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        關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗,設(shè)計適性的階梯式單元提升作業(yè)

        2022-05-30 10:48:04易良斌吳維靜
        關(guān)鍵詞:全等三角形適性階梯式

        易良斌 吳維靜

        [摘? 要] “雙減”政策明確要求減輕學(xué)生的作業(yè)負擔,因此教師在布置作業(yè)時要更注重“減負提質(zhì)”. 在此背景下,文章以單元教學(xué)為基礎(chǔ),從學(xué)生的高頻錯題為出發(fā),以“全等三角形”為案例提出基于學(xué)情的階梯式單元提升作業(yè)設(shè)計方案,借助基礎(chǔ)相似的兩個班級進行對照實驗,利用SPSS軟件對實驗班和對照班前測及后測的數(shù)據(jù)進行分析,從而論證此次作業(yè)設(shè)計的有效性.

        [關(guān)鍵詞] 適性;階梯式;單元提升作業(yè);全等三角形

        引言

        作業(yè)是我們?nèi)粘=虒W(xué)的重要組成部分,其主要目的一方面是為了幫助學(xué)生鞏固知識,促其進步;另一方面則是幫助教師反饋教學(xué)效果,達到精準教學(xué)的目的. 數(shù)學(xué)單元作業(yè)是教師在單元目標和單元設(shè)計的指導(dǎo)下,將單元內(nèi)零散、單一的作業(yè)采取刪減、增補、重組等方式整合,在單層面統(tǒng)籌考慮整個單元的系列性作業(yè)[1]. “雙減”政策明確要求減輕義務(wù)教育階段學(xué)生的作業(yè)負擔,如何在有限的時間里設(shè)計更高效的作業(yè),無疑對教師的作業(yè)設(shè)計水平提出了更高的要求. 在此背景下,筆者以“全等三角形”為例,嘗試設(shè)計適性的階梯式單元提升作業(yè).

        設(shè)計思路與核心

        筆者發(fā)現(xiàn)在幾何題的講解中,學(xué)生有時僅僅只差某一個提示就能完成整道難題. 而數(shù)學(xué)作業(yè)具有針對性、發(fā)展性、探究性、差異性等特征,于是筆者在基于學(xué)情的背景下嘗試階梯式單元提升作業(yè)設(shè)計,它以維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”理論為主要依據(jù),同時結(jié)合“支架式教學(xué)”“類比教學(xué)”“變式訓(xùn)練”“啟發(fā)式問題串”等教學(xué)理念的優(yōu)點進行設(shè)計.

        本文提到的階梯式單元提升作業(yè)即作業(yè)沒有明確的分層,但是每一個專題和問題之間都有相關(guān)的聯(lián)系,難度按照相對較小的階梯進行,因此每題都可能成為不同能力學(xué)生的“分水嶺”[2]. 教師不會告訴學(xué)生問題的難度指數(shù),避免學(xué)生產(chǎn)生心理定式,學(xué)生將根據(jù)自身能力進行選擇,從而在逐步提升自我需求的同時滿足教師要求和學(xué)生需求之間的平衡. 由于階梯較小,學(xué)生能通過問題之間細小的變化得到相關(guān)的提示,從而建立完成作業(yè)的信心,降低對數(shù)學(xué)難度的恐懼,逐步完成更高等級的作業(yè),進一步逼近自身的“最近發(fā)展區(qū)”.

        本作業(yè)設(shè)計充分關(guān)注學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗,從學(xué)生的高頻錯題出發(fā),根據(jù)錯因分析針對學(xué)生的薄弱點設(shè)計階梯式作業(yè),秉承從易至難、從基礎(chǔ)知識到應(yīng)用能力的梯度設(shè)計4個課時模塊(圖1),從而更好地體現(xiàn)單元提升作業(yè)中的提升性、反思性、應(yīng)用性和拓展性要求.

