李 桐，王 楠，祝萬(wàn)錢(qián)，任祖洋，金利民，薛 松*

（1.中國(guó)科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所,上海 201800；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049；3.中國(guó)科學(xué)院上海高等研究院,上海 201800）

1 引言

在同步輻射光束線(xiàn)中，通常采用各種類(lèi)型的光學(xué)組件對(duì)同步輻射光進(jìn)行偏轉(zhuǎn)、準(zhǔn)直、分光和聚焦等，最后傳輸?shù)綄?shí)驗(yàn)站中[1]。聚焦鏡作為其中一個(gè)關(guān)鍵設(shè)備，具有光束準(zhǔn)直、聚焦、偏轉(zhuǎn)、抑制高次諧波等功能。同步輻射光束多為掠入射反射模式，為獲得足夠的接收角，需要反射鏡在光線(xiàn)入射方向（即子午方向）具有一定的尺寸，所以反射鏡通常為橫向略窄而軸向較長(zhǎng)的長(zhǎng)條形[2]。但是鏡子一旦加工成型后，其面形很難改變，只能滿(mǎn)足特定參數(shù)要求的線(xiàn)站需求，靈活性不夠[3]。因此需要通過(guò)壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)進(jìn)行反射鏡壓彎，根據(jù)不同的使用需求，控制壓彎力或者桿件位移來(lái)壓彎不同的面形，從而得到各種面形的反射鏡。不同光束線(xiàn)上壓彎鏡的形狀、作用和尺寸都不一樣，因此壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)也會(huì)有較大的差別。

20 世紀(jì) 70 年代，基于傳統(tǒng)望遠(yuǎn)鏡等光學(xué)元件加工方式，以德國(guó)蔡司、法國(guó) Winlight、Thales SESO、日本大阪大學(xué)及 JETC 公司等為代表的公司逐步開(kāi)始了同步輻射元件的研制[4]。隨著同步輻射光源的發(fā)展，光源的發(fā)射度越來(lái)越小，對(duì)聚焦鏡的光學(xué)要求也越來(lái)越嚴(yán)格。我國(guó)在壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)的研究起步較晚，但目前國(guó)內(nèi)科研與工程人員在努力追趕最先進(jìn)的國(guó)際水平（壓彎精度≤0.2 μrad）。上海光源一期建設(shè)時(shí)，我國(guó)自主研發(fā)的壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)的壓彎精度可以達(dá)到1.5～2.0 μrad 左右[3]，經(jīng)過(guò)多年努力，壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)的壓彎精度可以達(dá)到0.5 μrad，甚至更好的水平。在制造精度有限的條件下，橢圓聚焦被認(rèn)為是同步輻射光束線(xiàn)中理想的聚焦模式[1]，光源點(diǎn)和成像點(diǎn)分別位于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)上，因此理論上壓出近乎完美的橢圓可以減少光束線(xiàn)的傳輸誤差[5]。

反射鏡壓彎是基于梁的彎曲變形理論，通過(guò)理論計(jì)算，反射鏡的變寬高次曲線(xiàn)可以使橢圓壓彎的理論殘差趨近于零，但是受反射鏡加工難度和成本限制，實(shí)際上多采用梯形變寬或多段梯形變寬反射鏡。梯形變寬反射鏡橢圓壓彎必然有無(wú)法消除的理論誤差，本文針對(duì)特定理想橢圓曲線(xiàn)且存在弧矢半徑槽導(dǎo)致反射鏡慣性矩變化系數(shù)與梯形變寬系數(shù)不相等的情況下進(jìn)行梯形反射鏡尺寸設(shè)計(jì)和模擬驗(yàn)證，設(shè)計(jì)要求壓彎理論殘差小于0.1 μrad。

2 反射鏡參數(shù)計(jì)算及優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 反射鏡面形參數(shù)

反射鏡的面形一般由物距p、像距q和掠入射角 θ確定，本次設(shè)計(jì)的反射鏡面形為橢圓面形[6]，橢圓壓彎聚焦模式如圖1 所示。

圖1 橢圓壓彎聚焦原理圖Fig.1 Schematic diagram of elliptical bending focus

根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合反射鏡面形參數(shù)，可以嚴(yán)格推導(dǎo)出理想壓彎?rùn)E圓面形方程[7-8]：

