【摘 要】 從將軍飲馬問題出發(fā)，以解析幾何的視角討論了定直線上一動點到直線外兩定點的距離之和、差、比、積問題，給出了具體的計算思路與過程.

【關(guān)鍵詞】 距離運算;解析幾何;思路過程

1 從平面幾何角度提出問題

將軍飲馬問題有著悠久的歷史，它是平面幾何中的一個重要幾何模型，與其相關(guān)的內(nèi)容是各類考試考查的熱點，文[1]、文[2]對該問題及其推廣作了深入的探討，該問題的數(shù)學(xué)表述如下：

問題 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點，試在l上找到一個點P，使得PA+PB最小.

以下解法是大家所熟悉的：如圖1，作A點關(guān)于直線l的對稱點A′，連接線段A′B與直線l交于點P，則P點即為要找的點，理由是如果在l上任取其他一點P′，則

P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA′+PB=PA+PB，得證.

上述問題為一個動點到兩個定點的距離之和問題，這與解析幾何中橢圓的定義有些相似，結(jié)合原圖象及橢圓的定義可知，相當于要在以A，B為焦點的橢圓系中找出一個橢圓，該橢圓與直線l要有交點（這樣的橢圓有無數(shù)個），同時該交點到A，B的距離之和要最小，根據(jù)分析作出圖2，結(jié)合圖象可知，當直線l與橢圓相切時，該切點即為滿足條件的點P，理由如下：

根據(jù)橢圓的定義得PA+PB=CA+CB=2CA，P′A+P′B=DA+DB=2DA，顯然CA<DA，得證.

至此我們找到了另一種通過作圖來確定點P位置的方法，但該法無法求出點P的坐標，進而無法求得最終答案.為了解決這個問題，我們把通過定點A，B的直線作為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，如圖3所示.

我們將在圖3的基礎(chǔ)之上來求解點P的坐標，進一步，我們嘗試從解析幾何的角度解決幾個延伸出來的問題.

2 從解析幾何視角解決問題

后文2.1-2.3均假設(shè)A（-c，0），B（c，0），l：y=kx+m，這里c，k，m均為常數(shù)且k≠0.

2.1 橢圓視角下的距離之和問題

問題1 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點，點P為直線l上一動點，試求PA+PB的范圍，并確定點P的具體位置.

解 如圖4，不妨設(shè)P（x0，y0），橢圓方程為x2a2+y2b2=1，根據(jù)前面分析知PA+PB取最小值時直線l與橢圓切于點P，

則方程組y=kx+m，x0xa2+y0yb2=1表示同一條直線l，比較系數(shù)得

x0=-ka2m，y0=b2m. （1）

另一方面，我們有y0=kx0+m，a2-b2=c2. （2）

聯(lián)立（1）（2）得P-k（m2+c2）m（1+k2），m2-c2k2m（1+k2）.此時（PA+PB）min=2m2+c21+k2;而當P趨于無窮遠時，PA+PB趨于無窮大.綜上得（PA+PB）∈2m2+c21+k2，+∞.

2.2 雙曲線視角下的距離之差問題

問題2 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點，點P為直線l上一動點，試求PA-PB的范圍，并確定點P的具體位置.

解 如圖5，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知：P′A-P′B<AB=2c，去絕對值得-2c<P′A-P′B<2c，注意到當P，A，B三點共線時有PA-PB=-2c，因此（PA-PB）min=-2c，此時P-mk，0，那么它的上界是否就是2c呢？

如圖6，仿照前文思路知我們要在以A，B為焦點的雙曲線系中找出一條雙曲線，該雙曲線與直線l要有交點（這樣的雙曲線有無數(shù)條），同時該交點到A，B的距離之差PA-PB=DE要最大，這要求右頂點E盡可能地靠近右焦點B（雙曲線開口盡可能的?。?，觀察圖象知，當直線l平行于雙曲線的其中一條漸近線時，點P位于直線l右上方無窮遠處， 此時lPA∥lPB，滿足條件的雙曲線開口最小，且點E與點B的距離最近，在這種極限情況下有PA-PB=AC=ABcos∠BAC，注意到tan∠BAC=k，于是ABcos∠BAC=2c×11+k2=2c1+k2（小于2c）.注意到上面極限的情況取不到等號，因此PA-PB∈-2c，2c1+k2.2.3 阿氏圓視角下的距離之比問題

問題3 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點，點P為直線l上一動點，試求PAPB的范圍，并確定點P的具體位置.

在解決該問題前，先介紹以下兩個結(jié)論：

結(jié)論1 如圖7，平面內(nèi)到兩定點A，B的距離值之比為定值k（k≠1）的點P形成的軌跡為一個圓，該圓G即著名的阿波羅尼斯圓.特別的，CACB=k（這里C為圓與直線AB的交點），其中A，B互為該圓的反演點，滿足 GC2=GA×GB.

結(jié)論2 如圖8，A，B兩點為其對應(yīng)的阿波羅尼斯圓G的反演點，那么通過A，B兩點的所有圓系G′均與圓G正交，即SG⊥SG′（這里S為兩圓交點）.

結(jié)論1的證明在各期刊與書籍上已屢見不鮮，本文從略，結(jié)論2的證明如下：

根據(jù)結(jié)論1知GC2=GA×GB，又GS=GC，從而GS2=GA×GB，由于S也在圓G′上，故GS為圓G′的一條切線段，即SG⊥SG′，得證.

