宋煜陽

［摘 要］幾何直觀的內(nèi)涵強(qiáng)調(diào)了直觀手段的豐富性和運(yùn)用幾何直觀的意識和習(xí)慣。幾何直觀的素養(yǎng)表現(xiàn)為圖形的特征與分類、圖形的描述與性質(zhì)、建立數(shù)與形的聯(lián)系、利用圖表探索思路四個(gè)部分。培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)可以圍繞識圖、畫圖兩個(gè)維度設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)。設(shè)計(jì)識圖表現(xiàn)性任務(wù)時(shí)，要從各類圖示中識別概念（從關(guān)系圖中識別圖形的分類、從復(fù)雜圖形中識別圖形的概念、從圖形的操作中想象結(jié)果），從圖示表征中理解概念，利用動態(tài)想象簡化思路，利用圖形直觀解釋數(shù)學(xué)事實(shí)；設(shè)計(jì)畫圖表現(xiàn)性任務(wù)時(shí)，要用圖來表征題意和數(shù)量關(guān)系，用圖來表達(dá)問題過程和結(jié)果，用圖表解決開放性問題。

［關(guān)鍵詞］幾何直觀；素養(yǎng)表現(xiàn)；識圖；畫圖

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0008-05

一、幾何直觀的內(nèi)涵變化

幾何直觀，既是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下稱“2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)”）的核心詞之一，又是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱“2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)“）提出的核心素養(yǎng)之一。雖然名稱沒有發(fā)生變化，但在概念表述上發(fā)生了變化，具體內(nèi)容對照如表1所示。

什么是幾何直觀？ 2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)中定義為“利用圖形描述和分析問題”，2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)中定義為“運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣”。在概念內(nèi)涵上，原先的“利用圖形”調(diào)整為了“運(yùn)用圖表”，這意味著什么？說明直觀的手段豐富了，除了圖形，還可以是表格。而列表解決問題，就充分發(fā)揮了表格在一一列舉、有序思考中的直觀作用。

人教版教材中還有許多幫助學(xué)生體會列表的直觀性的素材。如，一年級連加問題“3個(gè)同學(xué)一起折小星星，每人折了6個(gè)。他們一共折了多少個(gè)小星星？”（如圖1），本質(zhì)是解決“幾個(gè)6相加”。教學(xué)中，教師在組織學(xué)生自主畫圖、列式表征的同時(shí)，引入表格并給出部分信息，就能讓學(xué)生解讀表格信息后繼續(xù)填寫，體會表格的直觀性。此外，三年級的“正好問題”“長方形和正方形拼組后的周長最短問題”等，也都突出列表法在一一列舉時(shí)不重復(fù)、不遺漏的特點(diǎn)，使學(xué)生感受到列表法的有序性。

幾何直觀概念內(nèi)涵發(fā)生變化的是，要求更高了，更強(qiáng)調(diào)意識與習(xí)慣的養(yǎng)成。這一要求凸顯了幾何直觀作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的整體性、一致性和階段性。為此，幾何直觀培養(yǎng)的目標(biāo)，不僅僅是形成描述和分析問題的手段技能，更重要的是形成意識、養(yǎng)成習(xí)慣。

二、幾何直觀的素養(yǎng)表現(xiàn)

幾何直觀的素養(yǎng)表現(xiàn)主要包括圖形的特征與分類、圖形的描述與性質(zhì)、建立數(shù)與形的聯(lián)系、利用圖表探索思路四個(gè)部分。

1.圖形的特征與分類

圖形的特征與分類，要求“能夠感知各種幾何圖形及其組成要素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類”，要點(diǎn)是圖形與要素感知、根據(jù)圖形特征分類。

史寧中教授指出，幾何直觀表現(xiàn)形式包括實(shí)物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀四種形式。這里強(qiáng)調(diào)的是圖形直觀這種表現(xiàn)形式，重點(diǎn)感知圖形要素和特征分類。如圖2所示的選擇題就是考查學(xué)生對圖形特征的理解，以及梳理圖形概念之間的關(guān)系的能力。

2.圖形的描述與性質(zhì)

圖形的描述與性質(zhì)，要求“根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)”。2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)新增了“尺規(guī)作圖”，要求學(xué)生運(yùn)用語言描述圖形，并利用尺規(guī)工具畫出相應(yīng)圖形，促使學(xué)生體會或探索圖形的性質(zhì)。

比如，借助用直尺和圓規(guī)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性，以及線段的長度就是三角形的周長。在這個(gè)過程中，實(shí)踐操作、直觀演示都能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三角形的周長就是三條線段首尾相連的總長度，對圖形周長的本質(zhì)屬性有更為清晰的認(rèn)識。

