張?zhí)煊?，?鋼，張 熙，竇江培

（1.中國科學院 國家天文臺 南京天文光學技術(shù)研究所,南京 210042；2.中國科學院 天文光學技術(shù)重點實驗室（南京天文光學技術(shù)研究所）,南京 210042；3.中國科學院大學,北京 100049）

1 引言

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，自適應(yīng)光學已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于生物、醫(yī)學、通信和天文等領(lǐng)域。在天文領(lǐng)域，自適應(yīng)光學系統(tǒng)通常用于校正大氣湍流引入的波前畸變，獲得接近衍射極限的成像[1-9]。

1994 年，Angel[10]首次提出利用自適應(yīng)光學技術(shù)對系外行星進行直接成像，同時提出了超級自適應(yīng)光學（Extreme Adaptive Optics，ExAO）的概念。由于系外行星與主星的對比度相差懸殊，其對比度通常在10?6～10?10量級，且行星與恒星的角距離通常為幾個～十幾個λ/D。為了提高成像對比度，ExAO 被應(yīng)用于在小視場內(nèi)獲得高成像質(zhì)量，其校正后的斯特列爾比通常優(yōu)于0.9，甚至更高；同時可以配合星冕儀進一步抑制望遠鏡孔徑衍射引入的散斑噪聲，進而極大地提高成像對比度[11-12]。

自適應(yīng)光學系統(tǒng)由共光路的像差校正子系統(tǒng)，非共光路的波前檢測子系統(tǒng)和成像子系統(tǒng)構(gòu)成。研究表明波前檢測子系統(tǒng)與成像子系統(tǒng)之間的相對差異會引起非共光路像差（NCPA）。由于波前檢測子系統(tǒng)無法檢測到成像子系統(tǒng)內(nèi)的靜態(tài)像差，AO 系統(tǒng)在閉環(huán)校正過程中也無法測量和補償該像差。此外，共光路部分也存在靜態(tài)像差，該像差主要由可變形鏡的面型引起。上述靜態(tài)像差的存在使得AO 系統(tǒng)的成像質(zhì)量顯著下降[13]，必須要在自適應(yīng)光學系統(tǒng)閉環(huán)校正之前預(yù)先校正[14-15]。

2012 年，Ren 和Dong 等首次將隨機并行梯度下 降（Stochastic Parallel Gradient Descent,SPGD）算法應(yīng)用到AO 系統(tǒng)靜態(tài)像差校正中，并提出一種基于焦面能量優(yōu)化方法的靜態(tài)像差校正技術(shù)[16]。通過控制可變形鏡，改變其面型，將科學成像路徑的焦面能量集中到艾里斑內(nèi)以獲得高SR。然而根據(jù)過去的經(jīng)驗，焦面能量優(yōu)化方法在系統(tǒng)初始像差較大的情況下容易陷入局部極值，難以獲得全局最優(yōu)的校正結(jié)果。

接著，Ren 和Zhang 等提出一種基于瞳面的靜態(tài)像差校正方法[17]。該方法使用一個參考點光源經(jīng)準直后產(chǎn)生的平面波作為參考波前，并使用夏克哈特曼波前傳感器（SH-WFS）記錄參考波前，之后通過迭代優(yōu)化算法將參考波前復(fù)制到AO 系統(tǒng)。參考波前為整個校正提供了優(yōu)化方向，因此該方法可以快速校正系統(tǒng)的靜態(tài)像差，并且容易獲得全局最優(yōu)解。然而該方法在校正過程中需要使用一臺額外的波前傳感器和激光光源且實驗流程相對復(fù)雜。

基于上述問題，本文提出一種基于焦面復(fù)制方法的AO 系統(tǒng)靜態(tài)像差校正技術(shù)。該技術(shù)利用點光源產(chǎn)生的完美PSF 作為參考圖像，使用迭代優(yōu)化算法直接將參考PSF 圖像復(fù)制到系統(tǒng)成像路徑來校正系統(tǒng)內(nèi)的靜態(tài)像差。與瞳面校正方法復(fù)制波前相比，該方法直接復(fù)制系統(tǒng)焦面PSF 圖像，優(yōu)化速度更快，而且更加容易獲得全局最優(yōu)解。

2 校正原理

2.1 校正系統(tǒng)

圖1 為校正系統(tǒng)原理圖。激光器發(fā)出的光被透鏡L1 準直后，經(jīng)過擺鏡（TTM）和可變形鏡（DM）反射，由分束鏡（BS）將光束分別投射到波前傳感器路徑和科學相機成像路徑中。波前傳感器路徑由透鏡L2、L3、微透鏡陣列MLA 和波前檢測相機構(gòu)成；科學成像路徑的光束經(jīng)過成像透鏡L4 后直接成像在科學成像相機上（位置1）。在靜態(tài)像差校正時，將科學相機移走，光經(jīng)過透鏡L5 再次成像到靜態(tài)像差校正相機（位置2）。