        其中將每課時的作業(yè)量控制在6題以內(nèi),設(shè)計以下四種類型的作業(yè)(圖2),以“習(xí)題演練,自我提升—歸納總結(jié),自我反思—綜合應(yīng)用,自我鞏固—拓展創(chuàng)新,自我突破”設(shè)計4個主題模塊,其中提升型作業(yè)注重相關(guān)考點、題型的演練,落實“雙基”;反思型作業(yè)注重方法歸納總結(jié),滲透數(shù)學(xué)思想;應(yīng)用型作業(yè)注重綜合應(yīng)用知識點解決問題,發(fā)展關(guān)鍵能力;拓展型作業(yè)注重思維發(fā)散,進一步提升核心素養(yǎng).

        通過提升型作業(yè)歸納總結(jié)得到一定的知識儲備,進而對知識進行應(yīng)用與發(fā)散,最后由交流提煉得到進一步提升. 學(xué)生通過經(jīng)歷“提升—反思—應(yīng)用—拓展”的步驟來自主建構(gòu)知識框架,從而提高幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng),增強邏輯推理能力和邏輯表達能力等關(guān)鍵能力.

        單元主題和設(shè)計目標

        (一)單元主題

        “全等三角形”是幾何入門所必需的基礎(chǔ)知識和基本技能,是初中幾何從實驗階段過渡到論證幾何階段的關(guān)鍵節(jié)點,在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和邏輯表達能力方面具有重要作用. 本文為基礎(chǔ)教學(xué)完成后進行的提升作業(yè)設(shè)計,通過學(xué)生自主探索三角形全等的條件,歸納常見圖形和基本思路,研究全等三角形的應(yīng)用價值,從而引導(dǎo)學(xué)生深度建構(gòu),發(fā)展核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力,為進一步學(xué)習(xí)四邊形、圓、相似三角形等其他幾何知識打下良好的基礎(chǔ).

        (二)設(shè)計目標

        見表1.

        作業(yè)設(shè)計分析

        以學(xué)生的高頻錯題為出發(fā)點,通過學(xué)生自主完成、歸納總結(jié)、思維發(fā)散、交流提煉的形式進行,由于篇幅有限,筆者將以作業(yè)(三)全等三角形的構(gòu)造方法以及作業(yè)(四)全等三角形的應(yīng)用為例進行具體分析.

        作業(yè)(三)? 全等三角形的構(gòu)造方法

        作業(yè)中高頻錯題:

        (作業(yè)本1.5.1 第6題)如圖4,已知AB=DC,AC=DB,求證:∠A=∠D.

        下面是兩位同學(xué)的對話:

        方方說:根據(jù)條件,找不到全等三角形,圓圓說:如果添加輔助線,就可以找到全等三角形了,請根據(jù)提示給出證明.

        (作業(yè)本1.5.2第7題)如圖5,在△ABC中,AB=5,AC=9,AD是BC邊上的中線,則AD的取值范圍是(? ? )

        A. 4

        C. 2

        錯因分析? 上述兩題都需要增添輔助線,對于此類題型,能否添對輔助線構(gòu)造出合適的全等三角形是解決問題的關(guān)鍵,而學(xué)生對輔助線的添法往往沒有頭緒.

        就此,筆者設(shè)計提升作業(yè)“全等三角形中常見的構(gòu)造方法”,借此為學(xué)生在解決幾何問題中添加輔助線提供思路.

        全等三角形的構(gòu)造方法

        一、習(xí)題演練,自我提升

        類型1:連接線段

        1. 如圖6,已知AB=DC,AC=DB,求證:∠B=∠C.

        類型2:作垂線

        2. 已知:如圖7,DA平分∠CAB,∠ABD+∠ACD=180°,∠B=90°,易證:DB=DC.

        探究:如圖8,DA平分∠CAB,∠ABD+∠ACD=180°,∠B<90°,求證:DB=DC.

        類型3:倍長中線

        3. 如圖9,在△ABC中,D為BC的中點,求證:AB + AC> 2AD.

        類型4:截長補短

        4. 如圖10,AB∥DC,AD⊥CD,點P在AD上,BP,CP分別平分∠ABC,∠BCD. (1)求證:PA=PD;(2)求證:AB + CD = BC;(3)若去掉AD⊥CD這個條件,上述兩問的結(jié)論是否仍成立?

