武鵬飛，張　贊，鄭　義，張　娟，王堯堯，趙　星*，王靈杰，伍雁雄

(1.南開大學(xué) 現(xiàn)代光學(xué)研究所 光學(xué)信息技術(shù)科學(xué)教育部重點實驗室，天津 300071；2.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所光學(xué)系統(tǒng)先進制造技術(shù)中國科學(xué)院重點實驗室， 吉林 長春 130033)

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采樣點分布對基于面形斜率徑向基模型的自由曲面擬合精度的影響

武鵬飛1，張贊1，鄭義1，張娟1，王堯堯1，趙星1*，王靈杰2，伍雁雄2

(1.南開大學(xué) 現(xiàn)代光學(xué)研究所 光學(xué)信息技術(shù)科學(xué)教育部重點實驗室，天津 300071；2.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所光學(xué)系統(tǒng)先進制造技術(shù)中國科學(xué)院重點實驗室， 吉林 長春 130033)

鑒于自由曲面模型的面形擬合精度在自由曲面表征以及面形初始結(jié)構(gòu)選取等研究中的重要性，本文針對基于面形斜率的高斯徑向基表征模型，研究了不同的采樣點分布類型對該模型面形擬合精度的影響。采用不同采樣點分布擬合離軸二次曲面和帶凸起的拋物面，結(jié)果表明采用均勻隨機分布的采樣點有利于實現(xiàn)高精度的面形擬合，且達到一定的擬合精度后，采樣點的數(shù)目對擬合精度的影響有限。以離軸三反系統(tǒng)為設(shè)計實例，對比了由不同采樣方式生成初始面形后系統(tǒng)的像質(zhì)優(yōu)化結(jié)果。結(jié)果顯示，采用均勻隨機型采樣方式得到的初始面形進行系統(tǒng)優(yōu)化，最終全視場平均調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)可以達到0.72以上,遠高于由邊緣集中采樣方式生成初始面形后系統(tǒng)像質(zhì)的優(yōu)化結(jié)果，從而印證了理論研究結(jié)果。

光學(xué)設(shè)計；自由曲面；擬合精度；采樣點分布

1　引　言

隨著以超精密金剛石切削技術(shù)為代表的現(xiàn)代加工與檢測技術(shù)的發(fā)展，光學(xué)自由曲面[1]的研究逐漸走向成熟。光學(xué)自由曲面可以在一個表面同時實現(xiàn)多種功能，在提高光學(xué)性能、簡化結(jié)構(gòu)方面有著非球面無法比擬的優(yōu)勢[2]。然而，自由曲面的面形自由度高，表面矢高變化復(fù)雜，對面形表征精度的要求極高，所以面形擬合精度成為自由曲面表征模型的重要研究內(nèi)容之一[3-4]。自由曲面的表征模型分為兩大類：一類是以泰勒函數(shù)為代表的有理函數(shù)；另一類是以高斯徑向基為代表的無理函數(shù)[5]。作為典型的有理函數(shù)自由曲面表征模型，Zernike多項式的發(fā)展較為成熟，但它對大離軸量非對稱表面的像差補償能力有限，很難達到滿意的成像質(zhì)量[6-7]。因此，具有局部面形表征能力的高斯徑向基模型成為近些年的研究熱點[6-9]。

根據(jù)高斯徑向基模型的局域性特點，本課題組提出了基于面形斜率的高斯徑向基模型(Gaussian Radial Basis Function Based on Slope， Gaussian RBF-BS)[10]。不同于傳統(tǒng)高斯徑向基模型中所有基函數(shù)形狀因子數(shù)值相同的特點，Gaussian RBF-BS模型中決定模型局域性的形狀因子與面形斜率相關(guān)聯(lián)，因此該模型對非對稱性表面的擬合精度高出傳統(tǒng)高斯徑向基模型1-2個數(shù)量級，具有更高的面形表征能力[10]。

