吳水萍 趙忠平
【摘 要】 含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題是近年來高考的重點和熱點問題,思維難度高,學(xué)生得分率低,本文試圖全面總結(jié)此類題型的解題方向和方法,幫助考生有針對性突破解決此類問題的卡點,提高學(xué)生分析和解決函數(shù)綜合問題的能力,促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達成.
【關(guān)鍵詞】 函數(shù)不等式;恒成立;參數(shù)范圍;解題策略
近年來,全國高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構(gòu)思精巧的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的綜合題,這類題涉及知識面廣、綜合性強,對能力要求較高,能較好地考查學(xué)生的思維能力,很值得重視和探究.下面舉例說明此類問題的幾種解題策略,供參考.1 特值探路
例1 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.
(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
分析 特殊值是函數(shù)的重要節(jié)點,特殊值往往顯得簡單、直觀、具體,通過特殊值容易探索出所求參數(shù)的具體范圍,得到問題的必要條件,再進一步證明其充分性,問題就可以得到完美解答.
解 (1)略;(2)將x取特殊值1代入不等式中,不等式應(yīng)該成立,即f(1)≥1,也即a+lna≥1,令g(a)=a+lna-1.易知函數(shù)g(a)單調(diào)遞增,g(1)=0,所以a≥1.下面證明充分性,當a≥1時,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-lnx.令h(x)=x-lnx,則h′(x)=1-1x=x-1x.當x∈(0,1)時,h′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,故h(x)≥h(1)=1.所以a的范圍是[1,+∞).
點評 利用特殊值探路可以迅速化解題目難度,快速找到題目的答案(準答案),減輕解題思想壓力,轉(zhuǎn)換解題思維角度,補全充分性證明過程即可完美收官.一般對數(shù)函數(shù)可將真數(shù)取特值1,指數(shù)函數(shù)的指數(shù)可取特值0.2 分類篩選
例2 設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]. (1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍.分析 當問題所給的對象不能統(tǒng)一研究時,就要將研究對象按照相同點和不同點,按照某一標準分成不同種類逐一進行研究,最后綜合得解,即先對明顯成立的部分進行證明,再對不成立的部分舉反例,說明不恒成立,從而篩選出所求參數(shù)的范圍.
解 (1)略;(2)由f(x)≤1+sinx得f(π)≤1,aπ-1≤1,所以a≤2π.令g(x)=sinx-2πx0≤x≤π2,則g′(x)=cosx-2π.當x∈0,arccos2π時,g′(x)>0,當x∈arccos2π,π2時,g′(x)<0.又g(0)=gπ2=0,所以g(x)≥0,即2πx≤sinx0≤x≤π2.當a≤2π時,有f(x)≤2πx+cosx.(?。┊?≤x≤π2時,2πx≤sinx,cosx≤1,所以f(x)≤1+sinx;(ⅱ)當π2≤x≤π時,f(x)≤2πx+cosx=1+2πx-π2-sinx-π2≤1+sinx.綜上,a的取值范圍是-∞,2π.
點評 含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題可以利用逐段篩選討論法求解,對參數(shù)按照重要節(jié)點進行分類,在每一類中證明不等式成立或舉反例說明不成立,最后得解,體現(xiàn)了化整為零的思想和歸類整理的思想.3 分離參數(shù)例3 同例2(2).
分析 含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題如果參數(shù)和變量容易分離,則可以先分離參數(shù),將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值(或上、下界)問題求解,從而只需構(gòu)造函數(shù)求最值即可.
解 f(x)≤1+sinx即ax+cosx≤1+sinx(),當x=0時,對a∈R不等式()恒成立;當0<x≤π時,不等式(﹡)可化為a≤1+sinx-cosxx.構(gòu)造函數(shù)g(x)=1+sinx-cosxx,則g′(x)=(sinx+cosx)x-(1+sinx-cosx)x2,構(gòu)造函數(shù)h(x)=(sinx+cosx)x-(1+sinx-cosx),則h′(x)=(cosx-sinx)x.當0<x≤π4時,h′(x)≥0,當π4≤x≤π時,h′(x)≤0,故h(x)在區(qū)間0,π4上遞增,在區(qū)間π4,π上遞減,又因為hπ4=2π4-1>0,h(π)=-π-2<0,所以存在x0∈π4,π,使得h(x0)=0.故當x∈(0,x0]時,h(x)≥0,當x∈[x0,π]時,h(x)≤0,故當x∈(0,x0]時,g′(x)≥0,當x∈[x0,π]時,g′(x)≤0,即g(x)在(0,x0]上單調(diào)遞增,在[x0,π]上單調(diào)遞減.又因為limx→0+g(x)=limx→0+(1+sinx-cosx)′x′=1,g(π)=2π,因為1>2π,故當x=π時,g(x)min=2π,要使不等式a≤1+sinx-cosxx在x∈(0,π]上恒成立,只需a≤2π.綜上a的范圍是-∞,2π.點評 不等式恒成立求參數(shù)范圍問題,只要容易實現(xiàn)參變分離,就可以很容易轉(zhuǎn)化為最值(或上、下界)問題求解,但在求最值(或上、下界)時常常要用到洛必達法則.
