張鵬

［摘 ?要］ 文章以“無理數(shù)”教學為例，立足概念的建構過程，在引導學生掌握無理數(shù)概念的同時，促進學生的認知發(fā)展，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

［關鍵詞］ 概念建構；核心素養(yǎng)；無理數(shù)

由于七年級學生知識儲備不夠，沒有認識無理數(shù)的現(xiàn)實經(jīng)驗，因此學生理解無理數(shù)存在一定的困難. 如何建構無理數(shù)概念呢？如何使用有限逼近、合情推理的方法，讓學生認識無理數(shù)呢？在學習無理數(shù)的過程中，如何落實數(shù)學素養(yǎng)的提升呢？筆者就本節(jié)課教學展開討論，與大家分享筆者的教學實踐與思考.

教材分析

經(jīng)過前一節(jié)課的學習，學生已經(jīng)了解了正數(shù)、負數(shù)的意義，構建了整數(shù)體系與分數(shù)體系，讓數(shù)集體系得到了進一步的擴充. 本節(jié)課將學習兩個重要的概念——有理數(shù)和無理數(shù)，無理數(shù)是對數(shù)系的又一次擴充. 教材這樣安排教學內(nèi)容是基于知識的延續(xù)性，學生學完有理數(shù)與無理數(shù)后，可以為后面學習數(shù)軸、在數(shù)軸上表示數(shù)、完善數(shù)系都有很大的幫助，有助于發(fā)展學生的數(shù)學思維，也避免了圓周率π無處安放的尷尬.

本節(jié)課的難點在于無理數(shù)的認識. 由于在學生的現(xiàn)實生活中，與無理數(shù)相關的信息實在太少，僅有的內(nèi)容是圓周長計算與圓面積計算時接觸的圓周率π. 同時，對于研究“無限”，學生也缺乏經(jīng)驗，因此建構無理數(shù)的概念具有一定困難. 教材安排了這樣一個操作活動，讓學生感知無理數(shù)的存在，即用兩個邊長為1的正方形，沿對角線剪開后得到四個等腰直角三角形，然后拼成一個大正方形，它的面積是2，求它的邊長；然后教材運用列舉法與逼近法，讓學生感受大正方形的邊長無法寫成分數(shù)的形式，它的值是一個無限不循環(huán)小數(shù)，最后得到無理數(shù)的概念. 為了讓學生進一步感受無理數(shù)的存在與多樣，強化對無理數(shù)的認識與理解，教材出示了圓周率π，自行構造無限不循環(huán)小數(shù).

為了讓學生積累數(shù)學經(jīng)驗，發(fā)展思維能力，提升數(shù)學素養(yǎng)，筆者確定本節(jié)課的教學目標如下：（1）分析前面學習的整數(shù)與分數(shù)，猜想是否存在其他的數(shù)，既不是整數(shù)，也不是分數(shù)；從有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)的角度猜想是否存在無限不循環(huán)小數(shù). （2）制作面積為2的正方形，體會它的邊長不能寫成分數(shù)的形式. （3）在分析比較、歸納猜想的過程中，感受有理數(shù)與無理數(shù)的存在，通過無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史故事，幫助學生感受數(shù)學家探索真理的精神，激發(fā)學生學習的信心與熱情.

教學過程

1. 回顧舊知，引出新知

活動1：回顧發(fā)現(xiàn). 從各個不同的角度寫幾個具體的整數(shù)與分數(shù)，然后解決以下的問題：（1）嘗試把這些數(shù)都寫成兩個整數(shù)比的形式，并總結你的發(fā)現(xiàn). （2）嘗試把這些數(shù)都化成小數(shù)的形式，并總結你的發(fā)現(xiàn). （3）嘗試把下面的小數(shù)寫成分數(shù)的形式：1.2，-6.8，32.31， 1.3333…，58.6666…. 把你的發(fā)現(xiàn)與同伴交流分享.

設計意圖 本活動通過三個問題先讓學生獨立思考，再交流研討，旨在復習前面學習的整數(shù)與分數(shù)的意義，讓學生充分體會所有的整數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，整數(shù)與分數(shù)都可以化成小數(shù)的形式；反之，不論是有限小數(shù)還是循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)的形式. 在獨立思考與交流合作中，培養(yǎng)學生的思考力、合作意識與語言表達能力.

2. 精準建構，探索新知

活動2：合理猜想. 前面我們學習了有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)，請同學們想一想，除了這兩種小數(shù)外，還會有什么樣的小數(shù)呢？如果存在，試著寫幾個出來，與其他同學交流分享.

設計意圖 本活動旨在引導學生觀察有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)的特征，進而發(fā)現(xiàn)無限不循環(huán)小數(shù)；同時，鼓勵學生自行構造形如3.12112111211112…這樣的無理數(shù)，感受無限不循環(huán)小數(shù)的存在，培養(yǎng)學生的分類意識與創(chuàng)新意識.

活動3：拼圖討論. 如圖1所示，把兩個邊長都是1的正方形，沿它們的對角線剪開，然后拼成一個大正方形. 請回答：（1）設大正方形的邊長為x，那么x是整數(shù)嗎？你的理由是什么？（2）x是分數(shù)嗎？說說你的想法. （3）通過上述探究，請估計x所處的范圍，并說出你的想法，嘗試估計x的整數(shù)部分、十分位、百分位，等等. （4）請寫出關于x的一個特征，在小學學習數(shù)學中遇到過類似的數(shù)嗎？請介紹一下.

