD=AD，所以M為AD的中點(diǎn). 因?yàn)镋M∥BC，所以E為AB的中點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，矩形EFGH的面積最大，最大值為ah，即為△ABC面積的一半.

此問(wèn)題中，根據(jù)上面的推理過(guò)程可以知道，不論矩形EFGH的邊HG與△ABC的哪一條邊重合，矩形EFGH的面積的最大值始終是三角形面積的一半，EF也一樣是三角形的中位線.

變式2 如圖6所示，點(diǎn)E是△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交邊AC于F，點(diǎn)H是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH，過(guò)點(diǎn)F作FG∥EH交邊BC于G.

問(wèn)題1 當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？最大值是多少？

分析與解 易得四邊形EFGH是平行四邊形，不難把EFGH的面積轉(zhuǎn)化為矩形的面積，如圖7所示，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC，垂足為N，顯然△EMH≌△FNG，所以S=S.

由變式1中的結(jié)論可得，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，矩形EFNM的面積最大，即?EFGH的面積最大，最大值為△ABC面積的一半.

問(wèn)題2 如圖6所示，設(shè)△ABC的面積為S，△AEF的面積為S，△EBH的面積為S，△FCG的面積為S，?EFGH的面積為S，請(qǐng)?zhí)骄縎，S，S，S，S之間的關(guān)系.

分析與解 如圖8所示，將△FCG平移至△EMH的位置，所以S=S，S=S+S，因此，圖8可簡(jiǎn)化為圖9.

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：

==

2?=.①

==

2?=.②

① +②得：+=+==1.

所以+=1?+=.

繼續(xù)對(duì)上式進(jìn)行變形：（+）2=（）2?S+S+S+2=S.

又因?yàn)镾+S+S+S=S，所以S=2.

根據(jù)上面的推理過(guò)程，在圖10中，若△ABC的面積為S，△AEF的面積為S，△EBH的面積為S，△FCG的面積為S，?EFGH的面積為S，我們可以得到如下的三個(gè)結(jié)論：

=+，S=S+S+S+2， S=2.

在圖11中，若△ABC的面積為S，△AEF的面積為S，△EBM的面積為S， ?EFCM的面積為S，可以簡(jiǎn)化上述結(jié)論：=+，S=S+S+2，S=2.

問(wèn)題3 運(yùn)用上面的探究方法及結(jié)論，可以解決變式1中的問(wèn)題嗎？

分析與解 如圖12所示，將△FCG平移至△EMH的位置，所以S=S.

根據(jù)前面推導(dǎo)的結(jié)論，

S+S+2=S=ah. ③

2=S.

根據(jù)基本不等式a+b≥2（a>0，b>0）有：

S+S≥2.

代入③式得：2+2≤S=ah，

即4≤S=ah?2≤S=ah. 當(dāng)且僅當(dāng)S=S時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)2取最大值ah.

而2=S=S，所以矩形EFGH的面積最大值為ah，即△ABC面積的一半. 此時(shí)S=S，而△AEF∽△EBM，所以兩個(gè)三角形的相似比為1，因此△AEF≌△EBM，所以AE=EB，即點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).

問(wèn)題4 在圖1中，正方形EFGH的邊HG在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在△ABC的邊AB，AC上，設(shè)BC=a，邊BC上的高為h. 正方形EFGH面積能等于ah嗎？

分析與解 由于正方形EFGH的邊長(zhǎng)x=，所以S=x2=

2=ah.

進(jìn)一步計(jì)算得：=?（a+h）2=4ah?（a-h）2=0?a=h.

可以發(fā)現(xiàn)，正方形同樣通過(guò)△FCG的平移，轉(zhuǎn)化為平行四邊形，而平行四邊形面積的最大值為三角形面積的一半，因此正方形面積要達(dá)到三角形面積的一半，需滿足△ABC的一邊與該邊上高相等，此時(shí)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)落在這條邊上時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)面積最大，這與前文中“當(dāng)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在短邊上時(shí)，其邊長(zhǎng)較大，則面積較大”相吻合，可以運(yùn)用基本不等式的知識(shí)加以說(shuō)明，這里不再贅述.

結(jié)束語(yǔ)

對(duì)課本習(xí)題的有效挖掘是對(duì)教材進(jìn)行創(chuàng)造性使用的具體體現(xiàn)，上文中，通過(guò)對(duì)一道課本習(xí)題結(jié)論的一般化處理，并且對(duì)其進(jìn)行延伸、拓展與變式探究，就是極大限度地利用好教材，充分挖掘教材習(xí)題的潛在價(jià)值，讓課本習(xí)題“物超所值”. 對(duì)習(xí)題進(jìn)行一般化結(jié)論的概括，抽象化地進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理，是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的策略，運(yùn)用不斷地產(chǎn)生新結(jié)論的模型去解決新問(wèn)題，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的進(jìn)一步升華.得到一些數(shù)學(xué)結(jié)論或是進(jìn)行變式探究不是真正的目的，其目的是更有效地引起學(xué)生的思考，訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性、發(fā)散性和深刻性，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)素養(yǎng)的熏陶.因此，習(xí)題教學(xué)不應(yīng)依題講題，特別是課本例、習(xí)題，它們是題目中的精品，教學(xué)中，應(yīng)精心設(shè)計(jì)與挖掘，以提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.