在實(shí)際的工程計(jì)算中，為了便于進(jìn)行理論計(jì)算，通常采用橢圓方程在反射鏡中心處的麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式，一般選在二次方之前。而對(duì)于最終的面形斜率誤差求解則采用公式（1）中的理想橢圓方程，其麥克勞林級(jí)數(shù)表達(dá)式[7,9-10]為

其中的參數(shù)ai為

在同步輻射光學(xué)中，光學(xué)元件的面形精度通常采用光學(xué)表面的斜率誤差進(jìn)行評(píng)價(jià)，在本文中定義為壓彎變形曲線(xiàn)與理想橢圓曲線(xiàn)斜率方程差值的均方根。

2.2 梁的彎曲

在同步輻射中，由于反射鏡的長(zhǎng)寬比很大，因此反射鏡的壓彎可以簡(jiǎn)化成梁的壓彎，如圖2所示。

圖2 壓彎鏡示意圖Fig.2 Schematic diagram of the bending mirror

在材料力學(xué)中，梁彎曲的一般方程可以表示為

其中，ρ(x)為反射鏡曲率半徑，E為反射鏡基板材料的楊氏模量，M(x)為彎矩方程，I為柱面鏡截面的慣性矩（I(x)=b(x)t3/12，b和t分別為反射鏡的寬度及厚度）。根據(jù)材料力學(xué)公式可知，M(x)=，其中L為反射鏡長(zhǎng)度。

本次設(shè)計(jì)反射鏡的主要參數(shù)如表1 所示。

表1 反射鏡設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Main indicators of the designed mirror

基于變寬度壓彎?rùn)E圓柱面微聚焦鏡理論中的公式可得出[9]，反射鏡兩端的寬度分別為49 mm 和90 mm，反射鏡兩端彎矩分別為M1=81.138 2 N·m，M2=91.468 6 N·m。將上述結(jié)果帶入所建立的反射鏡模型后進(jìn)行仿真分析，建立的三維模型如圖3 所示。

圖3 反射鏡模型軸測(cè)圖Fig.3 Axonometric view of mirror model

使用有限元方法對(duì)反射鏡壓彎進(jìn)行力學(xué)分析，將反射鏡模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，采用六面體單元，網(wǎng)格尺寸為2 mm，網(wǎng)格劃分如圖4 所示。

圖4 模型網(wǎng)格劃分Fig.4 Meshing results of the mirror model

本次仿真分析中反射鏡的材料屬性如表2所示。

表2 用于仿真分析的材料屬性Tab.2 Properties of the material used in the simulation analysis

將彎矩施加在反射鏡兩端，對(duì)反射鏡兩端進(jìn)行簡(jiǎn)支梁約束，仿真得出反射鏡面形，其面形如圖5 所示。

圖5 反射鏡壓彎面形及斜率分析Fig.5 Analysis of the bending surface shape and slope of the mirror

仿真計(jì)算出的斜率誤差與原計(jì)算公式得出的系統(tǒng)斜率誤差對(duì)比如表3 所示。由于本次設(shè)計(jì)的反射鏡包含弧矢半徑柱面，仿真斜率誤差與系統(tǒng)斜率誤差相差很大，因此，無(wú)法忽略弧矢聚焦槽口對(duì)斜率誤差的影響，而原公式只對(duì)平面反射鏡適用，這就需要重新對(duì)公式進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算。

表3 本文計(jì)算的與初始公式計(jì)算的斜率誤差對(duì)比Tab.3 Comparison of the slope errors calculated in this paper with that calculated by the initial formula

2.3 反射鏡優(yōu)化設(shè)計(jì)

在材料力學(xué)中，可以將變截面慣性矩看作多個(gè)簡(jiǎn)單截面慣性矩進(jìn)行計(jì)算。本文研究的反射鏡的截面可以簡(jiǎn)化成變矩形截面與槽截面的差值，由于槽口截面一定，矩形截面寬度隨反射鏡長(zhǎng)度的變化而變化，導(dǎo)致反射鏡截面的形心也在不斷變化，此前慣性矩公式無(wú)法準(zhǔn)確表述各截面的實(shí)際慣性矩。反射鏡截面慣性矩計(jì)算示意圖如圖6 所示。