設計意圖 本活動引導學生識圖，按圖示拼圖，發(fā)現(xiàn)拼成了一個面積為2的正方形，讓學生思考：這個正方形的邊長是多少呢？從而開啟學生發(fā)現(xiàn)此正邊形邊長的探索之旅. 從直角三角形的斜邊長可得正方形的邊長x一定大于1，從三角形“兩邊之和大于第三邊”可得正方形的邊長x一定小于2；或者根據(jù)12=1，22=4也可得正方形的邊長x在1與2之間，不是整數(shù). 通過分母分別是2，3，4的分數(shù)的平方進行計算，發(fā)現(xiàn)x也不是分數(shù). 然后引導學生從x的整數(shù)部分、十分位、百分位、千分位等數(shù)位估算x的值. 讓學生體會到x不是整數(shù)，也不是分數(shù)，而是小數(shù)，且是無限不循環(huán)小數(shù). 在此過程中，讓學生體會到無限逼近與合情推理等數(shù)學思想.

活動4：合理分類. 從上面的討論可以看出，小數(shù)可以分為哪三個類型？前面學習的分數(shù)與整數(shù)可以化為何種小數(shù)？

設計意圖 本活動引領學生建構有理數(shù)與無理數(shù)的概念，形成數(shù)的分類結構圖. 小數(shù)可以分為有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)，其中有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).

3. 鞏固應用，深化理解

活動5：歸類與辨析.

（1）把下列各數(shù)填入相應的括號里：，7，-0.01，-3.2020020002…，-15， 2.95，0，.

整數(shù)集合：｛ ? ?｝；分數(shù)集合：｛ ? ?｝；負有理數(shù)集合：｛ ? ?｝；無理數(shù)集合：｛ ? ?｝.

（2）下列說法正確的是（ ?）

A. 無限小數(shù)都是無理數(shù)

B. 無理數(shù)都是無限小數(shù)

C. 有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)

D. 正數(shù)都是有理數(shù)

4. 課堂小結，整體建構

（1）什么是有理數(shù)？什么是無理數(shù)？本節(jié)課我們研究它們的思路是什么？（2）介紹關于發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的故事.

教學后思

在數(shù)學概念教學中，作為數(shù)學教師，不能忽視概念的形成過程，要觸及學生的深度思考，建構學生不易遺忘的數(shù)學體系.

1. 概念建構的立足點

關于數(shù)學概念的建構，教師應關注概念建構的立足點：（1）了解學生原有的認知發(fā)展區(qū)間、找到知識之間的連結點. （2）探尋學生的最近發(fā)展區(qū)，讓學生“跳一跳就能摘到桃子”. （3）明晰教材的知識線以及學生的素養(yǎng)線. 學習本節(jié)課時，學生已經(jīng)學會了整數(shù)、分數(shù)與有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)的互化，這是學生認知的基點. 當數(shù)系從正到負擴充到有理數(shù)后，自然會聯(lián)想從有理數(shù)向無理數(shù)的擴充，筆者從無限循環(huán)小數(shù)的“循環(huán)”引導學生聯(lián)想“不循環(huán)”，其中的圓周率π就是可借鑒的實例，促進了學生的認知發(fā)展［1］.

2. 概念建構的載體

問題是數(shù)學的心臟，也是概念建構的有效載體，這需要教師精心設置問題，讓學生的思考步步深入，在多視角、多層次、全方位的探索中，使解決問題的策略與路徑得到優(yōu)化，通過反思歸納最終生成概念，進而使學生的思維得到發(fā)展. 本節(jié)課通過前置的三個問題構建了分數(shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，然后通過求異思維猜測新數(shù)是否存在；接著制作面積為2的正方形，揭示無理數(shù)的本質特征——無限不循環(huán)；最后用分類的方法建構了有理數(shù)與無理數(shù)的概念.

3. 概念建構的原則

概念的建構應遵循“以生為本”的原則，喚起學生的主體意識，創(chuàng)建生成型課堂. 本節(jié)課設置的數(shù)學情境立足學生已有的認知水平，在教學的推進過程中，通過設計有層次性、引導性的問題，創(chuàng)造自主探究、合作交流的學習氛圍，讓學生積極參與數(shù)學活動，在自主探究、合作交流中，實現(xiàn)了學生的全員參與，使其感受到了數(shù)學探究的苦與樂，積累了有效的數(shù)學活動經(jīng)驗.

4. 概念建構的落腳點

數(shù)學教學的落腳點是傳承數(shù)學文化、形成核心素養(yǎng). 章建躍教授指出，教師要理解數(shù)學、理解學生、理解教學. 理解數(shù)學是指挖掘數(shù)學知識的內(nèi)在價值與邏輯，關注數(shù)學文化，引導學生從數(shù)學的角度認識世界；理解學生是指把握學生的認知水平，以學生可以接受的方式表達數(shù)學內(nèi)容；理解教學是指掌握數(shù)學教學規(guī)律，錘煉教學智慧，形成多樣教學方法［2］. 本節(jié)課中，筆者基于理解數(shù)學、理解學生、理解教學，立足教材的知識線以及學生的素養(yǎng)線，合理安排無理數(shù)概念的構建過程，培養(yǎng)了學生數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 王華. “兩次倒轉”：數(shù)學概念教學的應然選擇——以“無理數(shù)”教學為例［J］. 江蘇教育，2021（45）：34-37.

［2］ 劉洪超，周楊. 歷史視角的“無理數(shù)”概念教學思考——基于對無理數(shù)概念教學淺表化現(xiàn)象的分析［J］. 中學數(shù)學雜志，2021（01）：27-30.