【摘? ?要】關(guān)注思維發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要引領(lǐng)學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)的“原點(diǎn)”走向思維生長(zhǎng)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”?；凇耙活}一課”的“魔方表面涂色問題”教學(xué)，借助直觀的幾何模型，學(xué)生“由淺入深，通過遞進(jìn)式探究學(xué)習(xí)推進(jìn)思維深度;由此及彼，通過從特殊到一般的遷移擴(kuò)展提升思維靈活度”，積累尋找規(guī)律、解決問題的思維經(jīng)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】思維生長(zhǎng);涂色問題;空間觀念;一題一課

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)。數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，要植根于學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“原點(diǎn)”，要撬動(dòng)學(xué)生生長(zhǎng)需要的“支點(diǎn)”，要引領(lǐng)學(xué)生在開闊、縱深的思維場(chǎng)中通往生長(zhǎng)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”。

基于“一題一課”的“魔方表面涂色問題”教學(xué)，從小學(xué)生的認(rèn)知視角出發(fā)，提供可拆分的正方體學(xué)具，讓學(xué)生借助直觀的幾何模型，通過遞進(jìn)式探究學(xué)習(xí)推進(jìn)思維深度，真正經(jīng)歷探究過程，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律。聚焦“一題”，充分挖掘其背后所承載的價(jià)值，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，可幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的遷移擴(kuò)展，提升思維靈活性，積累尋找規(guī)律、解決問題的思維經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念和推理能力。

【教學(xué)過程】

一、情境引入，提出問題

師：請(qǐng)看大屏幕，你認(rèn)識(shí)它嗎？（出示圖1）

生：它是一個(gè)七階魔方。

師：這個(gè)魔方是個(gè)什么圖形？

生：正方體。

師：正方體有什么特征？

生：正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面。

（板書：8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面）

生：這個(gè)魔方中的小正方體一共有7×7×7=343個(gè)。

師：如果只在七階魔方的表面涂上顏色，那么每個(gè)小正立方體被涂上顏色的面數(shù)一樣多嗎？

生：不一樣。

師：猜一猜，會(huì)出現(xiàn)哪幾種不同的涂色情況？

生：我猜有3面涂色的、2面涂色的、1面涂色的，還有0面涂色的小正方體，一共有四類不同情況。

師：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要大膽地猜想，更應(yīng)該小心地驗(yàn)證。這就是我們今天要研究的“魔方表面涂色問題”。（板書課題）

（設(shè)計(jì)意圖：利用學(xué)生喜聞樂見的智力魔方，能迅速引發(fā)其學(xué)習(xí)欲望，在回顧正方體特征的過程中，借助直觀的幾何模型讓學(xué)生充分感知立體圖形，發(fā)展空間觀念。）

二、展開探究，解決問題

師：古代先哲老子說“天下難事，必作于易”。你們知道是什么意思嗎？

生：意思是說，要解決天下的困難大事，必須從容易處著手。

師：為你點(diǎn)贊，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為化難為易、化繁為簡(jiǎn)。（板書：化繁為簡(jiǎn)）研究七階魔方這樣復(fù)雜的問題，我們可以先從簡(jiǎn)單的、常見的魔方開始。

1.自主探究，探索規(guī)律

師：老師給每個(gè)小組準(zhǔn)備了一個(gè)可拆分的“三階魔方”。下面以小組為單位研究魔方表面涂色問題，注意明確活動(dòng)要求。

活動(dòng)要求：

（1）找一找：三階魔方中每類涂色小正方體分別在大正方體的什么位置？各有幾個(gè)？

（2）想一想：五階魔方中每類涂色小正方體在大正方體中的位置變化了嗎？各有幾個(gè)？

（3）理一理：根據(jù)表中記錄的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)到從七階魔方入手比較困難，感受化繁為簡(jiǎn)、探索規(guī)律、解決問題的必要性。提供可拆分的學(xué)具，便于學(xué)生直觀地找出小正方體表面的涂色及隱藏在中心沒有涂色的小正方體。經(jīng)歷從三階到五階的探究過程，有利于學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，為發(fā)現(xiàn)規(guī)律積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。）

2.分享交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

生：在三階魔方中，3面涂色的小正方體都在大正方體的頂點(diǎn)位置，所以共有8個(gè);2面涂色的小正方體在每條棱的中間，共有12個(gè);1面涂色的小正方體在每個(gè)面中間，共有6個(gè);0面涂色的在大正方體正中心，只有1個(gè)。

師：你們是怎么得到這些結(jié)論的？

生：我先觀察三階魔方，不確定時(shí)就“掰”開來(lái)數(shù)一數(shù)。

師：這位同學(xué)用了一個(gè)動(dòng)詞——“掰”，非常形象！我們通過課件再來(lái)數(shù)一數(shù)，看看他們“掰”開來(lái)數(shù)得是否正確。