在光學(xué)設(shè)計過程中，面形初始結(jié)構(gòu)在一定程度上決定了系統(tǒng)的優(yōu)化結(jié)果和成像質(zhì)量[11-13]，一般利用自由曲面數(shù)理模型通過面形擬合方法獲得光學(xué)自由曲面系統(tǒng)的初始面形。所以，作為光學(xué)系統(tǒng)高效優(yōu)化、快速收斂的一個重要前提，面形擬合精度不僅反映了自由曲面表征模型的面形表征能力，而且影響了系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計中自由曲面的面形初始結(jié)構(gòu)，進而影響最終的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。大量研究表明，光學(xué)表面的面形擬合精度受到基函數(shù)數(shù)目和采樣點特性等多種因素的影響[14-18]。而高精度面形擬合中，采樣點特性對面形擬合精度的影響更加顯著，因此國內(nèi)許多研究組對采樣點特性與面形擬合精度的關(guān)系進行了研究。馮婕等研究了Zernike多項式項數(shù)及采樣點數(shù)目對擬合精度的影響[14]，孫學(xué)真研究了抽樣點數(shù)目對Zernike曲面面形擬合的影響[15]，而謝蘇瀧等則從樣項比方面對Zernike多項式曲面擬合進行了研究[16]。這些研究表明，采樣點數(shù)目是影響擬合精度的重要因素。國外研究組也研究了采樣點數(shù)目以及分布方式對擬合精度的影響。G W Forbes研究了基于正交基底的自由曲面擬合方法，并分析了面形擬合誤差的影響因素[17-18]。Rolland則從擬合精度與采樣點分布關(guān)系的角度對Zernike多項式以及Q多項式的自由曲面擬合進行了研究。她通過分析比較不同采樣點分布類型及采樣點數(shù)目對Zernike多項式模型面形擬合精度的影響，指出在基函數(shù)數(shù)量足夠的條件下，曲面采樣點的分布和數(shù)量對擬合過程的收斂速度、計算效率以及面形擬合精度有很大的影響[3-4]。

作者曾對比研究了Gaussian RBF-BS模型和Zernike模型的面形表征能力，并且利用三反系統(tǒng)實例研究了兩模型在光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計中的像差平衡能力。研究表明，Zernike模型與Gaussian RBF-BS模型不僅數(shù)學(xué)表達式截然不同，而且兩模型的面形表征能力和像差平衡能力也不同[10]。因此要使具有高自由度的Gaussian RBF-BS模型在光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計中得到更好的應(yīng)用，研究采樣點分布對該模型面形擬合精度的影響具有重要意義。

本文研究了兩種采樣點分布類型以及采樣點數(shù)目對Gaussian RBF-BS模型面形擬合精度的影響，通過對比和分析擬合結(jié)果確定了適用于Gaussian RBF-BS模型的采樣點分布類型，并以離軸三反系統(tǒng)設(shè)計為例，分析比較了由不同采樣方式生成初始面形后系統(tǒng)的像質(zhì)優(yōu)化結(jié)果，驗證了理論研究結(jié)果的正確性。

2　Gaussian RBF-BS模型

光學(xué)自由曲面的Gaussian RBF-BS模型表達式為[5]：

(1)

針對傳統(tǒng)高斯徑向基形狀因子取值相同導(dǎo)致的面形擬合能力受限問題[19]，本文根據(jù)基函數(shù)所處位置的面形矢高平均變化率來調(diào)整基函數(shù)形狀因子εi，使εi正比于自由曲面的局部面形斜率。面形矢高變化較大的區(qū)域，εi值較大，從而基函數(shù)的形狀會更為細銳，εi對基函數(shù)中心及鄰近區(qū)域內(nèi)的矢高擬合貢獻較大，而對口徑內(nèi)其他區(qū)域矢高擬合的影響較小，擬合行為表現(xiàn)出明顯的局域性，因此容易獲得較高的面形擬合精度。

3　采樣點分布類型及待擬合表面

(a)邊緣集中型采樣點分布

(b)均勻隨機型采樣點分布

為了研究不同采樣點分布類型和數(shù)量對Gaussian RBF-BS模型面形擬合精度的影響，選擇兩種面形進行擬合實驗研究。

隨著IP技術(shù)的發(fā)展，大容量計算能力將會帶來信號處理方面革新。傳統(tǒng)的播出系統(tǒng)在發(fā)展到云播出之前，中間的一個重要步驟是一體化播出服務(wù)器，其核心技術(shù)是將傳統(tǒng)播出系統(tǒng)的播出信號、信號切換、鍵控等功能軟件化，運行在通用計算平臺上，接口雖然是SDI，但其內(nèi)部處理完全IP化，配合云計算平臺和云處理軟件完成整個工作流程。

第一種面形是離軸二次曲面，其面形表達式如下[5]：

(2)

其中：x方向的頂點曲率和非球面系數(shù)分別為cx=-1/455.4 mm-1，kx=-1.306；y方向的頂點曲率和非球面系數(shù)分別為cy=-1/455.4 mm-1，ky=-1.306；有效口徑為110 mm，離軸量為50 mm。該自由曲面的矢高如圖2所示。

圖2　離軸二次曲面的面形矢高

第二種面形是帶凸起的拋物面。該面形具有一定的普適性[15]，不僅包含二次曲面項，還包含不同函數(shù)中心的高斯項，位置分別位于0.92口徑處、0.36口徑處(凸起程度最大)和0.86口徑處。因此，這個表面既有位于口徑邊緣的凸起，又有位于口徑內(nèi)部的凸起。其面形表達式如下[5]：

0.6e-0.49[(x+3)2+(y-2)2]+0.03e-0.81[(x-5)2+(y-7)2].

