王思儉

[摘要] 新的一輪課程改革已經(jīng)實施三年，本次課程改革倡導以生為本，旨在通過對數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，完成立德樹人的根本任務。而“單元整體教學設計”作為推進課堂教學改革及落實核心素養(yǎng)的重要途徑，需要做好整體設計與整體統(tǒng)領下的后繼學習，形成單元內部的連貫、單元與單元的一致性、數(shù)學與生活的應用性、數(shù)學與其他學科之間的創(chuàng)新性，體現(xiàn)數(shù)學學習的一般觀點，以及研究問題的普適性。

[關鍵詞] 單元設計;核心素養(yǎng);概念課;數(shù)學思維

一、問題提出

目前課堂教學的實質改革仍然有限，教學方法仍然是“題型+方法”，這扼殺了學生的創(chuàng)造性思維。究其原因，主要受高考“唯分數(shù)”指揮棒的影響，以高考升學率為目標，以一本率為評價標準，將數(shù)學內容碎片化為知識點，采用“微專題”轟炸，再通過所謂“二級結論”進行“灌輸+記憶”的教學方式強加給學生，再總結“秒殺、妙解”等刷題“特技”，用來提高高考分數(shù)，這種模式不利于學生夯實基礎、提高能力，不利于發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，更不利于提高學習數(shù)學的興趣，增強數(shù)學學習的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力[1]等課程目標的實現(xiàn)。所以，課堂教學必須強調并落實“數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性”。[2]

鑒于此，課程改革強調“以具體整體性的知識單元為載體、從認知的聯(lián)系性出發(fā)進行設計并開展課堂教學”。[3]筆者應蘇州大學數(shù)學科學院和教師教育學院邀請，于2019年12月為蘇州大學2017級研究生和江蘇省優(yōu)秀數(shù)學骨干教師執(zhí)教了“導數(shù)在研究函數(shù)的應用”，旨在探究單元教學設計的新思路，落實新課標所倡導的“數(shù)學育人”。

二、基于單元設計理念的教學設計

（一）學情分析

教學對象是本校高二15班共31名學生，該班是本校與中國科學技術大學少年學院聯(lián)合創(chuàng)辦的首屆少年預備班，學生是從初二（或初一）直接選拔讀高中的，年齡都是14-16歲。他們思維活躍，思維水平較高，反應較快，接受能力、自主探究能力和理解能力較強，善于發(fā)現(xiàn)新問題，但數(shù)學語言表述不到位，特別是邏輯推理方面欠缺。選擇這節(jié)內容開設公開課，旨在引導學生利用已有的基本經(jīng)驗和直觀想象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調性與導數(shù)的內在聯(lián)系、揭示導數(shù)與函數(shù)極值、最值之間的一致性，引導學生學會用數(shù)學思維分析事件。

（二）教材分析

導數(shù)在研究函數(shù)中的應用十分重要，人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊第84-97頁詳細闡述了函數(shù)的單調性與導數(shù)關系、利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、極大（小）值、最大（?。┲狄约皩嶋H應用。概念較多，特別是極值與最值的概念學生容易混淆。對于思維水平較高的學生，在正常學習之上應有新的教學思路。

（三）設計理念及教學目標

1.設計理念

數(shù)學概念教學一般包括：概念的引入、內涵和外延的明確、概念的應用。教學過程不能只讓學生被動接受、強加記憶、機械模仿和超量刷題，而是讓學生自主探究，通過動手操作、主動參與、智力參與、主體體驗、合作交流等方式，“再創(chuàng)造”自己的數(shù)學意義和數(shù)學經(jīng)驗活動，使數(shù)學學習成為發(fā)展智力、提高一般科學研究能力的有效途徑。

基于單元設計理念的教學設計路線如圖1所示。

2.教學目標

（1）知識目標：用導數(shù)刻畫函數(shù)動態(tài)的單調遞增和單調遞減的概念，會用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調性、極值和最值。

（2）過程目標：體會數(shù)學符號語言描述數(shù)學對象的精確性、簡約性，初步體驗從運動中、從數(shù)形結合中發(fā)現(xiàn)導數(shù)的正負性與函數(shù)單調性的關系，體驗發(fā)現(xiàn)數(shù)學性質的樂趣。

（3）素養(yǎng)目標：培養(yǎng)學生學會觀察問題、提出問題和解決問題的能力，會用數(shù)學方法研究實際問題，創(chuàng)造性地解決問題，感悟數(shù)學的本質。

