劉 雙

(山東華宇工學(xué)院，山東 德州 253000)

微分方程是表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的一種方程，它是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來(lái)的，最早在牛頓和萊布尼茨的關(guān)于微積分學(xué)的著作中都研究過(guò)與微分方程相關(guān)的問(wèn)題，隨著后人研究的不斷深入，微分方程逐漸發(fā)展為高等數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。Python是一種計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言，最早誕生于20世紀(jì)90年代初，其特點(diǎn)是簡(jiǎn)潔、易讀，因而被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)領(lǐng)域用以解決各類程序的實(shí)際問(wèn)題。在實(shí)際生活中，很多情況下都需要利用函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式對(duì)客觀事物的規(guī)律進(jìn)行研究，并需運(yùn)用編程軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)。微分方程及Python語(yǔ)言在多個(gè)領(lǐng)域都有著很廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

1 微分方程在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用

隨著科技的不斷發(fā)展，現(xiàn)在的醫(yī)學(xué)不僅僅是停留在尋醫(yī)問(wèn)診的時(shí)代，更多的是要對(duì)各類疾病發(fā)生的起源以及如何治療各類疾病進(jìn)行深入研究探討[1]。對(duì)于這些方面的研究都離不開(kāi)數(shù)學(xué)的幫助，微分方程在這其中更是發(fā)揮了重要作用，它被廣泛應(yīng)用在細(xì)菌的繁殖、藥物動(dòng)力學(xué)及流行病學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域中。

本研究以它在流行病學(xué)中的應(yīng)用為例，其中應(yīng)用最廣泛的傳染病模型就是一個(gè)很典型的微分方程模型，它按照傳染病類型又分為SI、SIR、SIRS、SEIR等模型，SEIR傳染病模型是其中較為復(fù)雜且應(yīng)用較為廣泛的模型。SEIR傳染病模型將人群分為易感者(susceptible，S)、潛伏者(exposed，E)、感染者(infected，I)和康復(fù)人群(recovered，R)。該模型假設(shè)人群中所有個(gè)體都有被感染的概率，即都是易感者，當(dāng)被感染后變成攜帶病毒的潛伏者，且潛伏者不具有傳染性，然后在潛伏者中會(huì)有部分人變成感染者，后經(jīng)過(guò)治療產(chǎn)生抗體變?yōu)榭祻?fù)人群，并且不再具有傳染性。

新冠疫情就是屬于傳染病類疾病，SEIR傳染病模型也被廣泛應(yīng)用在新冠疫情的研究中，用來(lái)對(duì)疫情的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。可以利用Python建立如下的SEIR傳染病模型：

S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N(t)

2 微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，GDP的變化率、股票的增長(zhǎng)率、房?jī)r(jià)的變化率、商品的利潤(rùn)率等這些經(jīng)濟(jì)量的變化率經(jīng)常需要利用微分方程進(jìn)行求解[2]。著名的索洛經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型就是一個(gè)以微分方程為基礎(chǔ)所建立的經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，其模型為sf(k)=k*+nk，它的基本含義為人均資本擁有量的變化率k*取決于人均儲(chǔ)蓄率sf(k)和按照既定的資本勞動(dòng)比配備每一新增長(zhǎng)人口所需資本nk之間的差額。從模型的結(jié)構(gòu)可以看出，這是一個(gè)含有未知函數(shù)k以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)k*的微分方程模型。

3 微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)和物理學(xué)是兩個(gè)不可分割的整體，物理學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)數(shù)學(xué)[3]。數(shù)學(xué)對(duì)于物理學(xué)的作用是具體的，在學(xué)習(xí)物理時(shí)所用到的公式、計(jì)算方法都是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)進(jìn)行應(yīng)用和求解的，如速度公式、牛頓第二定律、自由落體運(yùn)動(dòng)公式、能量守恒定律，其公式都屬于微分方程[4]。