（課件動(dòng)態(tài)演示幾種情況，如圖2）

師：通過課件動(dòng)態(tài)演示，我們可以直觀地?cái)?shù)出：魔方頂點(diǎn)位置的小正方體3面涂色，共有8個(gè);每條棱中間位置的這個(gè)小正方體2面涂色，共6個(gè);魔方每一個(gè)面（9個(gè)小正方形）中間位置的小正方體1面涂色;整個(gè)魔方正中心位置的這個(gè)小正方體沒有涂色，1個(gè)沒有涂色。那么，五階魔方中的涂色情況是怎樣的？

生：五階魔方中，3面涂色的也是8個(gè)，都在頂點(diǎn)位置;2面涂色的36個(gè)，在大正方體的棱中間的位置;1面涂色的54個(gè)，在大正方體每個(gè)面的中間;0面涂色的27個(gè)，在大正方體的中心位置。

師：同樣，我們通過課件演示，再來(lái)數(shù)一數(shù)。

（課件動(dòng)態(tài)演示幾種情況，如圖3）

生：我發(fā)現(xiàn)三階和五階魔方中，涂色3面的小正方體個(gè)數(shù)相同，都是8個(gè)，且都在頂點(diǎn)位置。

師：不錯(cuò)的發(fā)現(xiàn)！2面涂色、1面涂色和0面涂色的小正方體是否也有規(guī)律？

生：各類涂色小正方體所在的位置都沒有變化。

師：非常棒，你找到了它們的位置特征。那么，個(gè)數(shù)上是否也存在一定的規(guī)律？

生：2面涂色個(gè)數(shù)=（階數(shù)-2）×12，1面涂色個(gè)數(shù)=（[階數(shù)-2]）[2]×6，0面涂色個(gè)數(shù)=（[階數(shù)-2]）[3]。

師：這些算式中都有一個(gè)“階數(shù)-2”，說說你們是怎么想的。

生：階數(shù)就是大正方體每條棱長(zhǎng)上小正方體的個(gè)數(shù)，3面涂色的小正方體都在大正方體頂點(diǎn)位置，2面涂色的是（階數(shù)-2）。1面涂色的正好是邊長(zhǎng)為（階數(shù)-2）的正方形，0面涂色的在大正方體正中心，是棱長(zhǎng)為（階數(shù)-2）的正方體。

師：不但結(jié)論正確，而且思路清晰。掌聲表?yè)P(yáng)！

師：此刻，請(qǐng)想象一下，七階魔方表面涂色，各類涂色的小立方體分別有多少個(gè)？把數(shù)據(jù)記錄在表格中。

（設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷過程比得出結(jié)果更重要。從三階魔方的“掰”開來(lái)數(shù)，到五階魔方的想象中數(shù)，從通過幾何模型感知“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，到適時(shí)追問并運(yùn)用課件動(dòng)態(tài)演示，其目的都是讓學(xué)生將直觀的經(jīng)歷內(nèi)化為個(gè)體的理解，并能對(duì)最終得出的規(guī)律進(jìn)行合理解釋，即經(jīng)歷推理的過程。）

3.深度探究，解釋規(guī)律

師：如果繼續(xù)研究下去，在n階魔方表面涂色，可以怎樣表示前面的規(guī)律？（學(xué)生獨(dú)立思考后，與同桌交流討論）

生：在n階魔方中，3面涂色的還是8個(gè)，2面涂色的是（n-2）×12個(gè)，1面涂色的是（n-2）2×6個(gè)，0面涂色的是（n-2）3個(gè)。

（根據(jù)學(xué)生的回答，利用小棒教具直觀演示）

師：通過觀察、想象和總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)了各類涂色小正方體的個(gè)數(shù)與大正方體的頂點(diǎn)、棱、面都有著密切聯(lián)系。（形成板書，如表1）

（設(shè)計(jì)意圖：將探究?jī)?nèi)容從可見的一定階數(shù)的魔方推進(jìn)至用字母表示的抽象正方體，從探究魔方表面涂色問題推向發(fā)現(xiàn)正方體表面涂色的一般規(guī)律，學(xué)生在從一維到二維，再到三維的空間轉(zhuǎn)換中，不斷內(nèi)化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，豐富和積累解決問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。）

三、鞏固應(yīng)用，抽象拓展

1.學(xué)以致用，應(yīng)用規(guī)律

師：剛才，我們一起解決了七階魔方表面涂色問題?，F(xiàn)在，八階、九階魔方的表面涂色問題，你們能解決了嗎？

師：其實(shí)不管幾階魔方，都是正方體，只要應(yīng)用這些規(guī)律，就可以順利解決正方體表面涂色問題。那么，如果在長(zhǎng)方體表面涂色，我們能用同樣的思維方式遷移到長(zhǎng)方體來(lái)解決問題嗎？

2.類比遷移，思維關(guān)聯(lián)

出示：如圖4，把一個(gè)長(zhǎng)方體的六面都涂上顏色，再沿著長(zhǎng)、寬、高把它切成若干個(gè)相同的小正方體，3面、2面、1面和0面涂色的小正方體各有幾個(gè)？