（四）教學過程

在新課程改革中，根據(jù)數(shù)學知識的“生長”規(guī)律，學生的認知現(xiàn)狀和發(fā)展需求，整體把握教學要求，單元設計教學內容與教學方法。這樣的教學，注重知識之間的聯(lián)系，有利于知識的結構化、系統(tǒng)化，避免了知識碎片化、孤立化;有利于數(shù)學理解，養(yǎng)成“聯(lián)系知識”的習慣;遷移知識和方法，促進知識的鞏固;助力數(shù)學應用，促進數(shù)學學科素養(yǎng)的培育。

1.創(chuàng)設基本經(jīng)驗 關聯(lián)數(shù)學的整體性

學生學習數(shù)學是從學習數(shù)學概念開始的，數(shù)學概念是學生認識數(shù)學、理解數(shù)學和應用數(shù)學的源泉，可見，數(shù)學概念教學十分重要，是學生建構數(shù)學認知體系，完善數(shù)學知識的框架，提升數(shù)學素養(yǎng)的起點。為此，在概念課的教學中，情境創(chuàng)設尤為重要，學生基本活動經(jīng)驗更加珍貴，以舊引新是情境創(chuàng)設常用的方式，根據(jù)本節(jié)課的教學內容，筆者設計了以下基本活動經(jīng)驗。

師：下列函數(shù)：（1）f（x）=2x+1，g（x）=2x+1;

（2）f（x）=x2-2x-1;（3）f（x）=;（4）f（x）=

x3+x;（5）f（x）=sinx（x （-π，π））。用什么方法研究下列各函數(shù)的單調性？

生（齊）：畫圖或者定義法。

師：利用數(shù)形結合思想或者定義法是解決問題基本方法，當然也會有其他方法。

[設計意圖]利用常見函數(shù)圖像、單調性與函數(shù)導數(shù)正負號進行比較，引導學生在已有的基本活動經(jīng)驗的基礎上探索新的研究策略，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

當聽到學生小聲議論“還會有什么新的方法呢”“導數(shù)法可以嗎”時，筆者順勢引導學生思考下面的問題。

師：上述幾個函數(shù)的單調性與其導數(shù)有什么關系？就這個方面你們能提出新的問題嗎？

生（齊）：如果f '（x）>0，則f（x）單調遞增;如果f '（x）<0，則f（x）單調遞減。

師：不規(guī)范，指定區(qū)間I必須連續(xù)，如（3）中的反比例函數(shù)，雖有f '（x）<0，但不能說它是單調遞減的;而（5）的正弦函數(shù)在指定區(qū)間上導函數(shù)正負交替出現(xiàn)。

[設計意圖]對不同類型的典型實例進行屬性分析、比較、綜合，概括出它們的共同屬性得到本質特征，為抽象導數(shù)與單調性的關系做好準備。

2.重構概念內涵 理順邏輯的連貫性

美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動，思維永遠是從問題開始的?！盵4]因此，在組織教學活動中，讓學生認識到數(shù)學概念不是憑空產(chǎn)生的，也不是孤立的，它是在原有基礎上不斷發(fā)展而來的，具有一定的結構性和連貫性。數(shù)學概念也可以有其他的表達形式，如函數(shù)的單調性在必修一中已經(jīng)學習，那么利用導數(shù)的幾何意義和極限思想進一步研究函數(shù)的單調性，有助于學生理順新舊表達方式邏輯的連貫性。鑒于此，筆者提出了以下問題。

師：怎樣利用導數(shù)來刻畫函數(shù)的單調性？

生1：利用函數(shù)單調性定義和導數(shù)定義進行研究。

師：很好！你們能建立“函數(shù)的單調性”與“導函數(shù)的正負性”之間關系嗎？

生2：根據(jù)函數(shù)單調性定義，已知f（x）的定義域為D，對于給定區(qū)間I=（a，b），ID，x1，x2? I，x1

生10：從前面討論第（2）（5）的函數(shù)中，我發(fā)現(xiàn)函數(shù)取到最大值或最小值時，導函數(shù)為0，于是，要求函數(shù)在定義域內的最大值或最小值時只要解出f '（x）=0的x值，將其代入f（x）表達式即可。

生11：不一定，對于f（x）=x3，f '（0）=0，但f（x）在R上單調遞增，因此沒有最值。

而f（x）=x+的導函數(shù)為f '（x）=1-，

有f '（±1）=0，代入求得函數(shù)值f （1）=2，f （-1）=

2，這與利用基本不等式求出的結果f（x）≥2或f（x）≤

2是一致的，即最大值為2，最小值為-2。

生12：這是對勾函數(shù)，f '（x）=1-，當f '（x）=

1->0，即x>1或x<-1，因此，單調遞增區(qū)間為

（-∞，-1），（1，+∞），同理，單調遞減區(qū)間為（-1，0），（0，1），結合圖像可得，既無最大值，也無最小值，值域是（-∞，-2]∪[2，+∞）。

師：關于最值的分析是正確的。當x>0時，在x=1附近的函數(shù)值沒有比2更小的，于是就把f（1）=2作為f（x）的極小值;同理f（-1）=-2作為f（x）的極大值。

