王翠翠

安徽三聯(lián)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽合肥，230601

自然界和社會(huì)充滿各種類型的不確定性信息，為刻畫和分析這些不確定性信息，1965年，Zadeh[1]創(chuàng)新性地提出模糊集理論。此后，模糊集理論被不斷拓展，先后演化出直覺模糊集[2]、猶豫模糊集[3]、二型模糊集[4]等多種形式。隨著研究和應(yīng)用的不斷深入，單純的模糊集理論已經(jīng)無法滿足人們更加精準(zhǔn)地刻畫復(fù)雜不確定性問題模糊性特征的需要。因此，2011年Zadeh[5]提出Z-number理論，Z-number可以將自然語言的客觀信息和人類主觀理解進(jìn)行融合表達(dá)，不僅考慮了信息的模糊性，也對(duì)模糊信息的“可信賴”程度給予充分考查?？梢?，Z-number理論為描述和分析不確定信息，構(gòu)建新型不確定多屬性決策方法提供更加有益、便捷的分析工具。

Z-number概念提出以后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了較為深入細(xì)致的研究。Aliev等[6-7]在模糊集截集概念的基礎(chǔ)上，給出了Z-number的加、減、乘、除等基本算術(shù)運(yùn)算，以及連續(xù)Z-number最大、最小、平方、平方根等常用代數(shù)運(yùn)算，并基于線性規(guī)劃和簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問題提出了一種權(quán)衡計(jì)算復(fù)雜度和精度的Z-number計(jì)算方法。Hong等[8]提出Z-number的優(yōu)序關(guān)系并定義Z-number優(yōu)勢(shì)度的概念，通過ELECTRE III方法的偏好、無差異、否定三個(gè)閾值考慮準(zhǔn)則之間的不可補(bǔ)償性。Pirmuhammadi等[9]介紹Z-number的參數(shù)形式并定義其上的算術(shù)運(yùn)算，為了解決Z-number參數(shù)形式的問題，提出廣義的hukuhara積分、廣義積分以及Z-number距離等概念，并證明了Z-number初值問題的相關(guān)性質(zhì)。Kang等[10]利用期望方法將Z-number轉(zhuǎn)化為一般模糊數(shù)。姚愛婷等[11]定義了Z-number的兩種參數(shù)形式，并提出Z-number頻譜。

對(duì)于Z-number不確定性的刻畫是Z-number理論研究中非常重要的部分，本文綜合考慮Z-number的不確定性來源，即模糊限制A的模糊性與可靠程度B的模糊性，以及可靠程度B的內(nèi)在不確定性構(gòu)建了Z-number的綜合熵。在決策應(yīng)用中，基于風(fēng)險(xiǎn)最小原則通過熵權(quán)法給出屬性權(quán)重的求解方法。最后，結(jié)合復(fù)合效用函數(shù)建立一種新的Z-number決策模型，并給出了相應(yīng)的計(jì)算方法。

1 基礎(chǔ)概念

模糊集(Fuzzy Set)和模糊截集是模糊理論的基礎(chǔ)性概念，尤其是三角模糊集和三角模糊截集的具體表達(dá)形式可以參見文獻(xiàn)[1]。2011年Zadeh[5]在模糊集理論基礎(chǔ)上提出Z-number理論，相關(guān)概念如下：

定義1[5]Z-number是由一對(duì)有序模糊數(shù)表示，即Z=(A,B)，其中第一個(gè)元素A是不確定變量X的實(shí)值函數(shù)，是對(duì)X在數(shù)值上的約束；第二個(gè)元素B是對(duì)第一個(gè)元素A可靠性的一種測(cè)度。

Zahed指出，B是對(duì)A在概率測(cè)度上的一種約束，即B實(shí)際上可表示為

(1)

其中，pX未知，是X的概率密度函數(shù)，μA是A的隸屬函數(shù)，x∈X。

定義2[6-7]有序數(shù)對(duì)Z=(A,B)稱為一個(gè)連續(xù)Z-number，其中A是一個(gè)連續(xù)型模糊數(shù)，是對(duì)變量X在數(shù)值上的一個(gè)模糊約束；B是一個(gè)隸屬函數(shù)μB:[0,1]→[0,1]的連續(xù)型模糊數(shù)，是對(duì)A在概率測(cè)度上的模糊約束。