(3)

單位口徑內(nèi)，該自由曲面的矢高如圖3所示。與離軸二次曲面相比，該表面在口徑內(nèi)部具有較大的矢高變化，即面形斜率變化較大，因此其高精度的面形擬合的難度也更大。

圖3　帶凸起的拋物面面形矢高

4　面形擬合結(jié)果及分析

實驗中，均勻隨機分布和邊緣集中分布兩種采樣點分布類型生成采樣點坐標(biāo)，然后利用Gaussian RBF-BS模型對上述兩種面形進行面形擬合，最后通過計算所有采樣點擬合誤差的均方根來評估模型的面形擬合精度。

(a)均勻隨機分布采樣點擬合后的面形矢高差

(b)邊緣集中分布采樣點擬合后的面形矢高差

(c)不同采樣點分布類型的面形擬合精度隨采樣點數(shù)目的變化

(c)Fitting precision versus number of sampling points for different distribution of sampling points

圖4使用不同采樣點分布的離軸二次曲面面形擬合結(jié)果

Fig.4Fitting results of off-axis quatric surface by using sampling points in different distributions

圖4(c)是不同采樣點分布類型的面形擬合精度隨采樣點數(shù)目的變化曲線。從圖4(c) 可以看出，在Gaussian RBF-BS模型擬合離軸二次曲面的過程中，上述兩種采樣點分布類型最終均可得到比較滿意的擬合結(jié)果，擬合精度達到了10-11m 量級。在采樣點數(shù)目相同的條件下，與均勻隨機型采樣點分布相比，邊緣集中型采樣點分布面形擬合后的RMS值更高，即采用均勻隨機采樣點分布進行面形擬合能夠獲得更高的面形擬合精度。這一結(jié)果從圖4(a) 和4(b)的矢高差分布情況也可明顯看出。同時隨著采樣點數(shù)目的增多，使用兩種采樣點分布類型進行面形擬合后的RMS數(shù)值變化幅度較小，這說明達到一定的擬合精度后，采樣點數(shù)量對模型面形擬合精度的影響并不明顯。

圖5是Gaussian RBF-BS模型擬合帶凸起的拋物面的結(jié)果。由于面形矢高變化較大，擬合難度較高，需要使用更多的基函數(shù)才能獲得較高的擬合精度。圖5(a)、5(b)分別為采樣點數(shù)目為3 000 個，基函數(shù)為729項時，以均勻隨機型分布和邊緣集中型分布方式在全口徑內(nèi)擬合得到的帶凸起拋物面的面形矢高差。圖5(c)是不同采樣點分布類型的面形擬合精度隨采樣點數(shù)目的變化曲線。從圖5(c)可以看出，在Gaussian RBF-BS模型擬合帶凸起的拋物面時，隨著采樣點數(shù)目的增多，擬合精度呈現(xiàn)先提高后不變的趨勢。采樣點數(shù)目不足會導(dǎo)致凸起拋物面面形矢高變化較大的凸起處欠采樣，從而影響擬合精度。當(dāng)采樣點數(shù)目超過2 000個時，最終的擬合精度能達到nm量級，擬合精度不再受采樣點數(shù)目的影響，采樣點分布成為決定擬合精度的主要因素之一。因此，在此擬合精度下，相同的采樣點數(shù)目，邊緣集中型采樣點分布進行面形擬合后的RMS數(shù)值同樣高于均勻隨機型采樣點分布，即邊緣集中型采樣點分布的擬合精度低于均勻隨機型采樣點分布的擬合精度。

綜合兩類面形的擬合分析結(jié)果可知，Gaussian RBF-BS模型要達到一定的面形擬合精度，需要足夠的采樣點數(shù)量，并且擬合過程中采樣點應(yīng)呈均勻隨機型分布。在達到一定的擬合精度后，采樣點數(shù)目對擬合精度的影響不明顯，而過多的采樣點數(shù)量會增加擬合運算量，降低擬合效率。已有研究表明，傳統(tǒng)的Zernike多項式模型使用邊緣集中型采樣點分布更有利于提高面形擬合精度[3]。因此，采樣點分布方式對基于不同自由曲面表征模型的面形擬合精度的影響是不相同的。

