查正桃，張謙述

（1.西華師范大學(xué) 物理與天文學(xué)院,四川 南充 637009；2.西華師范大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,四川 南充 637009）

1 引言

偏振旋轉(zhuǎn)器作為偏振調(diào)制系統(tǒng)中最重要的器件之一[1]，可在不移動偏振器件的情況下利用波導(dǎo)中場分量間的能量耦合效應(yīng)實現(xiàn)波導(dǎo)中橫電(Transverse Electric,TE)、橫 磁(Transverse Magnetic,TM)模式的相互轉(zhuǎn)換[2]，已被廣泛應(yīng)用于密集波分復(fù)用系統(tǒng)[3]，陣列波導(dǎo)光柵解復(fù)用器[4]、光交叉連接[5]等研究領(lǐng)域。

傳統(tǒng)偏振旋轉(zhuǎn)器為無源型器件，主要通過基于非對稱周期脊形波導(dǎo)[6-7]、彎曲波導(dǎo)[8-9]、混合等離子體光子晶體光纖[10]、傾斜截面波導(dǎo)[11]等技術(shù)實現(xiàn)。其中，傾斜截面波導(dǎo)能極大地減小偏振轉(zhuǎn)換長度(Polarization Conversion Length,PCL)以及傳輸損耗，但對傾斜角度的尺寸要求非常嚴格，此外，上述其余技術(shù)均存在PCL 較大的應(yīng)用局限。為此，近年來基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器[5,12]逐漸引起了研究人員的興趣，因為向列相液晶材料具有大的光學(xué)雙折射[13]，可滿足當(dāng)前偏振旋轉(zhuǎn)器的超短PCL 的需要；其次，由于液晶的大電光效應(yīng)導(dǎo)致其指向矢易被低電壓驅(qū)動[14]，使得液晶光波導(dǎo)偏振旋轉(zhuǎn)器的電調(diào)諧易于實現(xiàn)。一般地，液晶光波導(dǎo)都存在取向?qū)?，使得液晶指向矢被錨定。根據(jù)Freedericksz 轉(zhuǎn)變[15]，當(dāng)外加電壓導(dǎo)致液晶指向矢發(fā)生偏轉(zhuǎn)時，其偏轉(zhuǎn)角度是沿外加電場方向漸變的，而在上述這些電控偏振旋轉(zhuǎn)器的研究中并未考慮液晶指向矢的漸變特性。因此，其得出的偏振旋轉(zhuǎn)效率(Polarization Conversion Efficiency,PCE)是不準(zhǔn)確的。

為了更準(zhǔn)確地分析基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器的PCL 和PCE，本文在向列相液晶介電張量沿著一個維度漸變的條件下，首先分析了由液晶磁場耦合方程組得出的本征值方程，以便于確定PCL 與外加電壓的關(guān)系；然后對液晶光波導(dǎo)中的電場傳輸方程進行橫向有限差分離散，進而得到了交替方向隱式束傳播法(Alternate Direction Implicit-Beam Propagation Method,ADI-BPM)迭代方程組的顯式表達式，用于求解液晶光波導(dǎo)中的傳播場，從而計算出不同外加電壓下的PCE。最后，給出一個數(shù)值案例，通過求解本征模式分析了液晶指向矢的漸變特性對外加電壓調(diào)控PCL的影響；進一步地，將PCL 作為波導(dǎo)長度進行傳輸場的求解，并與在液晶場致重新取向均勻（液晶分子的最大偏轉(zhuǎn)角作為所有液晶分子的偏轉(zhuǎn)角）的假設(shè)下得出的傳播場進行比較，分析了液晶指向矢的漸變特性對電場分布以及PCE 的影響。

2 原理分析

被各向同性包層環(huán)繞的向列相液晶芯光波導(dǎo)如圖1(a)所示，其液晶芯區(qū)的寬，厚分別為w,h。

圖1 (a)液晶光波導(dǎo)橫截面示意圖；(b)液晶分子偏轉(zhuǎn)示意圖Fig.1 (a) Schematic diagram of the cross-section of liquid crystal optical waveguide;(b) deflection diagram of liquid crystal molecular