2 Z-number效用函數(shù)

為了度量不同模糊集之間的優(yōu)勢(shì)關(guān)系，這里基于Z-number提出效用函數(shù)的概念。

定義3設(shè)A是一個(gè)模糊集，ξ為區(qū)間[0,1]上的一個(gè)實(shí)數(shù)值，則A上的模糊效用函數(shù)U可定義為模糊集A到實(shí)數(shù)ξ的一個(gè)映射，即U:A→ξ。

定義4設(shè)Z=(A,B)為一個(gè)Z-number，A和B是一個(gè)連續(xù)型模糊數(shù)，可分別考慮A和B的效用值，再進(jìn)行復(fù)合求得Z-number的復(fù)合效用函數(shù)為

(2)

利用上述Z-number復(fù)合效用函數(shù)可定義Z-number的偏好關(guān)系。

定義5假設(shè)Z1、Z2是兩個(gè)連續(xù)Z-number，定義偏好關(guān)系“”表示Z1劣于或者等同于Z2，即Z1Z2表示CU(Z1)

(1)如果CU(Z1)

(2)如果CU(Z1)>CU(Z2) ，表示Z1優(yōu)于Z2，用Z1?Z2表示；

(3)如果CU(Z1)=CU(Z2) ，表示Z1等同于Z2，用Z1～Z2表示。

直觀上看，Z-number效用函數(shù)會(huì)隨著其均值的增大而增大。為了更好地求解Z-number復(fù)合效用函數(shù)，本文基于積分中值與截集提出了兩類新的效用函數(shù)。

(1)基于積分中值的效用函數(shù)。

(3)

其中A-、A+分別為模糊集A的左、右端點(diǎn)橫坐標(biāo)值。

(2)基于λ截集的效用函數(shù)。

(4)

其中A+(λ),A-(λ)分別為模糊數(shù)A的λ-截集的左、右端點(diǎn)。

下面以三角模糊數(shù)為例，對(duì)于三角模糊數(shù)A=(a1,a2,a3)，則其對(duì)應(yīng)的效用函數(shù)公式可表達(dá)為：

同理，基于截集的效用函數(shù)可表示為：

例1假設(shè)有一個(gè)Z-numberZ= ((0.4,0.5,x),(0.4,0.7,1))，其復(fù)合效用函數(shù)CU1和CU2隨x變化趨勢(shì)如圖1所示。

圖1 Z-number的復(fù)合效用CU1和CU2隨x變化趨勢(shì)圖

例2設(shè)有一個(gè)Z-numberZ=((0,x,1),(0,y,1))，其符合效用函數(shù)U1隨x和y變化趨勢(shì)如圖2所示。

圖2 Z-number的復(fù)合效用隨x,y變化趨勢(shì)圖

從上面的例子可以看出隨著模糊集均值向右平移，其效用函數(shù)不斷增大，Z-number的復(fù)合效用值也隨A與B效用增加而不斷增加。

3 模糊度

一個(gè)模糊集的模糊程度可以用模糊度來量化，Luca等[12]給出如下模糊度的概念。

定義6[12]設(shè)F(X)為論域X上所有模糊集的全體，任意模糊集A∈F(X)，若映射E:F(X)→[0,1]滿足如下條件：

①當(dāng)且僅當(dāng)A是清晰集時(shí)，E(A)=0；

④對(duì)?A∈F(X)，有E(A)=E(A)c。

則稱E為模糊集F(X)上的一個(gè)模糊度函數(shù)，而E(A)為模糊集A的模糊度。

設(shè)A為一個(gè)連續(xù)型模糊數(shù)，下面提出如下兩種新的模糊度公式。

(1)利用正弦函數(shù)構(gòu)造正弦模糊度：

(5)

(2)利用多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)造上弦模糊度：

(6)