又如，在三角形三邊關(guān)系的探索中，關(guān)于“兩邊之和等于第三邊”“兩邊之和小于第三邊”時(shí)能否圍成三角形的情形歷來是教學(xué)的難點(diǎn)。以往教學(xué)中，教師一般是借助小棒等實(shí)物操作（也就是實(shí)物直觀的手段）來驗(yàn)證，而小棒由粗細(xì)造成的誤差，以及小棒固定的長度限制了學(xué)生自主探索的空間，會造成學(xué)生感悟不深?，F(xiàn)在借助尺規(guī)工具，在三角形三邊關(guān)系探索中能夠體現(xiàn)幾何直觀的優(yōu)勢，學(xué)生可以自主探索，任意調(diào)整圓規(guī)，畫出不同長短的線段，不拘泥于教師給定的長度；可以通過用圓規(guī)畫弧線，體會線段圍不成三角形的原因——兩條短的弧線沒有交點(diǎn)，也就不能圍成三角形。

3.建立數(shù)與形的聯(lián)系

建立數(shù)與形的聯(lián)系，要求“建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型”。這部分主要表現(xiàn)為數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算的表征與理解、數(shù)量關(guān)系的表征。

比如，十進(jìn)制是數(shù)的認(rèn)識核心要素。不僅是整數(shù)的認(rèn)識，小數(shù)的認(rèn)識也強(qiáng)調(diào)“相鄰計(jì)數(shù)單位是10”。因此，可以利用直觀圖幫助學(xué)生體會相鄰計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系。在“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中，教師可以依次出示如圖3所示的直觀圖，讓學(xué)生體會相鄰計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系：10個(gè)一是1個(gè)十，10個(gè)十是1個(gè)百，10個(gè)百是1個(gè)千。當(dāng)然，在認(rèn)識小數(shù)時(shí)，可以借助圖形之間的聯(lián)系進(jìn)一步理解計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系，例如逆向推算：把立方體看成1，那么一個(gè)面、一條、一個(gè)小方塊分別是它的1/10，1/100，1/1000。

在解決問題的過程中，幾何直觀主要體現(xiàn)在題意的理解與數(shù)量關(guān)系的分析上。比如，人教版教材中的“例8 媽媽買3個(gè)碗用了18元。如果買8個(gè)同樣的碗，需要多少錢？”，強(qiáng)調(diào)畫圖是解決問題的有效策略，培養(yǎng)學(xué)生借助直觀圖理解問題、解釋算法的能力。因此，在組織學(xué)生讀題、明確信息和問題后，可以提出以下要求：如果你解決這個(gè)問題有困難，可以嘗試畫圖來分析；如果你能夠直接列式，請畫圖解釋算式的含義或道理。通過比較實(shí)物圖、示意圖和線段圖，學(xué)生不僅分析了兩步計(jì)算的數(shù)量關(guān)系，感知了“單一量不變”的問題特征，還體會到線段圖在幾何直觀層面更為抽象、更為便捷。

4.利用圖表探索思路

利用圖表探索思路，要求“利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路”。比如，能在熟悉的情境中描述簡單的路線圖：描述從學(xué)校回家的路線示意圖，注明方向和途中的主要參照物?？梢宰寣W(xué)生先用日常語言描述回家的路線，然后在圖上標(biāo)出方位，畫出路線圖，標(biāo)明主要參照物，從而建立幾何直觀。

三、幾何直觀的表現(xiàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)

因?yàn)閹缀沃庇^是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識和習(xí)慣，所以就意識和習(xí)慣而言，幾何直觀評價(jià)的關(guān)鍵在于學(xué)生應(yīng)用幾何直觀的自主性、自覺性和自省性，這種以自我調(diào)控為特征的意識形態(tài)，很難用操作層面的學(xué)習(xí)任務(wù)來衡量。但是，圍繞識圖、畫圖兩個(gè)維度設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)，就能考查學(xué)生對“圖表描述和分析問題”的表現(xiàn)水平。

1.識圖表現(xiàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)

例1就是通過集合圖來考查學(xué)生對圖形之間的關(guān)系是否了解。題中涉及圖形之間一般與特殊的關(guān)系，如長方形和平行四邊形、等邊三角形與等腰三角形；還涉及圖形定義與特征之間的關(guān)系，如梯形與四邊形、等腰直角三角形與直角三角形的關(guān)系都可以從定義、特征等方面進(jìn)行梳理。

幾何直觀，重在意識與習(xí)慣的養(yǎng)成。教師要緊扣幾何直觀素養(yǎng)的內(nèi)涵與主要表現(xiàn)，將識圖、畫圖的表現(xiàn)性任務(wù)一以貫之；要緊扣第一、二學(xué)段“初步形成幾何直觀”、第三學(xué)段“形成幾何直觀”的學(xué)段目標(biāo)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀核心素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022 年版[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 楊春燕.在“變”中找“不變”：六年級“找規(guī)律”習(xí)題一組[J].教育視界，2021（29）：74-76.

【本文系浙江省教研課題“小學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題開發(fā)與應(yīng)用研究”（立項(xiàng)編號：02228）的階段性研究成果?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）