當(dāng)不存在外加電壓時，液晶層上下邊界的薄聚合物（內(nèi)表面摩擦方向沿x軸方向）使液晶分子沿x軸取向。當(dāng)氧化銦錫(Indium Tin Oxide,ITO)電極之間施加電壓后，液晶指向矢n?將繞z軸在xoy平面內(nèi)偏轉(zhuǎn)，如圖1(b)所示。根據(jù)Frank-Oseen 彈性連續(xù)體理論[16]和歐拉—拉格朗日變分理論[17]可得液晶指向矢的旋轉(zhuǎn)角φ (y)為：

式中，V為外加電壓，k11,k33為Frank 彈性常數(shù),為閾值電壓。其中，ε0為真空中的介電常數(shù)，?ε為液晶的介電各向異性。此外，φm為液晶分子的最大偏轉(zhuǎn)角。對于這種偏轉(zhuǎn)，波導(dǎo)坐標(biāo)系xyz下液晶的介電張量為[15]

式中，

式中n∥,n⊥分別表示平行和垂直液晶光軸的主軸折射率。設(shè)z軸正方向為光傳輸方向，根據(jù)麥克斯韋方程可得液晶中橫向磁場分量間的耦合本征方程組為[18]

式中，Hx，Hy分別表示x，y方向的本征磁場分量，β表示縱向傳播常數(shù)，k0≡2π/λ0，為真空中傳播常數(shù)，λ0為 真空中波長。因為介電張量 ε在y方向是漸變的，導(dǎo)致方程組(4)為變系數(shù)偏微分方程組，但在有限差分法中，每一個單元網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的介電張量都可以被認為是均勻的[19]。因此，當(dāng)對方程組(4)進行有限差分離散時，其在形式上能退化為文獻[19]中的常系數(shù)偏微分方程組，則根據(jù)有限差分法的網(wǎng)格填充規(guī)則[20]可得特征值方程為[19]

式中，M是考慮液晶漸變介電張量的條件下由本征模場的差分系數(shù)[19]填充的稀疏算符矩陣。此外，I為與M相同尺寸的單位陣，上標(biāo)T 表示轉(zhuǎn)置。根據(jù)耦合模理論(Coupled Mode Theory,CMT)[21]，橫向各向異性光波導(dǎo)在半拍長位置能夠?qū)崿F(xiàn)偏振旋轉(zhuǎn)，且PCL 定義為

式中，上標(biāo)e,o 分別對應(yīng)液晶光波導(dǎo)中的非尋常光波和尋常光波，下標(biāo)1 表示基模。聯(lián)立上述各式即可得到PCL 隨外加電壓變化的規(guī)律。

另一方面，對于傳播場，根據(jù)麥克斯韋方程組以及Douglas–Rachford 型分離[22]可得菲涅爾近似[20]下電場的傳輸方程為[23]

方程(7)中，neff為參考折射率，?z為z方向的傳輸步長，上標(biāo)l±τ 表示當(dāng)前傳輸位置z±τ?z，其中τ ∈{0,1/2,1} 。此外，Γx、Γy均為方程(7)中自定義的中間變量，電場振幅和橫向算符的表達式如下：

式中a,b表示x或者y，E表示電場。

盡管文獻[23]中已經(jīng)指出對方程(7)進行橫向差分即可實現(xiàn)ADI-BPM 求解，但其研究對象并非為具有漸變介電張量的材料，而且也并未給出式(8)中各算符的差分表達式。因此，為了能夠求解液晶光波導(dǎo)中的傳播場，應(yīng)推導(dǎo)出式(8)中各橫向算符的顯式差分表達。根據(jù)有限差分法[20]，利用圖2 所示的差分網(wǎng)格可得方程(7)所對應(yīng)的ADI-BPM 迭代方程組為

圖2 有限差分法中使用的網(wǎng)格節(jié)點示意圖。(p,q) 表示中心節(jié)點，其余節(jié)點為距離其最近的8 個節(jié)點。?x，?y分別表示x 和y 方向上的網(wǎng)格間距Fig.2 Diagram of mesh nodes used in the finite difference method.(p,q) represent the central node,and the other nodes are the 8 nodes closest to the central node.?x and ?y are the mesh spacing in thex andy direction,respectively