        二、歸納總結(jié),自我反思

        根據(jù)上述幾種題型的練習(xí),你能否結(jié)合平時所學(xué)總結(jié)常見的構(gòu)造三角形的方法?請試著歸納出來.

        三、綜合應(yīng)用,自我鞏固

        5. 如圖11,在△ABC中,∠C=2∠B,DA為∠CAB的角平分線,求證:AB=AC+CD.

        四、拓展創(chuàng)新,自我突破

        6. (1)問題解決:請你證明下面命題,如圖12,在△ABC中,D是BC的中點,DE⊥DF且DE與AB相交于點E,DF與AC相交于點F,連接EF,求證:BE+CF>EF.

        (2)問題拓展:如圖13,在四邊形ACDB中,∠ABD+∠ACD=180°,BD=CD,∠CDB=120°,在頂點D處作一個60°的角,角兩邊分別交AB,AC于點E和點F,連接EF,猜想線段EF,BE,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

        設(shè)計意圖? 引導(dǎo)學(xué)生感受全等三角形中不同的添加輔助線的方法:連接線段、作垂線、倍長中線、截長補短和旋轉(zhuǎn),通過不同的添加輔助線的方法感受輔助線在解決幾何問題中“搭橋牽線”的作用及優(yōu)越性,及時滲透轉(zhuǎn)化思想.

        另外,在作業(yè)講解時教師要對不同背景選擇不同的方法進行總結(jié):若出現(xiàn)角平分線則優(yōu)先考慮作垂線;若有中線條件優(yōu)先考慮倍長中線;若猜想兩條線段之和等于第三條線段的證明優(yōu)先考慮截長補短;有兩邊相等、旋轉(zhuǎn)后為一條直線的問題時優(yōu)先考慮通過旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造全等三角形. 同時教師要引導(dǎo)學(xué)生理解輔助線的作法往往不唯一,需要我們平時多積累與總結(jié).

        作業(yè)(四)? 全等三角形的應(yīng)用

        作業(yè)中高頻錯題:

        (作業(yè)本? 復(fù)習(xí)題? 第12題)已知:如圖14,點B,C,D在同一條直線上,∠ACB=∠ECD=60°,AC=BC,EC=DC. 連接BE,AD,分別交AC,CE于點M,N,求證:(1)△ACD≌△BCE,(2)CM=CN.

        錯因分析? 找不到合適的全等三角形,或雖然找到全等三角形,但是認為缺少證明的條件,不理解第一問證出的全等有何用處.

        因此筆者設(shè)計提升作業(yè)“全等三角形的應(yīng)用”,讓學(xué)生體會全等三角形在實際解決問題中的作用.

        全等三角形的應(yīng)用

        一、習(xí)題演練,自我提升

        類型1:證明線段、角相等

        1. 如圖15,已知AC與BD相交于點O,AB=DC,∠D=∠A.

        (1)請寫出你認為正確的5個結(jié)論(對頂角除外,且不再添加輔助線).

        (2)從你寫出的結(jié)論中,任選一個說明理由.

        類型2:證明位置關(guān)系

        2. 兩個等腰直角三角形三角板如圖16①所示放置,將它抽象出圖16②的幾何圖形,其中B,C,E在一條直線上,連接CD.

        (1)圖16②有全等三角形嗎?請說明理由;(2)證明:DC⊥BE.

        類型3:進行面積變換

        3. 如圖17,在四邊形ABCD中,AD=AB,∠BAD=∠BCD= 90°,AC=5,則四邊形ABCD的面積是多少?

        類型4:解決實際問題

        4.如圖18,為了測量湖泊E與岸邊D和A的距離,進行如下操作:

        (1)作線段AB,取其中點O;

        (2)連接DO并延長使DO=OC;

        (3)連接BC;

        (4)連接EO交BC于點F,測量BF,CF的長度即可知道AE和DE的長度,請說明這樣做的理由.

