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        高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題的應(yīng)用與探究

        2015-11-28 13:25:32楊金全
        學(xué)周刊·下旬刊 2015年12期
        關(guān)鍵詞:恒成立高考數(shù)學(xué)

        楊金全

        摘要:高三數(shù)學(xué)中恒成立的學(xué)習(xí)一定要打牢基礎(chǔ),充分掌握好高三數(shù)學(xué)課中有關(guān)分支的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)培養(yǎng)良好的解題技能。文章開頭引言部分引出了所要寫的話題,中間內(nèi)容則寫了高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題的應(yīng)用和解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題對(duì)學(xué)生的要求,文章最后高考數(shù)學(xué)中的恒成立對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)提出很高的要求。

        關(guān)鍵詞:高考 數(shù)學(xué) 恒成立

        高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題包含的內(nèi)容有二次函數(shù)和一次函數(shù)、有關(guān)的函數(shù)圖像和函數(shù)本身的性質(zhì),需要進(jìn)行有關(guān)的換元,歸類、題型和圖像相結(jié)合、還包含由函數(shù)的思想方法,對(duì)提高學(xué)生的綜合解題能力很有幫助,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性和思維的靈活性。高三數(shù)學(xué)的恒成立問題主要有以下的幾種形式:三角函數(shù)、指數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)。恒成立問題涉及到的知識(shí)比如有將換元的思想引入到相關(guān)函數(shù)的圖像和性質(zhì)等??梢酝ㄟ^以下幾種方法解決出現(xiàn)的恒成立問題。這些方法分別是:賦值型,一次函數(shù)型,二次函數(shù)型,變量分離型,數(shù)形結(jié)合型。面對(duì)高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題的應(yīng)用的出現(xiàn),有必要進(jìn)行相關(guān)的研究,為高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)工作提供相關(guān)的幫助。

        一、高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題的應(yīng)用

        (一)高考數(shù)學(xué)中的恒成立在基礎(chǔ)題中的應(yīng)用

        在高三數(shù)學(xué)中有這樣一個(gè)恒成立的問題:涵蓋了一次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)和高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。變量X和Y在一個(gè)變化過程中,每一個(gè)確定的x值,都有唯一確定的y值與x對(duì)應(yīng),那么我們就說y是x的函數(shù),x是自變量。

        也有這樣一道題:“Amn表示高三數(shù)學(xué)恒成立問題,n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=Amn公式中表示從n開始由大到小連續(xù)m個(gè)自然數(shù)的連乘積”;“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),無限制條件的排。”

        還有:若是等差數(shù)列,首項(xiàng),則使前n項(xiàng)和成立的最大自 然數(shù)n是( ) (A)4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008。

        分不清充分條件和必要條件,分析如下:“‘有兩個(gè)條件A和B,假設(shè)A=B正確,那么B是A的充分條件,A是B的必要條件,;‘假設(shè)B=A正確,那么B是A的必要條件,A是B的充分條件,;‘假設(shè)B=A,那么B和A互為充要條件”。

        夯實(shí)基礎(chǔ)是高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一關(guān)。高三數(shù)學(xué)恒成立的學(xué)習(xí)過程實(shí)際上就是對(duì)基本公式的運(yùn)用,靈活使用概念原理,注意提高良好解題思路,提高分析和解決問題的能力,當(dāng)具備了一定的知識(shí)能力之后,個(gè)人的解題細(xì)心度和堅(jiān)強(qiáng)的毅力起著至關(guān)重要的作用。

        (二)高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題在綜合題中的應(yīng)用

        高考數(shù)學(xué)中的恒成立在綜合題中出現(xiàn)的概率也比較大,這就需要較高的解題技巧。高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題,涉及的知識(shí)面廣,綜合性強(qiáng)。綜合題往往涵蓋了多個(gè)知識(shí)點(diǎn),恒成立問題的解決需要多動(dòng)腦筋,充分運(yùn)用邏輯思維,解題要認(rèn)真。如果哪個(gè)環(huán)節(jié)出了問題,整個(gè)解題結(jié)果就會(huì)功虧于潰。

        我們來舉個(gè)例子:f(x)是負(fù)無窮大和正無窮大上的定義域,0=f(1),0到正無窮大是增函數(shù),奇函數(shù)f(x);θ在0到π/2的區(qū)間,函數(shù)sin2θ+m·cosθ-2m等于g(θ)。如果集合M等于g(θ)小于0,集合N等于m,問M和N的交集。