這里D,f,K,g均為含有差分系數(shù)和場強分量的表達式，在每次循環(huán)中它們都是已知量，A,R均表示與當(dāng)前節(jié)點(p,q)有關(guān)的差分系數(shù)，所有這些量的具體表達式見附錄。當(dāng)考慮所有網(wǎng)格節(jié)點后，方程組(9)中每一個方程都可以改寫成一個具有三對角稀疏矩陣的特征方程，在初始光場的激勵下反復(fù)迭代方程(9) 即可求得傳播場分布。此外，在求解中采用了透明邊界條件[24]去壓制波導(dǎo)中輻射模在計算窗口邊界上引起的不必要反射。

當(dāng)求得傳播場后即可確定任意傳輸位置的PCE,根據(jù)PCE 定義[25]，有

3 仿真實驗

以典型的向列相液晶E7 為例，其在室溫下的彈性常數(shù)為k11=11.1 pN,k33=17.1 pN以及介電各向異性 ?ε 為13.8[26]。真空中的波長 λ0被選擇為1.55 μm，根據(jù)擴展柯西方程[27]可得室溫下E7 液晶的主軸折射率分別為n∥=1.697,n⊥=1.502 4。不同外加電壓下介電張量關(guān)于y的曲線如圖3 所示。

從圖3 可以清晰地看到，當(dāng)外加電壓超過閾值以后，ε為y方向漸變的介電張量，而且當(dāng)外加電壓超過某一臨界電壓值后，非對角項 εxy（或 εyx）的漸變曲線不再為拱形，而是近似為M 字形。在本文當(dāng)前的例子中，這一臨界電壓值約為閾值電壓的1.26 倍，此時液晶分子的最大偏轉(zhuǎn)角φm為45°。

圖3 不同外加電壓下 εxx，εyy，εxy（或 εyx）隨y 的一維漸變曲線Fig.3 One-dimensional gradual change curves of εxx,εyy,εxy (or εyx) withy at different applied voltages

此外，波導(dǎo)包層折射率選擇為1.48，波導(dǎo)芯區(qū)的尺寸w,h均為5 μm，計算窗口尺寸為8 μm×8 μm，橫向網(wǎng)格尺寸 ?x,?y均等于0.02 μm。圖4顯示了液晶場致重新取向漸變和均勻兩種情況下，經(jīng)特征值方程得出的PCL 與外加電壓的關(guān)系曲線。應(yīng)當(dāng)說明的是，這兩種介電張量在后文所有的圖中分別對應(yīng)graded 和uniform標(biāo)簽。

圖4 PCL 分別在漸變和均勻兩種介電張量下隨外加電壓變化的曲線Fig.4 PCL varying with applied voltage under gradient and uniform dielectric tensors,respectively

從圖4 可見，通過兩種液晶介電張量得出的PCL 不僅均幾乎不隨外加電壓變化，而且它們之間的差異可以忽略。這是因為任意外加電壓下所有液晶分子的光軸都始終位于xoy平面內(nèi)，導(dǎo)致近軸光波的折射率很難隨外加電壓改變[28]，從而使得PCL 也很難受外加電壓調(diào)控。因此，可以近似認為PCL 與液晶層邊界的錨定能以及外加電壓均無關(guān)。這一點對于電控液晶光波導(dǎo)偏振旋轉(zhuǎn)器的實現(xiàn)至關(guān)重要，因為其波導(dǎo)的長度通常是由PCL 決定的，而希望在改變外加電壓的同時不用重新調(diào)整波導(dǎo)的長度，也不用考慮錨定能對其產(chǎn)生的影響。特別地，從圖4 還可以看到這里PCL 約為4 μm，比典型的超短PCL 值[1]還小3.2 μm，這歸因于液晶的大雙折射率。