        二、歸納總結(jié),自我反思

        通過上述練習(xí),你是否已經(jīng)感受到全等三角形的作用?請你嘗試歸納總結(jié)全等三角形常見的應(yīng)用價值.

        三、綜合應(yīng)用,自我鞏固

        5. 已知在四邊形ABCD中,AC與BD相交于點E,AC⊥BD,作BF⊥CD交CD于點F,BF與AC交于點G,∠EGB=∠EDA.

        (1)如圖19,求證:AD = CD;

        (2)如圖20,BH是AE上的中線,若DE=EG,AE=2DE,是否有三角形的面積等于△ADE面積的2倍?請直接寫出來.

        四、拓展創(chuàng)新,自我突破

        6. 問題背景:如圖21,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠DAB=120°,∠ABC=∠ADC=90°,E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點,且∠FAE=60°.

        (1)自主發(fā)現(xiàn):線段BE,EF,F(xiàn)D之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由.

        (2)探索延伸:如圖22,四邊形ABCD中,AB=AD,∠ABC +∠ADC=180°,E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點,且∠FAE=∠DAB,(1)的結(jié)論是否仍然成立,請說明理由.

        (3)實際應(yīng)用:如圖23,在某次抗臺風演習(xí)中,船甲在A處,距離指揮中心(O處)北偏西30°,船乙在B處,距離指揮中心南偏東70°,且兩船到指揮中心(O處)的距離相等,接到指令后,船甲以60海里/小時的速度向正東方向前進,船乙以80海里/小時的速度沿北偏東50°的方向前進1. 5小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩船分別到達E,F(xiàn)處,此時兩船之間的夾角為70°,試求此時兩船之間的距離.(可結(jié)合(2)的結(jié)論)

        (4)你能像上題一樣將全等三角形應(yīng)用于實際生活嗎?請舉例說明.

        設(shè)計意圖? 引導(dǎo)學(xué)生體會全等三角形在證明線段或角相等、證明線段的位置關(guān)系、對圖形面積變換和實際應(yīng)用問題上的作用,啟發(fā)學(xué)生碰到相關(guān)問題時能想到尋找對應(yīng)的全等三角形,以及利用全等三角形解決生活中的實際問題,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識.

        上述作業(yè)設(shè)計具有明顯的梯度原則,又依據(jù)解題方法進行分類,使每題都具有典型性. 其中各模塊的側(cè)重點應(yīng)有所不同:

        “習(xí)題演練,自我提升”關(guān)注已有的活動經(jīng)驗,突出基礎(chǔ)素養(yǎng)的落實;

        “歸納總結(jié),自我反思”關(guān)注解決問題的過程,突出數(shù)學(xué)思想的滲透;

        “綜合應(yīng)用,自我鞏固”關(guān)注關(guān)鍵能力的發(fā)展,突出應(yīng)用意識的培養(yǎng);

        “拓展創(chuàng)新,自我突破”關(guān)注學(xué)生的主體作用,突出創(chuàng)新意識的提升.

        同時,內(nèi)容與中考考點緊密結(jié)合,讓學(xué)生感受知識點的實效性和針對性.

        作業(yè)批改后的反饋

        學(xué)生根據(jù)自身能力自主選擇完成提升型—反思型—應(yīng)用型—拓展型作業(yè),通過學(xué)生課后自主完成、課堂歸納總結(jié)、同伴交流提煉的形式進行反饋. 其中提升型和反思型作業(yè)面向全體學(xué)生課后完成,應(yīng)用型和拓展型作業(yè)則先獨立思考后以小組為單位交流合作完成.

        由表2:四次作業(yè)的正確率基本由高到低,體現(xiàn)了難度的階梯設(shè)置. 從正確率上看,提升型和反思型作業(yè)正確率較高,應(yīng)用型和拓展型作業(yè)正確率相對較低,可見大部分學(xué)生具備一定的幾何直觀與推理能力,但部分學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識相對欠缺,在今后的教學(xué)中應(yīng)重點關(guān)注這類學(xué)生. 另外,要堅持“下要保底,上不封頂”的原則,對于本次反饋出的薄弱生以及尖子生,后續(xù)將繼續(xù)對應(yīng)進行托底以及培優(yōu)工作.

