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        Z-number綜合熵及其在多屬性決策中的應(yīng)用

        2022-04-29 02:50:18王翠翠
        宿州學(xué)院學(xué)報(bào) 2022年3期
        關(guān)鍵詞:效用函數(shù)模糊性模糊集

        王翠翠

        安徽三聯(lián)學(xué)院基礎(chǔ)部,安徽合肥,230601

        自然界和社會(huì)充滿各種類型的不確定性信息,為刻畫和分析這些不確定性信息,1965年,Zadeh[1]創(chuàng)新性地提出模糊集理論。此后,模糊集理論被不斷拓展,先后演化出直覺模糊集[2]、猶豫模糊集[3]、二型模糊集[4]等多種形式。隨著研究和應(yīng)用的不斷深入,單純的模糊集理論已經(jīng)無法滿足人們更加精準(zhǔn)地刻畫復(fù)雜不確定性問題模糊性特征的需要。因此,2011年Zadeh[5]提出Z-number理論,Z-number可以將自然語言的客觀信息和人類主觀理解進(jìn)行融合表達(dá),不僅考慮了信息的模糊性,也對(duì)模糊信息的“可信賴”程度給予充分考查??梢?,Z-number理論為描述和分析不確定信息,構(gòu)建新型不確定多屬性決策方法提供更加有益、便捷的分析工具。

        Z-number概念提出以后,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了較為深入細(xì)致的研究。Aliev等[6-7]在模糊集截集概念的基礎(chǔ)上,給出了Z-number的加、減、乘、除等基本算術(shù)運(yùn)算,以及連續(xù)Z-number最大、最小、平方、平方根等常用代數(shù)運(yùn)算,并基于線性規(guī)劃和簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問題提出了一種權(quán)衡計(jì)算復(fù)雜度和精度的Z-number計(jì)算方法。Hong等[8]提出Z-number的優(yōu)序關(guān)系并定義Z-number優(yōu)勢(shì)度的概念,通過ELECTRE III方法的偏好、無差異、否定三個(gè)閾值考慮準(zhǔn)則之間的不可補(bǔ)償性。Pirmuhammadi等[9]介紹Z-number的參數(shù)形式并定義其上的算術(shù)運(yùn)算,為了解決Z-number參數(shù)形式的問題,提出廣義的hukuhara積分、廣義積分以及Z-number距離等概念,并證明了Z-number初值問題的相關(guān)性質(zhì)。Kang等[10]利用期望方法將Z-number轉(zhuǎn)化為一般模糊數(shù)。姚愛婷等[11]定義了Z-number的兩種參數(shù)形式,并提出Z-number頻譜。

        對(duì)于Z-number不確定性的刻畫是Z-number理論研究中非常重要的部分,本文綜合考慮Z-number的不確定性來源,即模糊限制A的模糊性與可靠程度B的模糊性,以及可靠程度B的內(nèi)在不確定性構(gòu)建了Z-number的綜合熵。在決策應(yīng)用中,基于風(fēng)險(xiǎn)最小原則通過熵權(quán)法給出屬性權(quán)重的求解方法。最后,結(jié)合復(fù)合效用函數(shù)建立一種新的Z-number決策模型,并給出了相應(yīng)的計(jì)算方法。

        1 基礎(chǔ)概念

        模糊集(Fuzzy Set)和模糊截集是模糊理論的基礎(chǔ)性概念,尤其是三角模糊集和三角模糊截集的具體表達(dá)形式可以參見文獻(xiàn)[1]。2011年Zadeh[5]在模糊集理論基礎(chǔ)上提出Z-number理論,相關(guān)概念如下:

        定義1[5]Z-number是由一對(duì)有序模糊數(shù)表示,即Z=(A,B),其中第一個(gè)元素A是不確定變量X的實(shí)值函數(shù),是對(duì)X在數(shù)值上的約束;第二個(gè)元素B是對(duì)第一個(gè)元素A可靠性的一種測(cè)度。

        Zahed指出,B是對(duì)A在概率測(cè)度上的一種約束,即B實(shí)際上可表示為

        (1)