另一方面，盡管PCL 隨外加電壓的變化可以被忽略，但為了使波導(dǎo)終端傳播場的求解結(jié)果更加精確，采用上述PCL 的平均值作為波導(dǎo)輸出端位置，在當(dāng)前的例子中約等于4.02 μm。初始激勵光波選擇光斑半徑為2.1 μm的準(zhǔn)-TE 高斯光（y方向電場分量可被忽略），用以模擬窄線寬激光源[29-30]。將上述特征值方程在不同電壓下得出的，由非尋常光波激勵的基模有效折射率的平均值作為參考折射率neff，傳輸步長 ?z設(shè)為0.01 μm?？紤]到圖3 中非對角項的兩種截然不同的漸變趨勢，分別選擇閾值電壓的1.26 倍和2.1 倍作為外加電壓值。此外，為了與之前的傳輸場結(jié)果進行對比，在液晶介電張量為一維漸變和均勻的兩種情況下，分別對ADI-BPM 迭代方程組進行了求解。在初始位置(z=0)以及輸出位置(z=處的傳播場分布如圖5 所示。

從圖5(e)～5(f) 可見，對于均勻介電張量，當(dāng)外加電壓為閾值電壓的1.26 倍時（φm為45°），x方向的電場分量Ex的能量幾乎完全被耦合到了Ey上。然而，從圖5(c)～5(d) 可見，對于一維漸變介電張量，Ex的能量卻并未完全耦合到Ey上，即便此時非對角項的峰值已經(jīng)增加到當(dāng)前液晶材料所能達到的極限(?ε/2)；此外，從圖5(g)～5(j)可見，當(dāng)外加電壓為2.1 倍閾值時（φm約為76°），反而是一維漸變介電張量（相比于均勻介電張量）從Ex耦合到Ey中的能量更多。為了更清晰地解釋產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因，將這兩個外加電壓下X截面（yoz平面）和Y截面（xoz平面）上的傳播場分布展示在圖6 和圖7。

圖5 初始和輸出位置處的電場分布。(a)～(b)初始激勵；(c)～(f) 外加電壓為1.26 倍閾值時輸出端的傳播場分布；(g)～(j) 外加電壓為2.1 倍閾值時輸出端的傳播場分布Fig.5 Electric field distribution at initial and output positions.(a)?(b) Initial excitation;(c)?(f) propagation field distribution at the output when the applied voltage is 1.26 times the threshold;(g)?(j) propagation field distribution at the output when the applied voltage is 2.1 times the threshold

圖6 外加電壓為1.26 倍閾值時X 截面(a)～(d)和Y 截面(e)～(h)的傳播場分布Fig.6 When the applied voltage is 1.26 times the threshold,the propagation field distribution ofX section (a)?(d) andY section (e)?(h)

圖7 外加電壓為2.1 倍閾值時X 截面(a)～(d)和Y 截面(e)～(h)的傳播場分布Fig.7 When the applied voltage is 2.1 times the threshold,the propagation field distribution ofX section(a)?(d) andY section (e)?(h)

從圖6(e)～6(h)可見，當(dāng)外加電壓為1.26 倍閾值時，無論介電張量是一維漸變還是均勻的，Y截面的場強都實現(xiàn)了能量從Ex到Ey的幾乎完全轉(zhuǎn)移，這一結(jié)果與文獻[5]是非常一致的，只是這里的轉(zhuǎn)換是TE 到TM。然而，從圖6(a)～6(d)可見，對于X截面來說，兩種介電張量得出的結(jié)果存在顯著的區(qū)別。與均勻介電張量下Ex的能量全部被耦合到Ey不同，一維漸變介電張量下只有波導(dǎo)最中心區(qū)域才實現(xiàn)了Ex到Ey的能量強耦合，而這一截面正是液晶分子指向矢漸變的平面。參照圖3 可見，由于液晶分子是在y方向漸變的，除了波導(dǎo)最中心區(qū)域的部分液晶分子能具有當(dāng)前液晶材料決定的最大非對角項外，其余液晶分子的非對角項都非常小，尤其是靠近液晶層上下邊界的區(qū)域。根據(jù)CMT[21]，非對角項越大場分量間能量耦合效應(yīng)就越強，因此，在1.26 倍閾值電壓下，由于液晶分子的漸變特性，在波導(dǎo)芯區(qū)兩邊（靠近上下包層）的液晶分子的耦合能力非常弱，從而導(dǎo)致在PCL 位置仍有很大一部分剩余的Ex，更直觀的結(jié)果見圖5(c)。