        復(fù)合函數(shù)f(x)中有N,不知道如何進(jìn)行解決,無法求出M和N的交集。當(dāng)束手無策時(shí),查看題目,f(x)在0到正無窮大是增函數(shù),奇函數(shù)f(x),所以在負(fù)無窮大到0區(qū)間f(x)也是增函數(shù)。根據(jù)f(1)等于0知f(-1)等于0,畫圖可知,當(dāng)f(x)小于0時(shí)可得0小于1或者x小于1。

        ∴N=m=g(θ)<-1或0<1,

        ∴M∩N={g(θ)<-1。如m·cosθ-2m+1+sin2θ小于0,相關(guān)變換得到2m-2cos2θ-m.cosθ+大于0結(jié)果是恒成立的。

        在這個(gè)雙變量中不知道主元是誰,判斷得知是m。學(xué)生們習(xí)慣按照傳統(tǒng)的解題思路:使“cosθ=t,屬于0到1的區(qū)間,可看成二次函數(shù)t”,即:“(t-m/2)2+2m-2-m2/4=Φ(t)=t2-mt+2m-2,屬于0到1的區(qū)間?!边@是常見到的最大值和最小值問題,有三種情況需要討論,得到“m>4-2=M∩N”。

        從m的角度進(jìn)行思考就會(huì)想到用采用分離變量的方式:“t2-mt+2m-2大于0<=> m大于(2-t2)/(2-t)”,

        使“‘(2-t2)/(2-t)等于h(t),那么‘t2+2/(t-2)+4≤4-2=>m>4-2”

        “h(t)等于‘t2+2/(t-2)+4≤4-2=>m>4-2”。

        該題包含的知識(shí)點(diǎn)有不等式、三角和函數(shù)。若換成解二次函數(shù)的話,有三個(gè)不等式組需要解決,運(yùn)算過程繁雜,如果不細(xì)心,就會(huì)出錯(cuò),分離變量法有較高的對(duì)代數(shù)恒等式的要求,抽象思維的想象較高,在這個(gè)過程中不容有一點(diǎn)差錯(cuò),這樣才能取得運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。本題涉及主要數(shù)學(xué)思想方法有:

        1.借助不同方式實(shí)現(xiàn)有關(guān)問題的解決

        將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決:

        閉區(qū)間不等式的恒成立往往在函數(shù)中多有出現(xiàn),這是解題要注意的第一個(gè)方面;在求解m的范圍時(shí),m被看做了一個(gè)常數(shù),變換到二次函數(shù)中包含有t的變量,華麗變身是解題的第二個(gè)步驟。

        2.圖形和函數(shù)相結(jié)合的方式

        本題中有兩次用到該方法,一處是由f(x)<0得x<1或0<1,從而得g(θ)<-1或0<1;另一處是是求二次函數(shù)Φ(t)在區(qū)間[0,1]的最值。

        該題所用到的解題技巧有:

        a.函數(shù)最值的恒成立問題:若m>f(x)恒成立,且M=f(x)max,則m>M。

        b.分離變量法。

        c.配方法。不要小看這種方法,特別留意含有二次函數(shù)的配方題型。

        d.不等式向二次分式的轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)恒等變形。

        二、解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立的問題對(duì)學(xué)生的要求

        解題要想有清晰的思路,思想方法和技巧很重要,另外就是個(gè)人因素,這其中包括認(rèn)真程度和良好的意志力,還有一點(diǎn)就是學(xué)習(xí)過程中形成的學(xué)習(xí)方法,個(gè)人因素往往因人而異。在做同一道題時(shí),會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果,有的學(xué)生能把題做出來,有的學(xué)生做不出來。學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)是一個(gè)人慢慢積累的過程,而學(xué)習(xí)意志的培養(yǎng)則是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程,這個(gè)過程的很大一部分因素取決于個(gè)人的價(jià)值取向和人生價(jià)值觀。當(dāng)學(xué)生看到比較困難的題時(shí)就會(huì)感到渾身不舒服,束手無策,滿腦子一片空白,做題的意志力在不斷下降。具有超強(qiáng)意志力的人會(huì)抓住題目不放,平靜下心情,認(rèn)真進(jìn)行分析,尋求新的解題思路,即使結(jié)果不能令人滿意,但是在部分解題過程中還是有點(diǎn)解題思路的。

        參考文獻(xiàn):

        [1]侯新蘭.探析高考數(shù)學(xué)中恒成立問題的解題策略[J].考試:高考數(shù)學(xué)版,2009(Z4).

        [2]曹澤紀(jì).高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題[J].學(xué)問,2009(2).

        (責(zé)編 金 東)

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