4 微分方程在灰色系統(tǒng)領(lǐng)域的應(yīng)用

在灰色系統(tǒng)中，灰色預(yù)測(cè)是很重要的一個(gè)部分，其優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)于“小樣本，貧信息”的數(shù)據(jù)具有較好的預(yù)測(cè)效果，因而被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、工程技術(shù)、計(jì)算機(jī)等多個(gè)領(lǐng)域來(lái)預(yù)測(cè)各類數(shù)據(jù)。

灰色預(yù)測(cè)是基于人們對(duì)系統(tǒng)演化不確定性特征的認(rèn)識(shí)，運(yùn)用序列算子對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加或累減生成，進(jìn)而挖掘系統(tǒng)的演化規(guī)律，以此為基礎(chǔ)建立灰色預(yù)測(cè)模型，對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)作出定量預(yù)測(cè)。在灰色預(yù)測(cè)理論中，GM系列模型是灰色預(yù)測(cè)理論的基本模型，尤其是GM(1，1)模型，應(yīng)用十分廣泛[5]，包含均值GM(1，1)模型(EGM)、原始差分GM(1，1)模型(ODGM)、均值差分GM(1，1)模型(EDGM)和離散GM(1，1)模型(DGM)四種，無(wú)論是其中的哪個(gè)模型，都運(yùn)用到了微分方程，本研究以原始差分GM(1，1)模型(ODGM)為例，講述如何運(yùn)用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

原始差分GM(1，1)模型(ODGM)是基于GM(1，1)模型的原始形式和運(yùn)用最小二乘法估計(jì)出的原始形式中的模型參數(shù)，直接以原始差分方程的解作為1-AGO序列的時(shí)間響應(yīng)式所得到的模型，進(jìn)而通過(guò)累減的方式還原得到原始序列的時(shí)間響應(yīng)式，該時(shí)間響應(yīng)式就是所需的原始序列的預(yù)測(cè)模型，通過(guò)該預(yù)測(cè)模型得出所要預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)。

5 微分方程在其他領(lǐng)域的應(yīng)用

在社會(huì)學(xué)中，可以用微分方程建立人口模型，研究人口數(shù)量的變化規(guī)律，進(jìn)而應(yīng)對(duì)人口數(shù)量的變化對(duì)于其他各方面的影響；在軍事領(lǐng)域，可以建立微分方程模型來(lái)估計(jì)戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局；在環(huán)境學(xué)中，可以針對(duì)水污染治理建立微分方程模型，研究治理的速度及改善后的情況等內(nèi)容。微分方程模型建立后，便可用Python語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)[6]，得出量化后的數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后從而得出結(jié)論。

6 結(jié)語(yǔ)

本研究從多個(gè)領(lǐng)域介紹了微分方程的應(yīng)用。在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，以傳染病模型為例，介紹了如何運(yùn)用微分方程進(jìn)行模型的建立以及預(yù)測(cè)傳染人數(shù)的變化。此外，微分方程在醫(yī)學(xué)的其他方面，如細(xì)菌的繁殖、藥物動(dòng)力學(xué)等方面，都具有很重要的應(yīng)用價(jià)值；在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，可以運(yùn)用微分方程研究GDP的變化率、股票的增長(zhǎng)率、房?jī)r(jià)的變化率、商品的利潤(rùn)率等經(jīng)濟(jì)量的變化，以此對(duì)各種經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行量化，從而達(dá)到促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的目的；在物理學(xué)領(lǐng)域，物理學(xué)中的很多跟變化率相關(guān)的公式都屬于微分方程；在灰色系統(tǒng)領(lǐng)域，運(yùn)用微分方程建立GM(1，1)模型，進(jìn)而對(duì)“小樣本，貧信息”的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。不僅如此，微分方程在其他領(lǐng)域也有著很重要的應(yīng)用價(jià)值。對(duì)于以上微分方程在各領(lǐng)域應(yīng)用的求解，都可以通過(guò)Python語(yǔ)言進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，不僅簡(jiǎn)化了整個(gè)計(jì)算求解過(guò)程，而且使結(jié)果更加精準(zhǔn)可信。