葉青雷
異面直線是既不平行也不相交的兩條直線.這組直線的空間位置關(guān)系較為特殊,我們往往很難直接求得異面直線之間的距離,需采用一些方法和技巧,如平移法、向量法、等體積法、構(gòu)造函數(shù)法等,才能使問(wèn)題獲解.下面結(jié)合實(shí)例,談一談求異面直線之間距離的四個(gè)技巧.
一、平移法
求異面直線之間的距離,要首先把握異面直線之間距離的定義和兩直線之間的位置關(guān)系.異面直線之間的距離是指這兩直線之間的公垂線的長(zhǎng),而公垂線必須同時(shí)垂直于兩條異面直線.可采用平移法,通過(guò)平移其中的一條直線a,使其與另一條直線b相交,這樣便構(gòu)造出一個(gè)平面,過(guò)直線a上的一點(diǎn)作這個(gè)平面的垂線,該線即為兩條異面直線的公垂線,求得公垂線的長(zhǎng)即可求得兩條異面直線之間的距離.
例1.如圖1所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,求異面直線A1D和AC之間的距離.
解:連接BD1、BD、AD1,設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為M,AN與A1D的交點(diǎn)為F,
根據(jù)三垂線定理可知:BD1⊥A1D,BD1⊥AC,
因?yàn)镹為DD1的中點(diǎn),
由三角形中位線的性質(zhì)可知BD1∥MN,MN∥EF,
即BD1∥EF,
可知EF即為異面直線A1D和AC的公垂線,
又因?yàn)镹為DD1的中點(diǎn),且AA1∥DN,
采用平移法解題,需仔細(xì)觀察立體幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,尤其要關(guān)注線和面之間的垂直、平行關(guān)系,通過(guò)平移直線將原本看起來(lái)毫無(wú)聯(lián)系的兩條異面直線關(guān)聯(lián)起來(lái),再利用平面幾何知識(shí),如勾股定理、正余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形中位線的性質(zhì)等來(lái)求公垂線的長(zhǎng).
二、向量法
對(duì)于易于建立空間直角坐標(biāo)系的立體幾何問(wèn)題,可采用向量法來(lái)求解.在求異面直線之間的距離時(shí),可分別求得兩條直線的方向向量a、b并設(shè)出兩條異面的公垂線,然后根據(jù)向量之間的垂直關(guān)系建立方程組,通過(guò)解方程求得公垂線的方向向量,最后求其模長(zhǎng),即可求得異面直線之間的距離.
例2.如圖2所示,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1,其對(duì)角線為AC′,點(diǎn)M、N分別為棱BB′和B′C′的中點(diǎn),MN的中點(diǎn)為P,求異面直線DP與AC′之間的距離.
解:如圖2所示,以D′為原點(diǎn),D′C′為x軸、D′A′為y軸、D′D為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)DP與AC′的公垂線為QR,分別與DP、AC′相交于點(diǎn)Q、R,
相較于常規(guī)方法,向量法更加簡(jiǎn)單.在運(yùn)用向量法解題時(shí),同學(xué)們需熟記一些向量的運(yùn)算法則,如向量的加法、減法,向量的數(shù)量積公式、模的公式.
三、等體積法
等體積法一般適用于求解三棱錐問(wèn)題,是指轉(zhuǎn)換三棱錐的底面和高,根據(jù)同一個(gè)三棱錐或兩個(gè)三棱錐的體積相等建立關(guān)系式,求得問(wèn)題的答案.在求異面直線之間的距離時(shí),可將異面直線置于三棱錐中,采用等體積法求三棱錐的高,進(jìn)而求得兩條異面的公垂線的長(zhǎng).在解題時(shí),同學(xué)們要善于尋找體積相等的三棱錐,或易于計(jì)算體積的三棱錐的底面和高,建立等價(jià)關(guān)系式.
例3.如圖3所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),求直線ED1與直線CC1之間的距離.
解:如圖4所示,過(guò)點(diǎn)E作EE1∥CC1,連接D1E1.
已知點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),則點(diǎn)E1為B1C1的中點(diǎn),
所以B1E1=E1C1.
則CC1∥平面D1EE1,
則異面直線ED1與CC1之間的距離即為直線CC1到平面D1EE1的距離,也就是點(diǎn)C1到平面D1EE1的距離.
設(shè)點(diǎn)C1到平面D1EE1的距離為a,
因?yàn)镃C1⊥A1B1C1D1,EE1⊥A1B1C1D1,
運(yùn)用該等體積法求異面直線之間的距離,可省去找公垂線的麻煩,且簡(jiǎn)化了運(yùn)算的過(guò)程.
四、函數(shù)構(gòu)造法
我們知道,公垂線是兩條異面直線之間的最小距離.若很容易找到異面之間的公垂線,但無(wú)法快速求得公垂線的長(zhǎng),或無(wú)法找到公垂線,可根據(jù)勾股定理、正余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式等求得公垂線的表達(dá)式,或兩異面直線上任意兩點(diǎn)之間的距離的表達(dá)式,然后將其構(gòu)造成函數(shù)模型,通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的最小值,即可求得異面直線之間的距離.
例4.如圖5所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,A1B和D1B1為正方形ABA1B1和正方形A1B1C1D1的對(duì)角線,求異面直線A1B和D1B1之間的距離.
解:在A1B上任取一點(diǎn)M,作MP⊥A1B1于點(diǎn)P,作NP⊥A1B1于點(diǎn)P,與D1B1交于點(diǎn)N.
根據(jù)三垂線定理可知MN⊥D1B1.
由于平面ABA1B1⊥平面A1B1C1D1,所以PN⊥PM,
在Rt△PMN中,
通過(guò)添加輔助線,構(gòu)造出垂直于D1B1的平面PNM,只要在平面PNM中找到一條直線垂直于A1B,那么該直線即是異面直線A1B和D1B1的公垂線. 在Rt△PMN中,根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的關(guān)系式,求得公垂線的表達(dá)式,然后將其看作關(guān)于x的函數(shù)式,通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值,即可解題.
可見(jiàn),求異面直線之間的距離,關(guān)鍵是根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)和性質(zhì),以及點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系找到異面直線的公垂線,并求得其長(zhǎng)度.同學(xué)們可根據(jù)題目的條件,靈活選用上述四種方法.