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        基于作圖立意 精于問題設(shè)計(jì) 促進(jìn)有效復(fù)習(xí)

        2022-05-30 11:14:24張超
        關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué)

        張超

        [摘 ?要] 文章以一堂“全等三角形判定方法”的復(fù)習(xí)課為例,提出初中復(fù)習(xí)課教學(xué)的幾點(diǎn)思考,即教學(xué)方式應(yīng)以學(xué)生為主體,問題設(shè)計(jì)應(yīng)舊知新問,作圖構(gòu)思應(yīng)先面后點(diǎn).

        [關(guān)鍵詞] 全等三角形;復(fù)習(xí)課;初中數(shù)學(xué)

        近期,筆者參加了一堂“全等三角形判定方法”的復(fù)習(xí)課,復(fù)習(xí)課簡約生動(dòng)、別開生面,讓人耳目一新. 現(xiàn)把教學(xué)過程與反思整理如下,與各位同仁交流分享.

        教學(xué)過程

        1. 全等圖形再認(rèn)識(shí)

        師:如圖1所示,美麗的圖案是由全等圖形構(gòu)成的,其中,全等三角形是最基本的全等圖形,本節(jié)課我們再一起認(rèn)識(shí)一下全等三角形.

        設(shè)計(jì)意圖 創(chuàng)設(shè)的情境既讓學(xué)生享受到了數(shù)學(xué)之美,也為后面全等三角形判定方法的復(fù)習(xí)埋下了伏筆.

        2. 設(shè)計(jì)全等圖形

        活動(dòng)1:先畫△ABC,再畫另一個(gè)三角形,使其與△ABC全等,且有一個(gè)公共頂點(diǎn),并在圖形上標(biāo)出這兩個(gè)三角形全等的條件. 可以尺規(guī)作圖,也可以使用刻度尺、量角器、三角尺等作圖. 學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)后在小組內(nèi)進(jìn)行交流,教師在巡視過程中進(jìn)行指導(dǎo),發(fā)現(xiàn)學(xué)生做好的作品,讓其在黑板上進(jìn)行展示(圖2就是部分學(xué)生完成的作品).

        設(shè)計(jì)意圖 這是一道開放性問題,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,有利于促進(jìn)學(xué)生交流與表達(dá),有利于提高學(xué)生解決問題的自信心. 不同的作圖方法開闊了學(xué)生的視野,激發(fā)了學(xué)生的主體意識(shí)與參與意識(shí).

        3. 升華認(rèn)識(shí)

        師:為了讓我們的學(xué)習(xí)更高效,必須有序地整理與歸納問題,下面請同學(xué)們把上述幾位同學(xué)的作品按全等三角形的判定方法進(jìn)行整理歸類.

        生1:第①個(gè)圖形是一類,使用了“邊邊邊”的判定方法;第②個(gè)圖形與第③個(gè)圖形是一類,它們都使用了“邊角邊”的判定方法;第④個(gè)圖形是一類,使用了“角邊角”的判定方法;第⑤個(gè)圖形是一類,使用了“角角邊”的判定方法.

        生2:第③個(gè)圖形使用的是“邊邊角”的判定方法,而全等三角形的判定方法里沒有這種方法,所以第③個(gè)圖形使用的判定方法不正確.

        師:傾聽他人的意見,從中發(fā)現(xiàn)問題,并敢于把問題提出來,就是一種可貴的學(xué)習(xí)品質(zhì),且這位同學(xué)還提出了自己的見解,給這位同學(xué)點(diǎn)贊. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)一方面要關(guān)注結(jié)果,另一方面還要關(guān)注過程. 下面請畫出上述五個(gè)圖形的同學(xué),把你們的作圖過程說出來,并說明為什么這樣畫出的三角形與原三角形全等.

        生3:(第①個(gè)圖形)以點(diǎn)A為圓心,以BC的長為半徑畫弧,再以點(diǎn)B為圓心,以AC的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)D,連接AD,BD. 由作圖可知,AD=BC,AC=BD,AB=BA,根據(jù)“邊邊邊”的判定方法可知△ABC≌△BAD.

        生4:(第②個(gè)圖形)用刻度尺量出AB的長,然后畫線段BE=AB;用量角器量出∠ABE的度數(shù),畫∠CBD=∠ABE,在∠CBD的BD邊上截取BD=BC,連接DE. 由作圖可知,∠CBD=∠ABE,所以∠EBD=∠ABC. 又BE=AB,BD=BC,根據(jù)“邊角邊”的判定方法可得△ABC≌△EBD.