極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質，而不是函數(shù)在整個定義域內的性質，也就是說，如果x0是函數(shù)y=f（x）的極大（小）值點，那么在x=x0附近找不到比f（x0）更大（?。┑闹?。

[設計意圖]通過對已知函數(shù)圖像的觀察，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，繼而引出函數(shù)極值和極值點的概念。

師：如果f（x0）=0，那么f（x）在x=x0處一定有極值嗎？又怎樣判斷極大（?。┲担?/p>

[設計意圖]鼓勵學生自主選擇問題鞏固有關概念，引導學生學會從特殊實例中總結歸納一般情況，培養(yǎng)學生獨立思考、合作交流的能力。

學生分組討論、爭辯交流，教師巡回觀察指導，時而參與交流，學生智力參與，教師給予點評，并做關鍵的提示與強調。

一學生小組發(fā)問：函數(shù)f（x）=x2-2x-1在x=1處導數(shù)為0，極小值為2，以前將其叫作最小值，這兩者有區(qū)別嗎？

此時，筆者首先表揚該生敢于提出新問題的精神，其次給出函數(shù)最值的概念。

師：最大（?。┲凳侵冈谡麄€給定區(qū)間內所有函數(shù)值都與f（x0）比較，沒有比f（x0）再大（?。┑牧?，這時f（x0）就是最大（小）值。因此對于二次函數(shù)在對稱軸處既是極大（小）值，也是最大（?。┲怠?/p>

追問：你們能再找一個函數(shù)極值就是相應最值嗎？

此時，課堂上又一次引起熱烈討論，大家紛紛舉例，并加以驗證或者否定。

師：這些都是在整個定義域內的極值與最值的關系，一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y=f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。

[設計意圖]通過學生自主探究，并提出問題，激發(fā)學生的聯(lián)想、比較、分析、概括、抽象等高水平數(shù)學思維，而且還在方法論上給予“強抽象”的體驗。

4.體驗問題模型 體驗數(shù)學的實用性

培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題能力，是新課程改革的重要目標之一，問題意識、質疑能力也是重要的學科素養(yǎng)。數(shù)學學習尤其要有較強的主動性和積極性，絕不能人云亦云，要有自己的獨立思考。因此，在教學過程中，要鼓勵學生大膽質疑、提出問題，培養(yǎng)學生的理性精神和創(chuàng)新精神。學生習慣于解決給定的問題，對于開放性問題往往束手無策，這樣不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。教學時，訓練學生的逆向思維，引導研究問題的模型，這樣讓學生體驗數(shù)學的實用性，因此，筆者設計了如下問題。

師：求函數(shù)f（x）=x2（3-x）的單調區(qū)間，并指出單調性。

學生自主求解交流，教師察看點撥。

追問1：你們能提出新的問題嗎？

生（齊）：根據(jù)極值的定義，得極大值f（2）=4;得極小值 f（0）=0。

生13：還可以求函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值4，最小值16。

師：很好！你們已經(jīng)掌握了求函數(shù)單調區(qū)間、極值和最值的方法。

追問2：你們能根據(jù)這個函數(shù)式構造一個具體的實例（數(shù)學模型）嗎？可以分組討論。

生14：當0

（1）我們是按照怎樣的路徑探究導數(shù)在研究函數(shù)中的應用的？

（2）獲得導數(shù)概念的過程與獲得用導數(shù)刻畫函數(shù)單調性的過程有怎樣的異同？

（3）利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與利用導數(shù)求函數(shù)的最值有怎樣的異同？

（4）你利用導數(shù)還能探究函數(shù)哪些性質？

[設計意圖]從結構化、聯(lián)系性等視角歸納總結本課的學習內容，進一步認識導數(shù)在研究函數(shù)中的內容、過程和方法，突出導數(shù)與函數(shù)之間的內在關聯(lián)，滲透逆向思維的觀點，強調利用導數(shù)解決生活中的實際問題，體現(xiàn)更高的函數(shù)應用的觀點和更本質的數(shù)學思維模式。