回到問題3，該題相當于要在以A，B作為反演點的阿氏圓系G中找出一個圓，該圓要與直線l有交點（這樣的圓有無數(shù)個），同時該交點到A，B的距離之比PAPB要最?。ㄗ畲螅?，作出圖9、圖10可知：當圓G與直線l相切時，切點即為滿足條件的點P，理由如下：

在圖9中，PAPB=CACB，P′AP′B=C′AC′B，根據(jù)圖象知CACB<C′AC′B，因此切點P滿足PAPB為最小值;同理，在圖10中的切點P滿足PAPB為最大值.

到此為止，PAPB范圍兩端的點P的位置都已經(jīng)確定，但如何求出坐標呢？以PAPB取最小值的情況為例，

如圖11，根據(jù)結(jié)論2知，PG為通過A，B的圓系G′的切線段，即PG⊥PG′，又PG⊥直線l，故圓心G′在直線l上;另一方面，圓心G′顯然又落在線段AB的中垂線y軸上，由此我們得到一個以直線l與y軸的交點G′為圓心，G′A為半徑的圓，我們要找的點P即圓G′與直線l的交點.

將上述找點過程整理并簡化：如圖12，以直線l與y軸的交點G′為圓心，G′A為半徑作圓，則直線l與圓G′的兩個交點P1，P2就是使得PAPB取到最小、最大值的兩個點，注意到G′的坐標為（0，m），A的坐標為（-c，0），且G′A=G′P1=G′P2，則

（0+c）2+（m-0）2=1+k2xP1-0=1+k20-xP2.

解得xP1=-m2+c21+k2，xP2=m2+c21+k2，將其代回直線方程得到P1，P2縱坐標，最后根據(jù)兩點間的距離公式即得距離之比的范圍.

注 上述三個問題中，直線l的斜率k=0與k不存在的情況比較簡單，留給讀者思考;另外，當A，B為l異側(cè)的兩個定點時，只需根據(jù)對稱性將其中一個點對稱到l另一邊，即轉(zhuǎn)化為了上述三個問題中的情形，本文不再展開.2.4 卡西尼卵形線視角下的距離之積問題

問題4 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點，點P為直線l上一動點，

試求PA×PB的范圍，并確定點P的具體位置.

分析 顯然PA×PB的值可以趨于無窮大，故只需考慮PA×PB的最小值，我們知道，平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為定值的點形成的軌跡為卡西尼卵形線，仿照前文的思路，結(jié)合圖象知，當直線l與卡西尼卵形線相切時，該切點即為滿足最小值的點P，如圖13所示.但是，雖然點P的位置確定了，但由于卡西尼卵形線的方程比較復(fù)雜，沒有一般的切線方程表達式，因此計算過程將十分繁瑣，經(jīng)過思考筆者重新建立適當?shù)淖鴺讼担ㄈ鐖D14），試圖通過簡化點P的坐標（讓yP=0）來計算得到結(jié)果.

解 如圖14，通過建系使得直線l為x軸，A（-a，b），B（a，c）（讓A，B兩點的橫坐標相反，簡化運算），設(shè)l上的動點P的坐標為P（x，0），則

PA×PB=（x+a）2+b2×（x-a）2+c2=x4+（b2+c2-2a2）x2+2a（c2-b2）x+（a2+b2）（a2+c2）.

令f（x）=x4+（b2+c2-2a2）x2+2a（c2-b2）x+（a2+b2）（a2+c2），則

f′（x）=4x3+2（b2+c2-2a2）x+2a（c2-b2）

=4[x3+b2+c2-2a22x+a（c2-b2）2].

令f′（x）=0，即x3+b2+c2-2a22x+a（c2-b2）2=0.

令p=b2+c2-2a22，q=a（c2-b2）2，根據(jù)卡丹三次方程求根公式得上述方程的零點，也即原函數(shù)的極值點（實根）：x1=3-q2+p327+q24，x2=3-q2-p327+q24，經(jīng)驗證后代回原函數(shù)求出最小值即可.3 從整體觀點看待幾何的關(guān)聯(lián)

初中平面幾何中的將軍飲馬模型、圓冪定理、托勒密定理等著名模型或定理，若能合理地應(yīng)用到高中解析幾何（立體幾何）的解題之中，則可巧妙地減少計算量，節(jié)約大量的運算時間，關(guān)于這方面的研究已有很多;反過來，從解析幾何的角度看待平面幾何問題，目前則仍以通過建系來解決各類平面幾何難題為主，只有部分競賽生對其有較深了解與體會.從數(shù)學(xué)史的發(fā)展角度來看，平面幾何的建立與完善遠早于解析幾何，而解析幾何的發(fā)展與平面幾何緊密相連，它是在平面幾何的基礎(chǔ)上逐漸成熟的.實際上，若能從解析幾何的角度重新審視歷史長河中的經(jīng)典平面幾何問題，則可讓初高中之間的幾何知識有一個雙向的流動與運用，這是一種高觀點下研學(xué)的有益嘗試，這種嘗試與合理運用高等數(shù)學(xué)知識，巧妙架構(gòu)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁并居高臨下看待高考題有著異曲同工之妙.

參考文獻

[1] 徐宏.變的是形式 不變的是本質(zhì)——例談一類幾何最值問題＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（06）：53-56.

[2] 扈保洪.“將軍飲馬”型問題的一種推廣＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（06）：51-53.

作者簡介 樓思遠（1989—），男，浙江義烏人，中學(xué)高級教師，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽優(yōu)秀教練員;主要研究數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)競賽;發(fā)表論文20余篇.