下面僅證明(5)式滿足定義6的四條性質(zhì),(6)式可類似證明。

證明對(duì)于性質(zhì)①，當(dāng)A為清晰集時(shí)，即μA(x)=0，可得E(A)=0；反之，若E(A)=0，由于μA(x)∈[0,1]，則sin(μA(x)·π)≥0恒成立。又因?yàn)锳為連續(xù)性模糊數(shù)，μA(x)在[0,1]上也具有連續(xù)性，則sin(μA(x)·π)在[0,1]上連續(xù)。所以sin(μA(x)·π)=0時(shí)得到μA(x)=0或1，進(jìn)而A是清晰集。

對(duì)于性質(zhì)④，由于μAc(x)=1-μA(x)，使得sin(μAc(x)·π)=sin(π-μAc(x)·π) =sin(μA(x)·π)，所以E(A)=E(A)c。證畢。

特別地，對(duì)于任意三角模糊數(shù)A=(a1,a2,a3)，根據(jù)(5)和(6)式可計(jì)算其正弦模糊度和上弦模糊度分別為：

4 Z-number綜合熵

由Z-number的結(jié)構(gòu)可知，Z-number信息的不確定性主要來自A和B的模糊性以及B中的內(nèi)在不確定性。其中A和B的模糊性可用其模糊度來度量，B對(duì)A可靠性的評(píng)價(jià)及B的內(nèi)在不確定性用B的效用函數(shù)度量?；谶@個(gè)思想，可構(gòu)建如下Z-number綜合熵。

定義7設(shè)Z=(A,B)為一個(gè)Z-number，則Z-number綜合熵可定義為

CE(Z)=f(E(A),E(B),U(B))

(7)

其中，E(A),E(B)分別為A、B的模糊度，U(B)為B的效用函數(shù)。同時(shí)，CE(Z)需要滿足如下性質(zhì)：

(1)綜合熵取值范圍0≤CE(Z)≤1。

(2)CE(Z)=0當(dāng)且僅當(dāng)E(A)=0,E(B)=0,U(B)=0或1。

(3)當(dāng)E(A)=1,E(B)=1,U(B)=0.5任一等式成立時(shí)，有CE(Z)=1。

(4)CE(Z)隨著E(A)和E(B)增大而增大；當(dāng)0≤U(B)≤0.5時(shí)，CE(Z)隨U(B)增大而增大；當(dāng)0.5≤U(B)≤1時(shí)，CE(Z)隨U(B)增大而減小。

定義8Z=(A,B)為一個(gè)Z-number，可定義如下的具體的Z-number綜合熵：

CE(Z)=1-(1-E(A))(1-E(B))×(2|U(B)-0.5|)

(8)

下面證明(8)式滿足定義7中的四個(gè)性質(zhì)：

證明對(duì)于性質(zhì)①，因?yàn)?≤E(A)≤1,0≤E(B)≤1,0≤U(B)≤1 ，則有

0≤1-E(A)≤1,0≤1-E(B)≤1,0≤2×|U(B)-0.5|≤1。

所以,0≤(1-E(A))(1-E(B))×(2|U(B)-0.5|)≤1，進(jìn)而可得0≤CE(Z)≤1。

對(duì)于性質(zhì)②，充分性代入即可得證。

若有CE(Z)=0，則有(1-E(A))(1-E(B))(2|U(B)-0.5|)=1。又因?yàn)?/p>

0≤1-E(A)≤1,0≤1-E(B)≤1,0≤2|U(B)-0.5|≤1，

故1-E(A)=1,1-E(B)=1,2|U(B)-0.5|=1,所以E(A)=0,E(B)=0,U(B)=0或1。

對(duì)于性質(zhì)③，E(A)=1或E(B)=1或U(B)=0.5代入(8)式，即可求得CE(Z)=0。

對(duì)于性質(zhì)④，CE(Z)分別關(guān)于E(A)和E(B)求偏導(dǎo)數(shù)可得:

因此CE(Z)會(huì)隨著E(A)和E(B)增大而增大。

下面舉一個(gè)例子觀察Z-number綜合熵隨模糊限制A及可靠性B變化的情況。

例3假設(shè)有一個(gè)Z-numberZ=((0,x/2,x),(0,y/2,y))，則其綜合熵隨x與y變化情況如圖3所示。

圖3 Z-number的綜合熵隨x,y變化趨勢(shì)圖

5 Z-number多屬性決策方法

5.1 基于Z-number綜合熵的多屬性決策方法

下面基于效用函數(shù)、模糊度和Z-number綜合熵，提出一種新的Z-number多屬性決策方法，具體步驟如下：

假設(shè)有一位決策者需要對(duì)n個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)(A1,A2,…,An)，每個(gè)方案有m個(gè)屬性(a1,a2,…,am)，評(píng)價(jià)矩陣為D=(zij)n×m，其中zij為決策者對(duì)方案Ai在屬性aj下給出的評(píng)價(jià)值，該評(píng)價(jià)值以Z-number的形式給出。

步驟1：規(guī)范化Z-number決策矩陣D。通常決策屬性可以分為成本型和效益型兩大類，為保持?jǐn)?shù)據(jù)屬性和趨向的一致性，需要對(duì)其進(jìn)行規(guī)范化處理。設(shè)規(guī)范化后的決策矩陣為R=(rij)n×m，其中

(9)

步驟2：結(jié)合(2)式計(jì)算規(guī)范化后Z-number復(fù)合效用函數(shù)矩陣CE=(CE(rij))n×m。

步驟5： 通過得分公式Score=R×ωT計(jì)算每個(gè)方案的綜合得分，并根據(jù)方案得分進(jìn)行排序，從而得到最優(yōu)方案。

5.2 實(shí)例分析

下面以姚愛婷等[11]中的例題展示上述多屬性決策方法的計(jì)算過程。假設(shè)某位乘客旅行在選擇交通工具時(shí)有三種不同選擇，即汽車、出租車和火車，該乘客主要考慮的因素為價(jià)格、舒適度與旅行時(shí)間。根據(jù)實(shí)際情況，成本一般是最重要的影響因素，因此將價(jià)格與旅行時(shí)間都?xì)w屬于成本類因素，而舒適度則歸屬于效益類因素，規(guī)范化為效益型后的具體數(shù)值如表1所示。

表1 規(guī)范化后的決策矩陣

首先，選擇效用函數(shù)U1((2)式)計(jì)算Z-number復(fù)合效用矩陣為

然后，結(jié)合步驟3分別使用正弦模糊度((5)式)和上弦模糊度(式(6))計(jì)算三個(gè)屬性的綜合熵，并根據(jù)步驟4的熵值法計(jì)算每個(gè)屬性的權(quán)重，綜合熵和屬性權(quán)重計(jì)算結(jié)果如表2所示。

最后，結(jié)合步驟5中的得分公式Score=R×ωT，可計(jì)算三種出行方案的綜合得分，得分結(jié)果如表2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，無論采用正弦模糊度，還是上弦模糊度，出行方案的排序均為A1?A3?A2，說明該旅客在綜合考慮價(jià)格、旅行時(shí)間和舒適度因素下最優(yōu)的出行方式是汽車。該結(jié)果也與姚愛婷等[11]中的結(jié)論是一致的，說明所提出的多屬性決策方法是有效且可行的。

表2 綜合熵、權(quán)重和得分的計(jì)算結(jié)果

6 結(jié) 論

本文在Z-number理論的基礎(chǔ)上提出Z-number的復(fù)合效用函數(shù)和綜合熵，給出兩種新的模糊度求解公式(即正弦模糊度和上弦模糊度)。在決策屬性完全未知的情況下，本文利用Z-number綜合熵判斷各方案評(píng)價(jià)信息的不確定性大小，給予不確定性較小的方案更大的權(quán)重，計(jì)算各方案的加權(quán)復(fù)合效用并加以排序得到最好的決策結(jié)果。該決策方法同時(shí)考慮了屬性權(quán)重未知、專家偏好未知等不確定因素，為決策者實(shí)施決策提供了更準(zhǔn)確、直觀的理論依據(jù)。