        其中,pX未知,是X的概率密度函數(shù),μA是A的隸屬函數(shù),x∈X。

        定義2[6-7]有序數(shù)對(duì)Z=(A,B)稱為一個(gè)連續(xù)Z-number,其中A是一個(gè)連續(xù)型模糊數(shù),是對(duì)變量X在數(shù)值上的一個(gè)模糊約束;B是一個(gè)隸屬函數(shù)μB:[0,1]→[0,1]的連續(xù)型模糊數(shù),是對(duì)A在概率測(cè)度上的模糊約束。

        2 Z-number效用函數(shù)

        為了度量不同模糊集之間的優(yōu)勢(shì)關(guān)系,這里基于Z-number提出效用函數(shù)的概念。

        定義3設(shè)A是一個(gè)模糊集,ξ為區(qū)間[0,1]上的一個(gè)實(shí)數(shù)值,則A上的模糊效用函數(shù)U可定義為模糊集A到實(shí)數(shù)ξ的一個(gè)映射,即U:A→ξ。

        定義4設(shè)Z=(A,B)為一個(gè)Z-number,A和B是一個(gè)連續(xù)型模糊數(shù),可分別考慮A和B的效用值,再進(jìn)行復(fù)合求得Z-number的復(fù)合效用函數(shù)為

        (2)

        利用上述Z-number復(fù)合效用函數(shù)可定義Z-number的偏好關(guān)系。

        定義5假設(shè)Z1、Z2是兩個(gè)連續(xù)Z-number,定義偏好關(guān)系“”表示Z1劣于或者等同于Z2,即Z1Z2表示CU(Z1)

        (1)如果CU(Z1)

        (2)如果CU(Z1)>CU(Z2) ,表示Z1優(yōu)于Z2,用Z1?Z2表示;

        (3)如果CU(Z1)=CU(Z2) ,表示Z1等同于Z2,用Z1~Z2表示。

        直觀上看,Z-number效用函數(shù)會(huì)隨著其均值的增大而增大。為了更好地求解Z-number復(fù)合效用函數(shù),本文基于積分中值與截集提出了兩類新的效用函數(shù)。

        (1)基于積分中值的效用函數(shù)。

        (3)

        其中A-、A+分別為模糊集A的左、右端點(diǎn)橫坐標(biāo)值。

        (2)基于λ截集的效用函數(shù)。

        (4)

        其中A+(λ),A-(λ)分別為模糊數(shù)A的λ-截集的左、右端點(diǎn)。

        下面以三角模糊數(shù)為例,對(duì)于三角模糊數(shù)A=(a1,a2,a3),則其對(duì)應(yīng)的效用函數(shù)公式可表達(dá)為:

        同理,基于截集的效用函數(shù)可表示為:

        例1假設(shè)有一個(gè)Z-numberZ= ((0.4,0.5,x),(0.4,0.7,1)),其復(fù)合效用函數(shù)CU1和CU2隨x變化趨勢(shì)如圖1所示。

        圖1 Z-number的復(fù)合效用CU1和CU2隨x變化趨勢(shì)圖

        例2設(shè)有一個(gè)Z-numberZ=((0,x,1),(0,y,1)),其符合效用函數(shù)U1隨x和y變化趨勢(shì)如圖2所示。

        圖2 Z-number的復(fù)合效用隨x,y變化趨勢(shì)圖

        從上面的例子可以看出隨著模糊集均值向右平移,其效用函數(shù)不斷增大,Z-number的復(fù)合效用值也隨A與B效用增加而不斷增加。

        3 模糊度

        一個(gè)模糊集的模糊程度可以用模糊度來量化,Luca等[12]給出如下模糊度的概念。

        定義6[12]設(shè)F(X)為論域X上所有模糊集的全體,任意模糊集A∈F(X),若映射E:F(X)→[0,1]滿足如下條件:

        ①當(dāng)且僅當(dāng)A是清晰集時(shí),E(A)=0;

        ④對(duì)?A∈F(X),有E(A)=E(A)c。

        則稱E為模糊集F(X)上的一個(gè)模糊度函數(shù),而E(A)為模糊集A的模糊度。

        設(shè)A為一個(gè)連續(xù)型模糊數(shù),下面提出如下兩種新的模糊度公式。

        (1)利用正弦函數(shù)構(gòu)造正弦模糊度:

        (5)

        (2)利用多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)造上弦模糊度:

        (6)

        下面僅證明(5)式滿足定義6的四條性質(zhì),(6)式可類似證明。

        證明對(duì)于性質(zhì)①,當(dāng)A為清晰集時(shí),即μA(x)=0,可得E(A)=0;反之,若E(A)=0,由于μA(x)∈[0,1],則sin(μA(x)·π)≥0恒成立。又因?yàn)锳為連續(xù)性模糊數(shù),μA(x)在[0,1]上也具有連續(xù)性,則sin(μA(x)·π)在[0,1]上連續(xù)。所以sin(μA(x)·π)=0時(shí)得到μA(x)=0或1,進(jìn)而A是清晰集。

        對(duì)于性質(zhì)④,由于μAc(x)=1-μA(x),使得sin(μAc(x)·π)=sin(π-μAc(x)·π) =sin(μA(x)·π),所以E(A)=E(A)c。證畢。

        特別地,對(duì)于任意三角模糊數(shù)A=(a1,a2,a3),根據(jù)(5)和(6)式可計(jì)算其正弦模糊度和上弦模糊度分別為:

        4 Z-number綜合熵

        由Z-number的結(jié)構(gòu)可知,Z-number信息的不確定性主要來自A和B的模糊性以及B中的內(nèi)在不確定性。其中A和B的模糊性可用其模糊度來度量,B對(duì)A可靠性的評(píng)價(jià)及B的內(nèi)在不確定性用B的效用函數(shù)度量?;谶@個(gè)思想,可構(gòu)建如下Z-number綜合熵。

        定義7設(shè)Z=(A,B)為一個(gè)Z-number,則Z-number綜合熵可定義為

        CE(Z)=f(E(A),E(B),U(B))

        (7)

        其中,E(A),E(B)分別為A、B的模糊度,U(B)為B的效用函數(shù)。同時(shí),CE(Z)需要滿足如下性質(zhì):

        (1)綜合熵取值范圍0≤CE(Z)≤1。

        (2)CE(Z)=0當(dāng)且僅當(dāng)E(A)=0,E(B)=0,U(B)=0或1。

        (3)當(dāng)E(A)=1,E(B)=1,U(B)=0.5任一等式成立時(shí),有CE(Z)=1。

        (4)CE(Z)隨著E(A)和E(B)增大而增大;當(dāng)0≤U(B)≤0.5時(shí),CE(Z)隨U(B)增大而增大;當(dāng)0.5≤U(B)≤1時(shí),CE(Z)隨U(B)增大而減小。

        定義8Z=(A,B)為一個(gè)Z-number,可定義如下的具體的Z-number綜合熵:

        CE(Z)=1-(1-E(A))(1-E(B))×(2|U(B)-0.5|)

        (8)

        下面證明(8)式滿足定義7中的四個(gè)性質(zhì):

        證明對(duì)于性質(zhì)①,因?yàn)?≤E(A)≤1,0≤E(B)≤1,0≤U(B)≤1 ,則有

        0≤1-E(A)≤1,0≤1-E(B)≤1,0≤2×|U(B)-0.5|≤1。

        所以,0≤(1-E(A))(1-E(B))×(2|U(B)-0.5|)≤1,進(jìn)而可得0≤CE(Z)≤1。

        對(duì)于性質(zhì)②,充分性代入即可得證。

        若有CE(Z)=0,則有(1-E(A))(1-E(B))(2|U(B)-0.5|)=1。又因?yàn)?/p>

        0≤1-E(A)≤1,0≤1-E(B)≤1,0≤2|U(B)-0.5|≤1,

        故1-E(A)=1,1-E(B)=1,2|U(B)-0.5|=1,所以E(A)=0,E(B)=0,U(B)=0或1。

        對(duì)于性質(zhì)③,E(A)=1或E(B)=1或U(B)=0.5代入(8)式,即可求得CE(Z)=0。

        對(duì)于性質(zhì)④,CE(Z)分別關(guān)于E(A)和E(B)求偏導(dǎo)數(shù)可得:

        因此CE(Z)會(huì)隨著E(A)和E(B)增大而增大。

        下面舉一個(gè)例子觀察Z-number綜合熵隨模糊限制A及可靠性B變化的情況。

        例3假設(shè)有一個(gè)Z-numberZ=((0,x/2,x),(0,y/2,y)),則其綜合熵隨x與y變化情況如圖3所示。

        圖3 Z-number的綜合熵隨x,y變化趨勢(shì)圖

        5 Z-number多屬性決策方法

        5.1 基于Z-number綜合熵的多屬性決策方法

        下面基于效用函數(shù)、模糊度和Z-number綜合熵,提出一種新的Z-number多屬性決策方法,具體步驟如下:

        假設(shè)有一位決策者需要對(duì)n個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)(A1,A2,…,An),每個(gè)方案有m個(gè)屬性(a1,a2,…,am),評(píng)價(jià)矩陣為D=(zij)n×m,其中zij為決策者對(duì)方案Ai在屬性aj下給出的評(píng)價(jià)值,該評(píng)價(jià)值以Z-number的形式給出。

        步驟1:規(guī)范化Z-number決策矩陣D。通常決策屬性可以分為成本型和效益型兩大類,為保持?jǐn)?shù)據(jù)屬性和趨向的一致性,需要對(duì)其進(jìn)行規(guī)范化處理。設(shè)規(guī)范化后的決策矩陣為R=(rij)n×m,其中

        (9)

        步驟2:結(jié)合(2)式計(jì)算規(guī)范化后Z-number復(fù)合效用函數(shù)矩陣CE=(CE(rij))n×m。

        步驟5: 通過得分公式Score=R×ωT計(jì)算每個(gè)方案的綜合得分,并根據(jù)方案得分進(jìn)行排序,從而得到最優(yōu)方案。

        5.2 實(shí)例分析

        下面以姚愛婷等[11]中的例題展示上述多屬性決策方法的計(jì)算過程。假設(shè)某位乘客旅行在選擇交通工具時(shí)有三種不同選擇,即汽車、出租車和火車,該乘客主要考慮的因素為價(jià)格、舒適度與旅行時(shí)間。根據(jù)實(shí)際情況,成本一般是最重要的影響因素,因此將價(jià)格與旅行時(shí)間都?xì)w屬于成本類因素,而舒適度則歸屬于效益類因素,規(guī)范化為效益型后的具體數(shù)值如表1所示。

        表1 規(guī)范化后的決策矩陣

        首先,選擇效用函數(shù)U1((2)式)計(jì)算Z-number復(fù)合效用矩陣為

        然后,結(jié)合步驟3分別使用正弦模糊度((5)式)和上弦模糊度(式(6))計(jì)算三個(gè)屬性的綜合熵,并根據(jù)步驟4的熵值法計(jì)算每個(gè)屬性的權(quán)重,綜合熵和屬性權(quán)重計(jì)算結(jié)果如表2所示。

        最后,結(jié)合步驟5中的得分公式Score=R×ωT,可計(jì)算三種出行方案的綜合得分,得分結(jié)果如表2所示??梢园l(fā)現(xiàn),無論采用正弦模糊度,還是上弦模糊度,出行方案的排序均為A1?A3?A2,說明該旅客在綜合考慮價(jià)格、旅行時(shí)間和舒適度因素下最優(yōu)的出行方式是汽車。該結(jié)果也與姚愛婷等[11]中的結(jié)論是一致的,說明所提出的多屬性決策方法是有效且可行的。

        表2 綜合熵、權(quán)重和得分的計(jì)算結(jié)果

        6 結(jié) 論

        本文在Z-number理論的基礎(chǔ)上提出Z-number的復(fù)合效用函數(shù)和綜合熵,給出兩種新的模糊度求解公式(即正弦模糊度和上弦模糊度)。在決策屬性完全未知的情況下,本文利用Z-number綜合熵判斷各方案評(píng)價(jià)信息的不確定性大小,給予不確定性較小的方案更大的權(quán)重,計(jì)算各方案的加權(quán)復(fù)合效用并加以排序得到最好的決策結(jié)果。該決策方法同時(shí)考慮了屬性權(quán)重未知、專家偏好未知等不確定因素,為決策者實(shí)施決策提供了更準(zhǔn)確、直觀的理論依據(jù)。

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