對于電壓為2.1 倍閾值時，從圖3 可見，由于此時非對角項對y的漸變趨勢不再是拱形，而是M 字形，因此，其能量耦合最強的位置對稱地位于波導(dǎo)最中心區(qū)域的兩邊，如圖7(a)所示，更直觀的結(jié)果見圖5(g)。此外，從圖3 還可以看到，當(dāng)前電壓下漸變介電張量的非對角項在液晶層的大范圍內(nèi)都比均勻情況下的非對角項（y=0 位置的值）更大，因此，一維漸變介電張量相較于均勻介電張量具有更強的耦合能力，如圖7 (a)～7(d)所示。

為了更直觀地看到液晶指向矢的漸變特性對偏振旋轉(zhuǎn)器性能的影響，我們分別求解了漸變和均勻兩種介電張量下，在波導(dǎo)輸出端的PCE隨外加電壓變化的曲線。此外，為了與傳統(tǒng)無源偏振旋轉(zhuǎn)器的PCE 進行比較，采用通過光軸傾斜角確定的PCE 公式[31]（忽略波導(dǎo)長度的切割誤差）

圖8 展示了η1,η2隨外加電壓變化的關(guān)系。

圖8 PCE 隨外加電壓變化的曲線Fig.8 PCE varying with concerning applied voltage

從圖8 明顯可見，在忽視錨定效應(yīng)的理想情況下[12]（即均勻介電張量），液晶光波導(dǎo)也能像無源偏振旋轉(zhuǎn)器[1,31]那樣可以實現(xiàn)接近100%的最大PCE，并且只需要幾個伏特的電壓就可以做到。在這里V=1.26Vc約為1.2 伏，考慮到包層具有一定的厚度，因此在實際中的電壓會比這個值更大。然而，由于錨定能的作用導(dǎo)致液晶分子的偏轉(zhuǎn)是漸變的，使得強錨定下的液晶光波導(dǎo)僅能實現(xiàn)最高約為78%的最大PCE，此時的外加電壓約為1.5 倍閾值（在當(dāng)前的例子中，約等于1.42伏）。此外，隨著外加電壓的繼續(xù)增加，相較于均勻介電張量，漸變介電張量情況下的PCE 始終更大，即耦合能力更強，原因與上述分析的2.1 倍閾值電壓是一致的。

進一步地，我們還可以看到漸變介電張量（相較于均勻介電張量）對應(yīng)的PCE 隨外加電壓增加而下降得更加緩慢，而且不會持續(xù)衰減為零，即液晶光波導(dǎo)始終存在場分量間的耦合能力。這是因為介電張量非對角項的M 字形分布導(dǎo)致其始終存在兩個關(guān)于波導(dǎo)中心對稱的峰值。基于這些結(jié)果，我們可以得出液晶分子的漸變特性對其PCE 有極大的影響。

4 結(jié)論

本文在向列相液晶場致重新取向漸變的條件下，根據(jù)液晶磁場耦合方程組得出的本征值方程構(gòu)建了PCL 與外加電壓的對應(yīng)關(guān)系，然后通過對電場傳輸方程進行橫向有限差分離散得到了能求解液晶光波導(dǎo)中傳播場的ADI-BPM 迭代方程組的顯式表達，進而準(zhǔn)確地分析了液晶光波導(dǎo)的PCL 和PCE。結(jié)果顯示，液晶指向矢的漸變對PCL 的影響可以忽略，但其得出的最大PCE 相較于液晶重新取向均勻的求解結(jié)果低大約20%。因此，在基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器的實際制備中，應(yīng)當(dāng)注意取向?qū)拥念A(yù)處理（例如，采用雙邊對稱弱錨定從而提高PCE），因為錨定能的強弱直接影響到其器件的性能。

盡管如此，基于液晶光波導(dǎo)的電控偏振旋轉(zhuǎn)器仍然具有非常大的應(yīng)用潛力，因為從我們的仿真實驗中可見液晶光波導(dǎo)只需要4 μm 的PCL 以及幾個伏特的低電壓即可實現(xiàn)最大PCE，這是傳統(tǒng)偏振旋轉(zhuǎn)器所不具有的特性。

附錄：

場量以及差分系數(shù)表達式如下：

以及R1(p,q)—R15(p,q)，S1(p,q)—S7(p,q)可通 過對式(14)進行如下轉(zhuǎn)換得到：