(a)均勻隨機分布采樣點擬合后的面形矢高差

(b)邊緣集中分布采樣點擬合后的面形矢高差

(c)不同采樣點分布類型的面形擬合精度隨采樣點數(shù)目的變化

(c)Fitting precision versus number of sampling points for different distribution of sampling points

圖5使用不同采樣點分布的帶凸起的拋物面面形擬合結(jié)果

Fig.5Fitting results of bumpy paraboloid surface by using sampling points in different distributions

采樣點分布方式對Gaussian RBF-BS模型和Zernike多項式模型面形擬合精度的影響之所以出現(xiàn)完全不同的結(jié)果，其原因在于Zernike多項式模型是一種全局性表征模型，擬合過程中矢高差通常在口徑邊緣處顯著增大，因此邊緣集中型采樣點分布將增加口徑邊緣處的采樣點個數(shù)(如圖1(a)所示)，從而有利于面形擬合精度的提高。而Gaussian RBF-BS模型是一種具有局域性的表征模型，通過設(shè)置與面形斜率相關(guān)的形狀因子，使得擬合過程中的矢高差在口徑內(nèi)呈現(xiàn)相對均勻的分布特性，如圖4(a)、4(b)和圖5(a)、5(b) 所示。如果采用邊緣集中分布的采樣點，會造成擬合過程中的口徑內(nèi)欠采樣，反而降低了全口徑的擬合精度，而均勻隨機分布的采樣點則明顯有利于面形擬合精度的提高。隨著面形擬合精度的提高，擬合結(jié)果會越接近理想面形。因此，在光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計過程中，采用均勻隨機分布方式獲得的初始結(jié)構(gòu)進行系統(tǒng)像質(zhì)優(yōu)化可以得到更好的像質(zhì)。

5　設(shè)計實例

為了進一步說明不同采樣點分布方式對面形表征和系統(tǒng)設(shè)計中初始結(jié)構(gòu)求解的影響，本文以離軸三反系統(tǒng)為例，對系統(tǒng)中的三鏡分別采用由不同采樣點分布方式得到的兩種RBF-BS自由曲面進行面形表征及系統(tǒng)優(yōu)化，比較系統(tǒng)設(shè)計結(jié)果的成像質(zhì)量。在面形表征過程中，基函數(shù)有64項，采樣點數(shù)目為4 000個。

離軸三反系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6所示。其中三鏡的半口徑為50 mm，系統(tǒng)的有效焦距為110 mm，設(shè)計工作波長為632.8 nm，視場為±1.2°×±1°，這里在二維視場中選取14個視場點對系統(tǒng)像質(zhì)進行綜合考察。

圖6　離軸三反系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

Fig.6Schematic diagram of Three Mirror Anastigmat(TMA) system

本文采用光學(xué)設(shè)計軟件Code V對系統(tǒng)進行像質(zhì)優(yōu)化及評估。系統(tǒng)三鏡的初始結(jié)構(gòu)是采用兩種不同采樣點分布方式通過面形擬合得到的兩個RBF-BS自由曲面表面，面形擬合矢高差如圖7所示，自由曲面的面形參數(shù)是由軟件面形自定義模塊導(dǎo)入的。這里選取全視場在100 lp/mm 處的平均MTF、最大畸變量和全視場平均波像差作為評估系統(tǒng)成像質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。在相同的優(yōu)化條件與環(huán)境下，經(jīng)過相同的優(yōu)化步驟得到的系統(tǒng)MTF曲線圖8所示，兩種采樣點分布方式得到的像質(zhì)如表1所示。

(a)均勻采樣

(b)邊緣集中采樣

DistributionMaxdistortion/%AverageMTFYRMSWFE(λ)Uniformlyrandomdistribution2.3672.6140.18877Edge-clustereddistribution2.7641.0390.41716

(a)采用均勻采樣方式得到的初始面形對應(yīng)系統(tǒng)MTF曲線

(a)MTF curve of system with initial surface which generated by uniformly random grid

(b)采用邊緣集中采樣方式得到的初始面形對應(yīng)系統(tǒng)MTF曲線

(b)MTF curve of system with initial surface which generated by edge-clustered grid