圖1 校正系統(tǒng)原理圖Fig.1 Block diagram of the correction system

實驗步驟如下：

（1）在成像透鏡L4 焦點位置上放置一個點光源作為參考光源，該光源經(jīng)過透鏡L5 成像在靜態(tài)像差校正相機C1 上，該圖像將作為參考PSF（該過程只需要執(zhí)行一次，后續(xù)可以直接調(diào)用該圖像）；

（2）移出參考光源，執(zhí)行靜態(tài)像差校正。

校正完成后，將科學相機C1 重新安裝在位置1 即可開展科學觀測。

2.2 校正算法

本文采用隨機并行梯度下降算法校正AO 系統(tǒng)的靜態(tài)像差。SPGD[18-20]最早由Vorontsov 提出，并一直被用于自適應(yīng)光學校正，它基于傳統(tǒng)的梯度下降算法的改進，通過對每個控制變量（DM 促動器電壓值）同時施加微小的隨機擾動量，隨后計算評價函數(shù)(Metric Function)的變化，并以此尋找梯度下降最快的方向進行下一次迭代，直到評價函數(shù)收斂于期望值。在每一次迭代優(yōu)化過程中，施加的微小的隨機擾動量會重新生成，用以產(chǎn)生多種梯度方向，供算法評估，進而保證評價函數(shù)收斂。SPGD 算法中每次迭代的控制變量迭代公式：

其中，k為迭代次數(shù)；DM 促動器的控制電壓可以表示為：u=u1,u2,···,un，n為優(yōu)化變量的個數(shù)（DM 的促動器數(shù)量,本文實驗中為 97 個）；γ 為增益系數(shù)，當評價函數(shù)向極小值方向優(yōu)化時，γ為正值，反之，γ 為負值；δu為施加的隨機擾動且服從伯努利分布；評價函數(shù)變化值為 δJ：

通常使用雙邊擾動以提高評價函數(shù)變化值的計算精度。

為了實現(xiàn)焦面PSF 圖像的復(fù)制，本文提出了一種專門用于優(yōu)化焦面復(fù)制方法的系統(tǒng)評價函數(shù)。該評價函數(shù)用于將參考PSF 圖像復(fù)制到AO 系統(tǒng)焦面，進而實現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)靜態(tài)像差的校正。假設(shè)PSF 圖像大小為m×n個像素，i(x,y)表示AO 系統(tǒng)焦面圖像每一點像素強度，imax，imin分別表示系統(tǒng)圖像上像素強的最大和最小值。iref(x,y)表示參考圖像每點像素值，irefmax，irefmin分別表示參考圖像上像素的最大和最小值。在使用公式(4)和(5)對圖像歸一化后，系統(tǒng)評價函數(shù)可以表示為，

其中，?為影響系數(shù)，取值范圍為（0.000 1,1），用于保證評價函數(shù)的動態(tài)范圍和收斂。由公式（6）可知，理論上當評價函數(shù)的值為0 時，參考圖像被完全復(fù)制到AO 系統(tǒng)成像路徑。但實際校正過程中，由于相機噪聲和外部環(huán)境的影響，系統(tǒng)評價函數(shù)J無法被優(yōu)化到0。通常情況下，當評價函數(shù)J收斂到0.45～0.55 內(nèi)時，影響系數(shù) ?的數(shù)量級為0.001～0.01，優(yōu)化區(qū)域內(nèi)歸一化后各像素點的差值|I(x,y)?Iref(x,y)|的平均值為0.007～0.015，反向歸一化后可得實際各個像素點的差值的平均值在500～1 000（imax=irefmax,imin=irefmin）?？紤]到相機噪聲和外部環(huán)境的影響，此種差值情況下，兩張PSF 圖像此時可以視作基本一致。

此時波前檢測相機將記錄優(yōu)化后的DM 電壓對應(yīng)的波前，用于后續(xù)的AO 系統(tǒng)閉環(huán)校正。

3 實驗研究

實驗系統(tǒng)的光源采用波長為632.8 nm 的氦氖激光器?？勺冃午R采用ALAPO 公司生產(chǎn)的97 單元連續(xù)鏡面的可變形鏡（DM），促動器排列11×11。圖2（a）為拍攝的系統(tǒng)初始焦面PSF 圖像，從圖中可知系統(tǒng)焦面存在較大初始靜態(tài)像差。圖2（b）為校正后的焦面PSF 圖像，從圖中可以看出，校正后系統(tǒng)內(nèi)的靜態(tài)像差被有效校正，校正后的系統(tǒng)焦面PSF 圖像和參考PSF 圖像基本相同。圖2（c）為拍攝的參考PSF 圖像（參考PSF 提前拍攝并保存，校正過程只需要讀取圖像即可）。按照遠場定義公式計算并使用參考圖像作為標準圖像。在使用焦面復(fù)制技術(shù)校正后，SR 從初始的0.312 提升到0.995。

