●呂海濛 韓 紅

一、問題的提出

高中數(shù)學(xué)的立體幾何部分由于比較抽象，難以理解，一直以來都困擾著廣大師生。2019 年黑龍江省逐漸普及《2019 版普通高中教科書數(shù)學(xué)（A 版）》，那么新的問題也就隨之而來，作為高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，立體幾何部分的例習(xí)題數(shù)量與類型有哪些變動(dòng)？例習(xí)題的難度是否增加？例習(xí)題的教學(xué)又該做出那些調(diào)整呢？

二、研究對象

本文節(jié)選的內(nèi)容是2019 年6 月人民教育出版社出版的《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊（A 版）》（以下簡稱“新教材”）中第八章立體幾何初步與2007 年2 月人民教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修二（A 版）》（以下簡稱“舊教材”）中第一章空間幾何體和第二章點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系。

三、例習(xí)題數(shù)量比較

例習(xí)題是數(shù)學(xué)教材中必不可少的內(nèi)容，無論是完成教學(xué)目標(biāo)，還是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，都需要一定數(shù)量的例習(xí)題。本文統(tǒng)計(jì)的是教材中明確帶有藍(lán)色“例”字標(biāo)記的例題，立體幾何部分的所有練習(xí)題、習(xí)題，以及復(fù)習(xí)題，其中若存在一道題含有多個(gè)小題的情況時(shí)，我們規(guī)定，如果每個(gè)小題之間是相互獨(dú)立的，按照小題的數(shù)量計(jì)算例習(xí)題的個(gè)數(shù)，若各小題之間是相互聯(lián)系的，則按照一道大題來計(jì)算。

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，新教材中例題26 道，練習(xí)題87 道，習(xí)題96 道，復(fù)習(xí)題17 道，共計(jì)226 道例習(xí)題；舊教材中例題21 道，練習(xí)題61 道，習(xí)題81 道，復(fù)習(xí)題33 道，共計(jì)196 道練習(xí)題?？梢园l(fā)現(xiàn)，立體幾何部分，新舊教材在例習(xí)題的數(shù)量上有著明顯的差距，我們從下面兩個(gè)方面分析：

（一）新舊教材例習(xí)題的數(shù)量比較

新教材中例習(xí)題共計(jì)226 道，舊教材中例習(xí)題共計(jì)196道，可見，新教材在例習(xí)題的總體數(shù)量上有所上升，我們具體來看，新舊教材在例題數(shù)量上沒有發(fā)生太大的變化，但在練習(xí)題和習(xí)題的數(shù)量上有所增加，主要是因?yàn)樾陆滩脑诿恳恍」?jié)都配有3～4 個(gè)練習(xí)題，這樣的設(shè)置使得學(xué)生能夠即學(xué)即練，能夠達(dá)到及時(shí)鞏固知識(shí)的目的。在復(fù)習(xí)題方面，舊教材將立體幾何部分設(shè)置為兩個(gè)章節(jié)，故含有兩個(gè)章末復(fù)習(xí)題，而新教材只有一個(gè)復(fù)習(xí)題，因此在復(fù)習(xí)題的數(shù)量上新教材要少于舊教材。值得一提的是，在第二小節(jié)中，新教材刪除了“立體幾何三視圖”部分內(nèi)容，主要是由于在初中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過三視圖，對三視圖已經(jīng)有所了解，避免重復(fù)學(xué)習(xí)。

（二）新舊教材習(xí)題設(shè)置比較

在習(xí)題內(nèi)容的設(shè)置上，舊教材是按照習(xí)題的難度進(jìn)行歸類，A 類是基礎(chǔ)題，題型相對簡單，多是對概念或定理的理解與簡單應(yīng)用，適合基礎(chǔ)掌握不牢固的學(xué)生；B 類為拔高題，增設(shè)隱含條件，以考察學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)為目的的題型，適合基礎(chǔ)知識(shí)牢固，思維活躍的學(xué)生。新教材將習(xí)題拓展到了三類，劃分的更加細(xì)致，第一類“復(fù)習(xí)鞏固”主要是用來鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對概念的理解；第二類“綜合應(yīng)用”主要是考察學(xué)生對概念和定理的掌握程度；第三類“拓廣探索”這一類題多是探究類和開放類題型，主要是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探究思維。

四、例習(xí)題類型比較

新舊教材中的例習(xí)題主要分為以下幾種，見下圖。

圖1 新舊教材題型數(shù)量柱狀圖

從題型數(shù)量柱狀圖上我們可以看出，新舊教材在題型的種類上沒有發(fā)生太多的改變，題型比較豐富多樣，就各題型的數(shù)量而言，判斷題和簡答題的差距比較明顯，新教材在判斷題和簡答題的題量上有所增加，相對應(yīng)的填空題與作圖題稍作刪減，其主要原因有：一是判斷題有助于培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、判斷能力以及理解能力，提高學(xué)生的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)；二是有目的增加簡答題的數(shù)量可以使得學(xué)生能夠更好地從生活中的立體幾何中抽象出幾何體的特征，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，為后面的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的知識(shí)學(xué)習(xí)做鋪墊。