        生5:(第③個(gè)圖形)用量角器量出∠ACB的度數(shù),然后畫∠ACD=∠ACB,以點(diǎn)A為圓心,以AB的長為半徑畫弧與∠ACD的一邊相交于點(diǎn)D,連接AD. 經(jīng)過度量發(fā)現(xiàn)BC=CD,說明△ABC≌△ADC.

        師:在作圖過程中,我發(fā)現(xiàn)按生5的作圖方法只能作出一個(gè)△ADC使△ABC≌△ADC,為什么他根據(jù)“邊邊角”作出的△ADC與△ABC是全等的呢?觀察這兩個(gè)三角形可以發(fā)現(xiàn),它們有兩邊及一邊的對角分別相等,且這個(gè)對角是鈍角,說明可以用“邊邊鈍角”判定兩個(gè)三角形全等.

        生6:(第④個(gè)圖形)延長AC到E,使AE=AB,然后尺規(guī)作圖使∠AED=∠ABC,交AB于點(diǎn)D. 因?yàn)椤螧AC=∠EAD,AB=AE,∠AED=∠ABC,根據(jù)“角邊角”的判定方法可得△ABC≌△AED.

        生7:(第⑤個(gè)圖形)分別延長AC,BC,在BC的延長線上取一點(diǎn)E,使BC=CE,過點(diǎn)E作ED∥AB,交AC的延長線于點(diǎn)D,則∠BAC=∠EDC. 因?yàn)椤螦CB=∠ECD,BC=CE,根據(jù)“角角邊”的判定方法可得△ABC≌△DEC.

        設(shè)計(jì)意圖 教師首先引導(dǎo)學(xué)生按全等三角形的判定方法去分類,有學(xué)生發(fā)現(xiàn)第③個(gè)圖形利用的是“邊邊角”判定方法,不能判定兩個(gè)三角形全等;然后教師向?qū)W生追問作圖過程,旨在引導(dǎo)學(xué)生思考三角形全等的理由. 在此過程中,師生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要的結(jié)論,對于兩個(gè)三角形,有兩條邊對應(yīng)相等,其中一條相等的邊對應(yīng)的是鈍角且相等,那么這兩個(gè)鈍角三角形全等. 整個(gè)引導(dǎo)過程自然天成,于整體上展開教學(xué),于一處點(diǎn)升華,雖然起點(diǎn)很低,但促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知的提升和思維品質(zhì)的發(fā)展.

        4. 反思升華

        活動(dòng)2:如果一個(gè)三角形的兩邊長分別是3 cm和4 cm,有一個(gè)角是40°,請畫出一個(gè)滿足條件的三角形.

        生8:如圖3所示,先畫一個(gè)角等于40°,然后在這個(gè)角的兩邊分別截取3 cm和4 cm的線段,最后連接BC構(gòu)成△ABC.

        生9:如圖4所示,先畫一個(gè)角等于40°,然后在這個(gè)角的一邊截取4 cm的線段,再以線段的右端B為圓心,以3 cm為半徑畫圓,我發(fā)現(xiàn)圓B與射線AD有兩個(gè)交點(diǎn)C,D,連接BC,BD,那么△ABC,△ABD都是符合題意的三角形.

        生10:如圖5所示,先畫一個(gè)角等于40°,然后在這個(gè)角的一邊截取3 cm的線段AB,再以點(diǎn)B為圓心,4 cm的長為半徑畫弧交AC于點(diǎn)C,連接BC,則△ABC也是符合題意的三角形.

        師:請同學(xué)們觀察圖4中的△ABC,△ABD,你有什么發(fā)現(xiàn)呢?

        生11:兩個(gè)三角形,有兩條邊分別對應(yīng)相等,且一邊的對角也相等,但△ABC是鈍角三角形,而△ABD是銳角三角形,這兩個(gè)三角形不可能全等. 也就是說不能利用“邊邊角”判定兩個(gè)三角形全等.

        師:通過剛才的活動(dòng),同學(xué)們發(fā)現(xiàn)已知兩邊與一角,可以作出四個(gè)互不全等的三角形,如果把條件改為“一個(gè)三角形的兩邊長分別是2 cm與4 cm,一個(gè)角是40°”,那么符合條件的三角形一共有幾個(gè)?