4 構(gòu)造函數(shù)
例4 同例1(2).
分析 根據(jù)解析式的特點,將不等式兩邊湊成一致的形式,運用函數(shù)與方程的思想實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性,將函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小的比較.
解 f(x)≥1等價于aex-1-lnx+lna-1≥0,即elna+x-1+lna-1≥lnx,兩邊同時加x,得elna+x-1+lna-1+x≥lnx+x=elnx+lnx.令F(t)=et+t,顯然F(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則不等式等價于F(lna+x-1)≥F(lnx),等價于lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1.令g(x)=lnx-x+1,則g′(x)=1-xx.當x∈(0,1)時,g(x)單調(diào)遞增,當x∈(1,+∞)時,g(x)單調(diào)遞減.故g(x)max=g(1)=0,所以lna≥0,解得a≥1.
點評 在含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題中,將不等式兩邊轉(zhuǎn)化成同構(gòu)式,根據(jù)同構(gòu)式構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)單調(diào)性進一步轉(zhuǎn)化問題,使得問題得到降維求解,此法雖然有一定難度,但能夠發(fā)現(xiàn)命題人的命題路徑及數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).5 虛設(shè)零點
例5 同例1(2).
分析 設(shè)而不求是解析幾何處理問題基本思想,在含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍時,當導(dǎo)函數(shù)的零點確實存在,但求不出來時,就可以虛設(shè)零點.利用整體代換思想促成問題解決.
解 f(x)≥1的必要條件是f(1)≥1,即a+lna≥1,也即g(a)=a+lna-1≥0.易知g(a)單調(diào)遞增,g(1)=0,所以a≥1.f(x)≥1,即aex-1-lnx+lna-1≥0.令g(x)=aex-1-lnx+lna-1,則g′(x)=aex-1-1x,顯然g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g′(1)=a-1>0,g′1a=ae1a-1-a=ae1a-1-1<0,故x0∈1a,1,使得g′(x0)=0,即aex0-1=1x0.所以函數(shù)g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.故g(x)min=g(x0)=aex0-1-lnx0+lna-1=1x0-lnx0+lna-1=1x0+ln1x0+lna-1.因為x+lnx-1≥0,lna≥0,所以g(x)≥0.即當a≥1時,f(x)≥1.所以a的范圍是[1,+∞).
點評 虛設(shè)零點體現(xiàn)設(shè)而不求思想,是解決導(dǎo)數(shù)問題常用方法,當導(dǎo)數(shù)的零點存在但不易求出的時候,就可以虛設(shè)零點,回代到原函數(shù)解析式中求值,確定函數(shù)值的符號.
6 數(shù)形結(jié)合例6 同例2(2).
分析 將原不等式適當變形得到g(x)≤h(x)恒成立形式,借助導(dǎo)數(shù)的工具,分別研究兩個函數(shù)的性質(zhì),再分別畫出兩函數(shù)圖象,根據(jù)圖象能直觀得到參數(shù)范圍.
解 f(x)≤1+sinx即ax+cosx≤1+sinx,可化為ax-1≤sinx-cosx,構(gòu)造函g(x)=ax-1,h(x)=sinx-cosx,x∈[0,π],畫出函數(shù)g(x)、h(x)圖象如圖1, g(x)圖象是過(0,-1)點的直線,h(x)的圖象也過(0,-1)點,在0,3π4上為增函數(shù),在3π4,π上為減函數(shù),要使ax-1≤sinx-cosx在[0,π]上恒成立,只需x∈[0,π]時g(x)圖象在h(x)圖象下方,由圖象知a≤2π時不等式恒成立,即a的范圍是-∞,2π.
點評 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),“數(shù)”讓“形”更精確,“形”讓“數(shù)”更直觀,二者“比翼雙飛”,共同促進數(shù)學(xué)發(fā)展[1].本解法通過挖掘數(shù)學(xué)式子背后形的特征,以形助數(shù),是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法.
參考文獻
[1] 徐進通.開發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用素材的路徑探究\[J\].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2021(10):22-28.
作者簡介 吳水萍(1976—), 女,甘肅武威人,中學(xué)一級教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作;主持和參與省級課題多項,發(fā)表論文20多篇.趙忠平(1972—),男,甘肅慶陽人,中學(xué)高級教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作;發(fā)表論文40多篇.