五、例習(xí)題難度比較

（一）例習(xí)題綜合難度模型

根據(jù)立體幾何部分例習(xí)題的特性，本文在鮑氏綜合難度模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改良。立體幾何部分內(nèi)容中屬于符號運(yùn)算的題型，未含有復(fù)雜類的符號運(yùn)算，也未出現(xiàn)屬于“科學(xué)情境”水平的例習(xí)題，故將各難度水平因素均劃分為三個(gè)水平，將簡單符號運(yùn)算和復(fù)雜符號運(yùn)算劃分為符號運(yùn)算，將背景類中“科學(xué)情境”難度水平刪除，下面是改良后的例習(xí)題綜合難度水平劃分表：

例習(xí)題綜合難度計(jì)算公式：

表1 數(shù)學(xué)例習(xí)題的改良后的綜合難度因素與水平劃分表

其中，di表示第i 個(gè)難度因素上的加權(quán)平均值；dij表示第i個(gè)難度因素的第j 個(gè)水平的權(quán)重。我們直接采用等級權(quán)重，即dij=j；nij則表示這套教材例習(xí)題中屬于第i 個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的題目個(gè)數(shù)，而n 是樣本總數(shù)。顯然，對任何i，都有∑=n。[1]

（二）各難度水平的分析

根據(jù)上面的綜合難度分布框架和難度系數(shù)計(jì)算公式，分別從五個(gè)難度對數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，最后再利用所計(jì)算出各難度的加權(quán)平均進(jìn)行整體分析。

1.在背景上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，屬于“無背景”難度水平的例習(xí)題，舊教材占86.67%，新教材占90.27%；屬于“個(gè)人生活”難度水平的例習(xí)題，舊教材占7.18%，新教材占5.75%；屬于“公共常識(shí)”難度水平的例習(xí)題，舊教材占6.15%，新教材占3.98%。

由此可知，新教材在“無背景”方面的例習(xí)題要比舊教材多4 個(gè)百分點(diǎn)，屬于無背景難度的例習(xí)題均是基礎(chǔ)題，因此新教材中的例習(xí)題重在考察學(xué)生對于所學(xué)知識(shí)的掌握程度，加深學(xué)生對于概念的理解，相應(yīng)的新教材在屬于“個(gè)人生活”和“公共常識(shí)”兩個(gè)難度水平的例習(xí)題降低了兩個(gè)百分點(diǎn)，從整體來看屬于背景難度的各個(gè)水平呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢，但高達(dá)80%的無背景水平的例習(xí)題，無疑使得學(xué)生產(chǎn)生厭倦感，因此在教學(xué)過程中，要緊密聯(lián)系生活實(shí)際，把比較抽象的立體幾何和生活中的實(shí)例相結(jié)合，便于教學(xué)。[2]

2.探究上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，新舊教材在立體幾何部分，在探究難度上，屬于“識(shí)記”水平的例習(xí)題新教材占18.58%，舊教材占17.95%；屬于“理解”水平的例習(xí)題新教材占63.27%，舊教材占61.54%；屬于“探究”水平的例習(xí)題新教材占18.15%，舊教材占20.51%。

因此，通過統(tǒng)計(jì)我們可以發(fā)現(xiàn)在立體幾何部分，新舊教材在“理解”水平的例習(xí)題占比較高，達(dá)到了60%左右，屬于“識(shí)記”和“探究”水平的例習(xí)題占比相對平衡，只達(dá)到了20%，新舊教材在探究層次整體呈現(xiàn)出類似“山峰”的變化趨勢，說明新舊教材在考查學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理的理解方面比較重視。

3.運(yùn)算上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，新舊教材在立體幾何部分，屬于“無運(yùn)算”水平的例習(xí)題分別占82.74%和78.97%；屬于“數(shù)值計(jì)算”水平的例習(xí)題分別占10.62%和12.31%；屬于“符號計(jì)算”水平的例習(xí)題分別占6.64%和8.72%。我們可以清晰地看到新舊教材在運(yùn)算層次的各個(gè)難度水平的分布類似，屬于“無運(yùn)算”水平的例習(xí)題占了絕大部分，尤其是在直線與平面的位置關(guān)系章節(jié)。

4.推理上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，新舊教材在立體幾何部分，屬于“無推理”水平分別占19.03%和27.2%；屬于“簡單推理”水平分別占63.27 和58.97%；屬于“復(fù)雜推理”水平分別占17.70%和13.85%；可以看出，在“簡單推理”和“復(fù)雜推理”兩個(gè)水平上新教材的例習(xí)題數(shù)量都要高于舊教材，說明新教材例習(xí)題的“推理”水平整體上要高于舊教材。