圖2 焦面PSF 圖像。（a）初始圖像；（b）校正后圖像；（c）參考圖像Fig.2 The focal-plane PSF image.(a) Initial image;(b) corrected image;(c) reference image

圖3 為評價函數(shù)曲線，在校正約15 000 步后，系統(tǒng)評價函數(shù)從初始的2.1 下降到0.49，繼續(xù)優(yōu)化評價函數(shù)不會再下降。實驗結(jié)果表明基于焦面復(fù)制方法的SPGD 校正技術(shù)能有效校正AO 系統(tǒng)的靜態(tài)像差。

圖3 評價函數(shù)曲線Fig.3 Metric function curve

為了進一步定量分析校正效果，本實驗使用Thorlabs 公司生產(chǎn)的WFS-150-5C 波前傳感器，分別測量了校正前后的RMS。測試結(jié)果表明在校正后AO 系統(tǒng)的RMS 波前誤差從初始的110 nm下降到7 nm。表1 為校正前后各項Zernike 多項式系數(shù)（使用Zernike 多項式前15 項進行波前重構(gòu)，其中不包括平移、X軸傾斜、Y軸傾斜和離焦）。從表1 可知，校正后，Zernike 多項式各項系數(shù)明顯減小，這也證明了本文校正技術(shù)可以有效校正AO 系統(tǒng)成像路徑的靜態(tài)像差。圖4（彩圖見期刊電子版）為校正后的AO 系統(tǒng)的波面。

表1 校正前后系統(tǒng)各項Zernike 系數(shù)Tab.1 Zernike coefficients of the system before and after correction

圖4 校正后波前圖Fig.4 The corrected wavefront map

4 對比實驗與分析

為了說明本文提出的焦面復(fù)制技術(shù)優(yōu)于先前提出的焦面能量優(yōu)化方法和瞳面校正法。本節(jié)將在相同的實驗環(huán)境下分別比較3 種方法的校正效果。圖5（彩圖見期刊電子版）為使用焦面能量優(yōu)化方法校正后的焦面PSF 圖像和波前圖。在初始靜態(tài)像差較大的情況下，采用焦面能量優(yōu)化方法校正后的，SR 從初始的0.312 提高到0.739。RMS 從初始的110 nm 下降到55 nm。整個校正過程需要迭代約70 000 步。圖6 為瞳面方法校正后PSF 圖像和波前圖，使用瞳面方法校正后的SR 提高到0.988，波前RMS 下降到11 nm，整個校正過程需要迭代約40 000 步。表2 為3 種方法校正后各項Zernike 多項式系數(shù)對比。

圖5 焦面能量優(yōu)化方法校正后焦面PSF 圖像和波前圖Fig.5 PSF corrected by the focal plane energy optimization method and the corresponding corrected wavefront map

圖6 瞳面方法校正后PSF 圖像和波前圖Fig.6 PSF corrected by the pupil plane approach and the corresponding corrected wavefront map

表2 3 種方法校正后Zernike 系數(shù)Tab.2 Zernike coefficients corrected by 3 kinds of methods

從校正結(jié)果（SR）可以看出，本文提出的焦面復(fù)制技術(shù)與焦面能量優(yōu)化方法相比，SR 提高了34.6%。而與瞳面校正法校正結(jié)果幾乎相同。從校正時間上來分析，本文提出的焦面復(fù)制技術(shù)比瞳面校正法快了2.67 倍。此外本文提出的焦面復(fù)制技術(shù)只需要在AO 系統(tǒng)后額外增加一塊透鏡就可以實現(xiàn)靜態(tài)像差的校正，易于實現(xiàn)且不會在AO 系統(tǒng)中引入額外的像差。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于焦面復(fù)制的AO 系統(tǒng)靜態(tài)像差校正技術(shù)。采用參考光源產(chǎn)生的高質(zhì)量PSF 圖像作為參考圖像，通過迭代優(yōu)化算法控制可變形鏡將參考PSF 圖像復(fù)制到AO 系統(tǒng)成像路徑。實驗結(jié)果表明校正后AO 系統(tǒng)的SR 從初始的0.312 提升到0.995。本文還分別在相同的實驗條件下，對3 種方法進行比較。測試結(jié)果表明：本文提出的基于焦面復(fù)制的靜態(tài)像差校正技術(shù)在獲得相同校正結(jié)果的情況下，校正速度明顯優(yōu)于其他方法，而且該技術(shù)器件簡單易于實現(xiàn)。該校正結(jié)果不僅遠遠滿足傳統(tǒng)的自適應(yīng)光學系統(tǒng)對成像質(zhì)量的需求，還滿足ExAO 系統(tǒng)對像質(zhì)的需求。但是本文方法如應(yīng)用于配備幾百甚至上千單元可變形鏡的自適應(yīng)光學系統(tǒng)，校正速度會有所下降。下一步準備在本文研究成果基礎(chǔ)上，提升校正速度，并應(yīng)用于項目組研制的系外行星高對比度成像星冕儀系統(tǒng)中。