        生12:根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)可以作出四個(gè)互不全等的三角形,因?yàn)?0°的角可以作為2 cm邊和4 cm邊的夾角,也可以作為2 cm邊的對角或4 cm邊的對角.

        生13:如圖6所示,當(dāng)40°的角作為2 cm邊的對角時(shí),不能構(gòu)成三角形,所以只能作三個(gè)符合題意的三角形.

        設(shè)計(jì)意圖 從一個(gè)簡單的作圖問題入手,把學(xué)生帶入學(xué)習(xí)狀態(tài),當(dāng)?shù)谝粋€(gè)學(xué)生作出一個(gè)圖形時(shí),教師又引導(dǎo)學(xué)生作出第二個(gè)、第三個(gè)圖形,根據(jù)這三個(gè)圖形巧妙地說明了利用“邊邊角”并不能判定兩個(gè)三角形全等. 接著,教師升級(jí)問題,改變已知條件,結(jié)果只能作出三個(gè)符合題意的三角形. 在作圖過程中,凸顯了分類討論數(shù)學(xué)思想,充分體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)思想.

        5. 全等大盤點(diǎn)

        師:在本節(jié)課即將結(jié)束時(shí),有必要對所學(xué)內(nèi)容與方法進(jìn)行盤點(diǎn),只有這樣才能提高學(xué)習(xí)效益. 同學(xué)們,在作圖過程中,應(yīng)用了哪些知識(shí)?運(yùn)用了哪些方法?

        經(jīng)過盤點(diǎn),學(xué)生得知應(yīng)用“角角角”“邊邊角”不能證明兩個(gè)三角形全等,只有“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“邊邊邊”才能證明兩個(gè)三角形全等.

        設(shè)計(jì)意圖 簡單的問題,在盤點(diǎn)知識(shí)與方法的同時(shí),也滲透了數(shù)學(xué)思想方法.

        教學(xué)反思

        1. 作圖構(gòu)思——先面后點(diǎn)

        復(fù)習(xí)課要達(dá)到兩個(gè)目標(biāo):一是把學(xué)過的知識(shí)進(jìn)一步內(nèi)化,二是提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力[1]. 本課教學(xué)中,教師以作圖構(gòu)思整個(gè)課堂,從課堂開始到高潮到結(jié)束,都圍繞作圖進(jìn)行追問,對圖形進(jìn)行整理與歸類,力求突破與超越尺規(guī)作圖. 在實(shí)踐過程中,學(xué)生思維之間的碰撞與啟發(fā),隨機(jī)生成許多意想不到的作圖方法,又一次詮釋了“角角角”“邊邊角”不能判定兩個(gè)三角形全等的原因.

        2. 設(shè)計(jì)問題——舊知新問

        復(fù)習(xí)課不是簡單的舊知識(shí)重復(fù),只有對學(xué)過的知識(shí)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行設(shè)計(jì),才能引發(fā)學(xué)生思考,避免學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的審美疲勞而讓學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣. 在設(shè)問的構(gòu)思上,力求設(shè)計(jì)有層次,解決問題的方式方法多樣化,體現(xiàn)舊知新問的智慧. 比如,復(fù)習(xí)全等三角形的判定方法時(shí),教師沒有直接向?qū)W生問判定方法,而是給學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)作圖任務(wù),這個(gè)任務(wù)具有開放性與操作性,學(xué)生面對問題,各顯神通,達(dá)到了良好的復(fù)習(xí)效果.

        3. 教學(xué)方式——學(xué)為主體

        復(fù)習(xí)效果如何,取決于學(xué)生參與課堂的積極程度[2]. 教師必須選擇合理的教學(xué)方法,才能吸引學(xué)生參與課堂教學(xué),如本復(fù)習(xí)課立足學(xué)生的認(rèn)知水平,以動(dòng)手作一個(gè)與原三角形全等的三角形為載體,開啟整個(gè)課堂教學(xué),時(shí)而利用小組合作,交流互動(dòng),時(shí)而利用追問,引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)新的策略,把以學(xué)生為主體的理念切切實(shí)實(shí)地落在了實(shí)處.

        參考文獻(xiàn):

        [1] 吳曉剛. 突破常規(guī)框架 促進(jìn)深入學(xué)習(xí)——以“全等三角形復(fù)習(xí)”為例[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)(初中版),2021(09):56-58.

        [2] 張錄林.注重教學(xué)主線 落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)——以“全等三角形”復(fù)習(xí)課為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2021(21):3-4.

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