三、教學啟示

數(shù)學學習是有意義的建構學習，是在質疑、探究、交流、合作中完成的。因此，數(shù)學教師的任務，就是組織具有一定思維含量的數(shù)學素材，引發(fā)學生的深度思考，展現(xiàn)思維過程，指導交流、合作和思維碰撞，產(chǎn)生思維火花，完成數(shù)學知識的意義建構。所以，在數(shù)學課堂教學中，教師應該有意識地讓學生表達自己的想法，讓學生的嘴動起來，話多起來，學會合作探究，學會經(jīng)驗積累，學會交流分享。由此可見，教師對新課標、新教材、新高考的深刻把握和精準設計尤為重要，研究新教法，綜合利用單元教學進行嘗試，讓課堂教學更加精彩。

1.把學生帶回經(jīng)驗中

數(shù)學概念是概括的、抽象的，無論是概念的形成還是概念的同化，都需要以學生的基本活動經(jīng)驗為生長點，以學生頭腦中已有的具體內容、直觀想象的圖形為依托，“借助經(jīng)驗事實使概念易于理解”[5]。在新課標背景下的新教材中，許多概念，尤其是基本概念與現(xiàn)實生活息息相關，因此在課堂教學中應該通過情境創(chuàng)設，如實際問題導入、以舊引新等，喚起學生學習的熱情，使學生身處現(xiàn)實情境，親身體驗，在感性認識的基礎上，借助觀察、分析、歸納、抽象等思維活動，如給出五個基本初等函數(shù)，讓學生指出單調區(qū)間、畫圖、求出導數(shù)，引導學生觀察函數(shù)圖像，感性認識導數(shù)值對單調性的影響。又如通過復習函數(shù)單調性概念，打通單調性與導數(shù)的關系，慢慢走向精確概念。也就是“對常識內容進行精細化”[6]，在概念化的過程中學習新的概念，解決一系列問題（習題）。

2.把學生帶入探究中

數(shù)學家哈爾莫斯說：“問題是數(shù)學的心臟?！备拍罱虒W的一個重要的方面就是用問題將學生帶入探究之中，讓學生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程中智力參與、主動建構，理解數(shù)學知識的本質，體會科學研究的一般方法。如導數(shù)與單調性關系，學生發(fā)現(xiàn)“單調遞增函數(shù)的導數(shù)大于零，單調遞減的導數(shù)小于零”，學生嘗試從兩個方面去探究，一是依據(jù)單調性定義和導數(shù)定義，二是通過割線斜率演變到切線斜率，使得問題更加直觀化。新授課的概念教學中的問題化包括兩個方面：一是概念建構過程的問題化，將知識的發(fā)生發(fā)展過程轉化為一系列帶有探究性問題，如進而學生又提出“導數(shù)大于零的函數(shù)一定單調遞增”，從而引起學生小組之間大討論，進而得出正確結論;二是形式材料的問題化，把形式的、抽象的數(shù)學知識轉化為蘊含本質、貼近實際的適合學生探究的問題，如學生通過二次函數(shù)和正弦函數(shù)的最值問題，大膽提出利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，因勢利導地探究出“極值與最值的概念”，揭示極值是局部問題，而最值是整體性問題。

3.把學生帶入思辨中

數(shù)學學習中的思辨既是一種思維活動，也是一種實踐操作行為。思辨的對象可以是數(shù)學知識、數(shù)學素材、數(shù)學思想方法，也可以是數(shù)學學習過程中的成功與失敗，可以是群體思辨，也可以是自行思辨。如學生討論“導數(shù)為零的點是否為極值點”，又如讓學生舉例說明等等。教師引導學生思辨，不僅是思辨學習的結果，還有思辨學習的過程、學習的方法、學習的習慣，如求三次函數(shù)的單調區(qū)間，緊接著追問求函數(shù)的極值，然后又設計一個逆向應用和開放性問題，即由函數(shù)式來建構現(xiàn)實生活中的數(shù)學模型，于是學生在積極的合作、交流、討論、思辨情境下，得出兩種實際情境。這就是讓學生在思辨中回顧知識發(fā)生的過程，強化對數(shù)學知識的理解，領悟其中的思想方法，獲得科學研究的一般認識，發(fā)展質疑、批判的理性精神。既凸顯新課標理念——立德樹人，又體現(xiàn)新教材的編寫意圖——以生為本，同時也落實新高考的評價精神——人文思維、創(chuàng)新思維和創(chuàng)造思維。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：12.

[2][3]章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[4][5]涂榮豹，寧連華，等.中學數(shù)學教學案例研究[M].北京：北京師范大學出版社，2017.

[6]涂榮豹.數(shù)學教學認識論[M].南京：南京師范大學出版社，2003.