生：我發(fā)現(xiàn)，8個(gè)頂點(diǎn)位置的小正方體還是3面涂色。2面涂色、1面涂色和0面涂色的小正方體所處位置與魔方中相同，只是計(jì)算起來(lái)好像又不一樣。

生：其實(shí)，本質(zhì)上是相同的。只是正方體12條棱長(zhǎng)相等，而在長(zhǎng)方體中計(jì)算（n-2）時(shí)，需要區(qū)分是長(zhǎng)、寬，還是高，也就是（ɑ-2）、（b-2）、（h-2）。

師：好一個(gè)本質(zhì)上相同！透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，才能讓我們的思維更清晰、更通透！

（設(shè)計(jì)意圖：正方體是特殊的長(zhǎng)方體，將正方體表面涂色這一特殊情況遷移到長(zhǎng)方體中解決一般問題，即從“一題”走向“一類”。這樣的遷移，既對(duì)學(xué)生進(jìn)行了解決問題的方法指導(dǎo)，也促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更具深刻性。）

四、微課鏈接，關(guān)聯(lián)生活

微課鏈接：三階魔方中，3面涂色的8個(gè)叫角塊，2面涂色的12個(gè)叫棱塊，1面涂色的6個(gè)叫中心塊。0面涂色的那1個(gè)小立方體在真正的魔方中是不存在的，因?yàn)槟Х睫D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，需要有一個(gè)用來(lái)支撐的中心軸，那個(gè)中心軸占據(jù)了這個(gè)位置。

【教學(xué)思考】

一、幾何直觀：植根已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“原點(diǎn)”

精準(zhǔn)把握學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“起點(diǎn)”，引發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生已有認(rèn)知之間的沖突，可以激發(fā)學(xué)生思考、探究和解決問題的內(nèi)在需求?！澳Х奖砻嫱可珕栴}”重在經(jīng)歷探索過程，而不是規(guī)律的應(yīng)用。教師可在學(xué)生充分感受到用原有的經(jīng)驗(yàn)和方法解決問題有困難時(shí)，提供可拆分的“魔方”，通過任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生借助“真實(shí)”直觀的幾何模型，從已有的思維“原點(diǎn)”出發(fā)，動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，多種感官協(xié)調(diào)活動(dòng)，不斷拓寬獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的渠道。學(xué)生在經(jīng)歷探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解釋規(guī)律的整個(gè)過程中，多角度感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，豐富與積累思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思考的無(wú)窮魅力。

二、空間觀念：撬動(dòng)生長(zhǎng)需要的“支點(diǎn)”

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過程就是不斷同化與順應(yīng)的過程。引導(dǎo)學(xué)生從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“原點(diǎn)”躍至深層次的思維“遠(yuǎn)點(diǎn)”，空間觀念這個(gè)支點(diǎn)至關(guān)重要。從“掰”開來(lái)找一找到想一想的過程，正是幫助學(xué)生從通過觀察建立直觀表象，走向根據(jù)直觀進(jìn)行推理想象。學(xué)生在活動(dòng)中經(jīng)歷了從具體形象到本質(zhì)抽象的轉(zhuǎn)化過程，發(fā)展了空間觀念和數(shù)學(xué)思維能力。

三、通透思維：走向思維生長(zhǎng)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”

學(xué)生在課堂教學(xué)中的學(xué)習(xí)表現(xiàn)、感悟、體驗(yàn)，是未來(lái)“遠(yuǎn)點(diǎn)”成長(zhǎng)的基石。正方體表面涂色問題中的探索規(guī)律只是個(gè)例子，將探究?jī)?nèi)容遷移擴(kuò)展到長(zhǎng)方體中解決問題，不僅讓學(xué)生進(jìn)一步感悟到正方體和長(zhǎng)方體之間的密切聯(lián)系，而且豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問題的經(jīng)驗(yàn)。從特殊走向一般，從“一題”推進(jìn)“一類”，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知不斷豐富，思維逐步走向通透。課尾，通過微課展示的知識(shí)鏈接，讓教學(xué)從課堂再次回歸到生活，通過對(duì)魔方的各部分名稱和中心軸問題加以說明，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光解釋生活中的現(xiàn)象，感受數(shù)學(xué)無(wú)處不在的應(yīng)用價(jià)值。

如此，“一題一課”教學(xué)關(guān)注的是不僅僅是分類計(jì)數(shù)問題中規(guī)律的探索，也關(guān)注對(duì)學(xué)生解決問題方法的指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“原點(diǎn)”走向思維生長(zhǎng)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]謝東伊.借助直觀? ?經(jīng)歷過程? ?發(fā)展思維：人教版五下《探索圖形》教學(xué)實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（10）.

[3]董春艷.滲透思想? ?感悟方法：“探索圖形”教學(xué)實(shí)踐的思考[J].基礎(chǔ)教育論壇，2021（5）.

（浙江省杭州市錢塘區(qū)教師教育學(xué)院? ?310018）