圖8兩種初始面形用于離軸三反系統(tǒng)的像質(zhì)對比

Fig.8Comparison of image quality of two initial surfaces used in TMA system

由設(shè)計結(jié)果可知，采用均勻隨機型采樣方式得到的初始面形在進行系統(tǒng)優(yōu)化后，MTF達到0.72以上，最大畸變量為2.36%。由于采用均勻隨機型采樣點分布方式的面形擬合精度更高，矢高誤差相對較小，所以得到的初始面形更接近于理想面形。因此，對于口徑內(nèi)矢高變化較為劇烈的三鏡，采用均勻隨機型采樣點分布方式擬合得到的初始面形更容易獲得理想像質(zhì)。這與上述理論分析結(jié)果相一致。

6　結(jié)　論

本文針對基于Gaussian RBF-BS模型研究了兩種不同的采樣點分布類型，即均勻隨機型采樣點分布和邊緣集中型采樣點分布，對Gaussian BF-BS模型擬合自由曲面的面形擬合精度的影響。通過比較不同采樣點分布條件下離軸二次曲面和帶凸起的拋物面的擬合結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，均勻隨機型采樣點分布的面形擬合精度比邊緣集中型采樣點分布的面形擬合精度高，并且達到一定的擬合精度后，采樣點的數(shù)目不再影響擬合精度，而過多的采樣點數(shù)量則會增加擬合運算量，降低擬合效率。這一結(jié)果不同于已有的關(guān)于Zernike多項式模型的研究報道，對Gaussian RBF-BS模型在自由曲面表征和設(shè)計中的應(yīng)用具有一定的理論指導(dǎo)意義。最后，以離軸三反系統(tǒng)設(shè)計為例，分析比較由不同采樣方式生成初始面形后系統(tǒng)的像質(zhì)優(yōu)化結(jié)果。結(jié)果顯示，采用均勻隨機型采樣方式得到的初始面形在進行系統(tǒng)優(yōu)化后，最終全視場的平均調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)達到0.72以上，遠高于由邊緣集中采樣方式生成初始面形后系統(tǒng)像質(zhì)的優(yōu)化結(jié)果。

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武鵬飛(1968-)，男，遼寧興城人，博士，教授，1996年于南開大學(xué)獲得博士學(xué)位，主要從事光學(xué)信息處理等方面的研究。E-mail： pwu@nankai.edu.cn

趙星(1980-)，男，北京人，博士，副教授，2007年于南開大學(xué)獲得博士學(xué)位，主要從事光學(xué)信息處理以及光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計等領(lǐng)域的研究工作。E-mail： zhaoxingtjnk@nankai.edu.cn

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Influence of sampling point distribution in freeform surfaces fitting with radial based function model

WU Peng-fei1， ZHANG Zan1，ZHENG Yi1， ZHANG Juan1， WANG Yao-yao1， ZHAO Xing1*， WANG Ling-jie2， WU Yan-xiong2

(1.InstituteofModernOptics，KeyLaboratoryofOpticalInformationScienceandTechnology，MinistryofEducation，NankaiUniversity，Tianjin300071，China；2.KeyLaboratoryofOpticalSystemAdvancedManufacturingTechnology，ChangchunInstituteofOptics，F(xiàn)ineMechanicsandPhysics，ChineseAcademyofSciences，Changchun130033，China)

*Correspondingauthor，E-mail：zhaoxingtjnk@nankai.edu.cn

In view of the importance of surface shape fitting precision of free-form surface model in researches such as free-form surface representation and selection of initiating structure of surface shape, the influence of different sampling point distribution patterns on surface shape fitting precision of the Gaussian Radial Basis Function Based on Slope( Gaussian RBF-BS) model was investigated. An off-axis quadric surface and an bumpy paraboloid were fitted with different sampling point distributions which were uniformly random points and edged-clustered points. The results show that the uniformly random grid is better for surface shape fitting due to the high precision. The influence of sampling point quantity on fitting precision remains constant when certain fitting precision is reached. The off-axis Three Mirror Anastigmat(TMA) system was optimized experimentally by using initial surface shapes generated with different sampling methods. The results show that, by using initial surface shape generated from uniformly random sampling method for the system optimization, the average Modulation Transfer Function (MTF) of whole field of view is more than 0.72, which is much higher than that by using surface shape generated by edge cluster sampling points. Thus the theoretical research results were verified.

optical design; freeform surface; fitting precision; distribution of sampling points

2016-03-04；

2016-04-29.

國家自然科學(xué)基金資助項目(No.11474169)；中科院科技創(chuàng)新基金重點項目；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃資助項目(No.15JCYBJC16900)

1004-924X(2016)07-1564-09

TH703

Adoi:10.3788/OPE.20162407.1564