5.知識(shí)點(diǎn)上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，新舊教材在立體幾何部分，屬于“一個(gè)知識(shí)點(diǎn)”水平的例習(xí)題中新教材占59.73%，舊教材占61.03%；屬于“兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)”水平的例習(xí)題中新教材占24.78%，舊教材占27.69%；可以看出，新舊教材在“1～2 個(gè)知識(shí)點(diǎn)”水平的例習(xí)題數(shù)量差別不大，都比較重視考察學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)理解，屬于“多個(gè)知識(shí)點(diǎn)”水平的例習(xí)題中新教材占15.49%，舊教材占11.28%，在多個(gè)知識(shí)點(diǎn)層次的例習(xí)題中，新教材要高于舊教材4 個(gè)百分點(diǎn)，也就是說新教材在例習(xí)題的知識(shí)含量上略有增加。這也使得新教材例習(xí)題的難度增大，因此，教師在例習(xí)題的教學(xué)過程中也要加強(qiáng)對各知識(shí)點(diǎn)的滲透。

6.綜合難度分析。我們運(yùn)用鮑建生綜合難度計(jì)算公式計(jì)算出新舊教材例習(xí)題在各個(gè)難度的加權(quán)平均，在背景難度上，新教材為1.14，舊教材為1.19；在探究難度上，新教材為2.00，舊教材為2.03；在運(yùn)算難度上，新教材為1.24，舊教材為1.30；在推理難度上，新教材為1.99，舊教材為1.89；在知識(shí)點(diǎn)難度上，新教材為1.56，舊教材為1.50。下圖是根據(jù)計(jì)算結(jié)果得出的例習(xí)題綜合難度雷達(dá)圖。

圖2 例習(xí)題綜合難度雷達(dá)圖

根據(jù)所得的計(jì)算結(jié)果和雷達(dá)圖，可以發(fā)現(xiàn)新教材在“推理”和“知識(shí)點(diǎn)”兩個(gè)因素上占優(yōu)，在“運(yùn)算”和“背景”方面稍顯劣勢，這說明新教材重視例習(xí)題的知識(shí)點(diǎn)含量和邏輯推理，體現(xiàn)了新課標(biāo)提高課程綜合性的指導(dǎo)思想。此外，圖中的兩個(gè)雷達(dá)圖，均有下降的趨勢，這說明新舊教材在“背景”水平的都偏低，這也是高中教材例習(xí)題在立體幾何部分相比于其他部分的顯著差異，也體現(xiàn)了立體幾何部分的例習(xí)題更加注重?cái)?shù)學(xué)題本身的理論深度，降低與生活實(shí)際的聯(lián)系的趨勢。[3]

六、立體幾何部分例習(xí)題的教學(xué)建議

（一）以學(xué)生為主，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》中強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)”，教師在例習(xí)題的教學(xué)過程中，可以通過模型或?qū)嵨?，?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情景，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)例習(xí)題中的隱含條件，采用哪些知識(shí)點(diǎn)可以進(jìn)行解題，以助于提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（二）重視信息技術(shù)的運(yùn)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

例習(xí)題中屬于“無背景”水平難度的大約占90%，這樣使得學(xué)生在做例習(xí)題時(shí)比較抽象，不易理解，無形中增加了解題的難度，大部分學(xué)生都是首次接觸空間幾何體的概念，一時(shí)間難以從“二維圖形”轉(zhuǎn)換到“三維圖形”，這也使得教學(xué)的難度大增。因此在教學(xué)過程中教師可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件將學(xué)生難以理解的空間幾何體呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，逐漸掌握如何在平面上表示空間圖形的方法和技能，為學(xué)生理解和掌握圖形幾何性質(zhì)提供直觀，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。的教學(xué)原則

（三）遵循從整體到局部，從具體到抽象

立體幾何部分的例習(xí)題也是遵循從整體到局部，從具體到抽象的教學(xué)原則，例如在證明面面垂直時(shí)，很多學(xué)生不知從何處著手，此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生從證明面面垂直這個(gè)整體上轉(zhuǎn)換到證明線面垂直上來，同時(shí)教師在例習(xí)題的教學(xué)過程中，可以利用生活中的實(shí)例或模型，抽象出空間立體圖形，進(jìn)而利用空間立體圖形研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成。[4]

（四）鍛煉學(xué)生邏輯思維，加快空間觀念的形成

立體幾何部分的教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生形成空間觀念和鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，立體幾何部分的例習(xí)題，一題多解的題型也是屢見不鮮，因此教師在一道例題的講解過程中，可以多角度的提出不同的問題，加快學(xué)生對概念的理解，以便抓住解題的要點(diǎn)，理解例習(xí)題的考點(diǎn)是什么，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，加快空間觀念的形成。但是問題的難易程度會(huì)影響學(xué)生的心態(tài)，因此在提出多角度的問題時(shí)，要根據(jù)不同層次的學(xué)生選擇性地提問。

（五）避免過量的理論推理

在例習(xí)題的教學(xué)過程中存在多種定理的同時(shí)運(yùn)用，這也使得證明過程中出現(xiàn)大量的理論推理的現(xiàn)象，面臨這種情況時(shí)，如果學(xué)生對于概念的理解不夠，就會(huì)出現(xiàn)多種定理和概念的混亂，這時(shí)教師就需要采用具體的實(shí)物配合理論證明的過程，使得證明過程變得清晰明確，但也要避免采用過量的實(shí)物，即避免從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端的現(xiàn)象發(fā)生。