        作業(yè)質(zhì)量與成效分析

        (一)作業(yè)質(zhì)量

        結(jié)合問卷調(diào)查,從以下幾方面對作業(yè)質(zhì)量進行分析:從作業(yè)量上看,題量基本控制在6題以內(nèi);從完成時間上看,學(xué)生完成作業(yè)時間大部分為20分鐘;從作業(yè)難度上看,學(xué)生認為作業(yè)難度適中,大多數(shù)題可以從上一題的微小變化中找到思路;從學(xué)習(xí)興趣上看,學(xué)生認為能在完成作業(yè)的過程中體會到成功的快樂,在交流環(huán)節(jié)中能和同伴擦出更多思維的火花,極大促進了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

        (二)成效分析

        以初二甲、乙兩班作為實驗對象,在新課結(jié)束后的前測中兩班水平相似,而后實驗班安排階梯式單元提升作業(yè),對照班仍使用傳統(tǒng)作業(yè). 實施期間,每天統(tǒng)計兩班作業(yè)情況,關(guān)注作業(yè)的布置、批改與反饋,保證有效實施. 后測安排在提升作業(yè)完成并講解后,兩班學(xué)生以同等標準作答,統(tǒng)計兩班的平均分、優(yōu)秀率,對比各層次人數(shù)的變化,分析階梯式單元提升作業(yè)實施對學(xué)習(xí)效果的影響.

        將實驗班前測與后測成績進行比對分析可知:實驗班在平均分有所提高,標準差升高,說明學(xué)生成績的波動幅度大,變化顯著,并成正態(tài)分布.

        由表4可知:相關(guān)系數(shù)為0. 615,p=0.000<0.05,說明實驗班學(xué)生前測與后測成績具有相關(guān)性.

        觀察表5每個分數(shù)段對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)、平均分、優(yōu)秀率,可見在單元新課結(jié)束時實驗班和對照班學(xué)生在掌握知識方面和綜合能力方面都相對良好,水平相當.

        由表6可知:經(jīng)過階梯式單元提升作業(yè)的訓(xùn)練,實驗班得分在90以下的人數(shù)減少,得分105~120的人數(shù)得到大幅增長,平均分和優(yōu)秀率都明顯高于對照班,說明實驗班相較對照班總體學(xué)習(xí)狀態(tài)提升明顯,核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力有明顯發(fā)展,基于學(xué)情的階梯式單元提升作業(yè)取得了良好的實驗效果.

        總結(jié)與展望

        在“雙減”的背景下,作業(yè)的優(yōu)化設(shè)計必定會成為一線教師需要認真思考的長久課題. 本文提出的基于學(xué)情的階梯式單元提升作業(yè)設(shè)計也僅僅只是筆者短期內(nèi)的實踐所得,具體長遠的成效以及在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的應(yīng)用作用仍需時間進行考證與探究,我們將繼續(xù)完善“減負提質(zhì)”的作業(yè)設(shè)計,依據(jù)學(xué)科學(xué)習(xí)目標要求,學(xué)生學(xué)情實際,不同學(xué)習(xí)期待水平,內(nèi)容整合的程度、要求和形式的多樣性,探索設(shè)計促進核心素養(yǎng)發(fā)展、以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心,基于單元大問題、大任務(wù)的問題情境,進一步關(guān)注目標與內(nèi)容、關(guān)注進階與組合、關(guān)注結(jié)構(gòu)與本質(zhì)、關(guān)注遷移與創(chuàng)新,將減負增效真正落到實處.

        參考文獻:

        [1]王華. 基于課標與學(xué)生認知特點的初中數(shù)學(xué)課后作業(yè)設(shè)計研究[D]. 上海師范大學(xué),2019.

        [2]方晶. 基于自我診斷的初中數(shù)學(xué)階梯式作業(yè)設(shè)計的研究[D]. 上海師范大學(xué),2019.

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