圖6 截面慣性矩示意圖Fig.6 Schematic diagram of the section moment of inertia

根據(jù)移軸定理公式計(jì)算截面慣性矩，其形心（yc）坐標(biāo)公式：

其中I1,I2,I3分別為矩形ABCD、扇形OEF、三角形OEF的慣性矩，Iall為截面慣性矩，yi為各部分形心到矩形ABCD中心X軸的距離。

從式（5）、式（6）可以看出，截面慣性矩中的變量為反射鏡的寬度b，大小與反射鏡長(zhǎng)度成正比，其余慣性矩皆為常數(shù)。通過(guò)對(duì)該尺寸參數(shù)下的截面進(jìn)行慣性矩計(jì)算，得到在反射鏡中間處截面慣性矩為：I0=711 521.571 mm4。由于慣性矩與反射鏡長(zhǎng)度成正比，因此可以將慣性矩進(jìn)行線(xiàn)性表述，計(jì)算得其斜率值k′≈?0.5。通過(guò)程序?qū)竭M(jìn)行驗(yàn)算，計(jì)算得出的反射鏡各點(diǎn)處的慣性矩如圖7 所示。

圖7 反射鏡各點(diǎn)處慣性矩Fig.7 Moment of inertia at each point of the mirror

其彎曲方程[7,9-11]可以轉(zhuǎn)換為

對(duì)反射鏡兩端寬度進(jìn)行求解，公式推導(dǎo)如下所示

在公式（8）中，反射鏡寬度b為關(guān)于反射鏡長(zhǎng)度的一次函數(shù)，因此慣性矩公式可以簡(jiǎn)化為

其中b0為反射鏡中心處寬度，k′為慣性矩與反射鏡長(zhǎng)度關(guān)系的斜率系數(shù)。最終計(jì)算得出的反射鏡寬度中的斜率k=?0.488 3。代入=b0(1+kx)中即可求得反射鏡兩端寬度分別為49.5 mm 和90.5 mm。

在實(shí)際工程應(yīng)用中反射鏡橢圓聚焦時(shí)其面形方程可以通過(guò)麥克勞林展開(kāi)式來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，其一般方程為

對(duì)其麥克勞林展開(kāi)方程進(jìn)行二次求導(dǎo)，并代入公式(6)中可以得出反射鏡橢圓壓彎時(shí)兩端所需彎矩大小，其公式[10]為

反射鏡壓彎斜率誤差RMS 可以通過(guò)對(duì)反射鏡的曲率方程進(jìn)行積分化簡(jiǎn)計(jì)算得出，將其曲率方程化簡(jiǎn)為以下方程[8]再進(jìn)行積分

其中參數(shù)c,d,j分別為

由式（13）、式（14）可以計(jì)算得出在實(shí)際工程中橢圓壓彎反射鏡的斜率表達(dá)式

至此，修正后的反射鏡兩端寬度分別為49.5 mm 和90.5 mm，兩端力矩M1，M2分別為79.177 4 N·m，89.252 5 N·m。將修正后的力矩值代入仿真計(jì)算中，修正前后斜率誤差RMS 值對(duì)比如表4 所示。

表4 修正前后斜率誤差對(duì)比Tab.4 Comparison of the slope errors before and after correciton

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，修正后斜率誤差RMS 值得到了數(shù)量級(jí)上的提升，同時(shí)，修正后的斜率誤差RMS 值更接近系統(tǒng)誤差值，可以認(rèn)為計(jì)算值可靠。本次反射鏡需求有效光學(xué)尺寸為1 m，可以看出將慣性矩為線(xiàn)性分布代入公式計(jì)算出的仿真誤差更貼近系統(tǒng)誤差值。本次修正后的公式基本適用于各類(lèi)變截面反射鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終的修正效果顯著。

3 結(jié)論

本文基于橢圓柱面鏡聚焦原理，對(duì)反射鏡整體參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)及優(yōu)化，并根據(jù)實(shí)際需求，推導(dǎo)了完整的計(jì)算、優(yōu)化流程。在光學(xué)參數(shù)及反射鏡長(zhǎng)度一定時(shí)，通過(guò)公式計(jì)算設(shè)計(jì)出反射鏡的兩端寬度，同時(shí)優(yōu)化計(jì)算出壓彎彎矩大小，采用有限元分析校核了該優(yōu)化的有效性。在反射鏡有效長(zhǎng)度為1 m 的情況下，斜率誤差RMS 值為0.063 6 μrad，與系統(tǒng)斜率誤差RMS 值0.040 7 μrad 更貼近，同時(shí)滿(mǎn)足壓彎?rùn)C(jī)構(gòu)引入誤差<0.1 μrad 的設(shè)計(jì)需求。該方法不僅針對(duì)此類(lèi)截面有效，針對(duì)不同截面的反射鏡依然可以參照此計(jì)算思路進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。