馬東松

[摘 ?要] 多函數幾何題是初中數學的重要題型，建議充分把握函數與幾何的關聯，結合問題特征進行突破. 教學中應合理拓展解法及變式問題，使學生充分認識問題，掌握解題策略. 文章將對一道多函數幾何題展開探究，并進行教學實踐反思，提出相應的建議.

[關鍵詞] 多函數;幾何;分步;解法;變式

函數綜合是中考和?？汲Ｒ姷膲狠S題命題形式，往往將曲線與直線、圖形融合在一起，綜合考查函數圖像的位置關系及函數背景下的幾何模型構建，下面深入探究.

問題呈現，分步探究

1. 問題呈現

問題：在平面直角坐標系中，已知一次函數y=-x+3的圖像與x軸相交于點A，與y軸相交于點B. 拋物線的解析式為y=-x2+bx+c，點A和B位于拋物線上.

（1）試求拋物線的解析式;

（2）如圖1所示，點M（m，y1），N（n，y2）是第一象限且位于拋物線上的兩個動點，有m<n. 分別過點M和N作MC和ND垂直于x軸，設與直線AB的交點分別為C和D.

①若四邊形MNDC為平行四邊形，試求m與n之間的關系;

②在①條件成立的前提下，設四邊形MNDC周長為L，試求L的最大值;

（3）如圖2所示，設拋物線與x軸的另一交點為A′，分析在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得∠APA′=∠ABO？若存在，請寫出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

2. 分步探究

本題目為二次函數與一次函數綜合題，其中融合了平行四邊形，問題解析要把握函數圖像上的關鍵點，由交點作為突破口求解析式，利用點距離探求線段長，把握線段、圖形中的幾何性質，轉化角度模型.

第（1）問求拋物線的解析式，核心解法是待定系數法，由一次函數解析式可求點A和B的坐標，將其代入拋物線的解析式即可求解. 可求得點A（4，0），B（0，3），代入y=-x2+bx+c中，可得-42+4b+c=0，

c=3， 解得b=，c=3，所以拋物線的函數表達式為y=-x2+x+3.

第（2）問構建了平行四邊形MNDC，其中邊MC和ND平行于y軸，所涉兩問分別探究坐標參數m和n的關系，以及周長的最大值，解析時要構建點坐標、線段、幾何特性之間的關聯，利用函數性質分析最值.

①四邊形MNDC為平行四邊形，已知MC∥ND，則MN∥CD. 如圖3，過點N作MC的垂線，設垂足為點E，可證△NEM∽△AOB，由相似性質可得=. 設點Mm，-m2

+m+3，點Nn，-n2

+n+3，可推得線段ME=-m2+n2+（m-n），NE=n-m，代入比例關系可得=，解得m+n=4.

②平行四邊形MNDC的周長可表示為L=2（NM+MC），需分別求NM和MC的線段長. 在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5. 可知∠MNE=∠OAB，則cos∠MNE=cos∠OAB，在對應三角形中構造三角函數值模型，則=，代入線段長可得=，則MN=（2-m），而MC=-m2+m+3-

-m+3=-m2+4m，所以L=2（NM+MC）=-2m2+3m+10= -2

m-2+. 分析可知，當m=時，L可取得最大值，且最大值為.

第（3）問為等角存在性問題，總體上采用“假設—驗證”法. 其中∠ABO為定角，點P是拋物線對稱軸上的點，則其橫坐標xP=. 點A′是拋物線與x軸的另一交點，由條件可得點A′

-，0，對于其中的等角關系，可轉化為所涉三角形的相似關系. 需要討論點P位于x軸上方和x軸下方兩種情形.

①當點P位于x軸的上方時，過點A作A′P的垂線，設垂足為點E，如圖4所示. 由于∠APA′=∠ABO，∠AOB=∠AEP=90°，則△AOB∽△AEP，由相似性質可得==. 令PE=3m，AE=4m，則AP=A′P=5m，A′E=2m. 在Rt△AEA′中使用勾股定理，可得A′E2+AE2=A′A2，代入線段長則有（2m）2+（4m）2=

4+2，整理可得m2=×

2，所以yp==.

②根據對稱性可知，在x軸的下方有對稱的點P，此時點P的縱坐標為-.

綜上可知，在拋物線的對稱軸上存在滿足條件的點P，其坐標分別為

，和

深度探究，拓展變式

上述對一道多函數綜合題進行了解法探究，所涉三問涉及函數與幾何的眾多考點，問題具有代表性，深入探究有助于解題能力的提升. 下面對核心之問開展解法拓展及變式探究.

1. 把握性質定理，構建多樣思路

上述考題的第（2）問中構建了四邊形，屬于函數背景下的四邊形探究題，其中①問分析四邊形為平行四邊形時參數m與n之間的數量關系，實則考查的核心是平行四邊形性質定理. 原解法構建了相似三角形，串聯線段長與點坐標，其核心定理是“平行四邊形的對邊分別平行”，即其中的平行關系，以及由平行衍生的等角是思路構建的核心. 故對于本題目，還可以把握函數背景中與平行、等角關聯的知識來構建思路.

（1）構建思路1：平行線函數解析式的k相等

四邊形MNDC為平行四邊形，則MN所在直線與直線y=-x+3相平行，即兩直線解析式的k值相等，可設MN的解析式為y=kx+b，則k=-. 設點Mm，-m2

+m+3，點Nn，-n2

+n+3，結合公式可知=-，解得m+n=4.

（2）構建思路2：等角的三角函數值相等

參考原解法的構圖思路，根據其中的平行關系可推知∠NME=∠MCB=∠ABO，則等角的三角函數值相等，顯然tan∠NME=tan∠ABO. 在Rt△ABO中，有tan∠ABO=. 設點Mm，-m2

+m+3，點Nn，-n2

+n+3，在Rt△NME中，ME=-m2+n2+（m-n），NE=n-m，則tan∠NME===，同樣可解得m+n=4.

2. 把握問題本質，探索多樣變式

上述考題的第（3）問為等角存在性問題，上述基于等角構建了相似直角三角形模型，并結合勾股定理來構建線段關系，本質上就是函數與幾何問題中的相似關系. 對于該問題還可以依托知識核心進行拓展變式.

（1）拓展變式1——構建相似圖形

變式1：設拋物線與x軸的另一交點為A′，點P是拋物線對稱軸上的動點，連接A′P，再過點A作A′P的垂線，設垂足為點E，如圖5所示. 分析是否存在點P使得△AOB∽△AEP？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

點撥：變式1為相似三角形存在性問題，與原問題本質上是一致的，且相對較為簡單，可根據△AOB的邊長比例來設定△AEP的邊長，進而結合勾股定理完成求解.

（2）拓展變式2——構建面積比例

變式2：設拋物線與x軸的另一交點為A′，點P是拋物線的對稱軸上的點，連接A′P，再過點A作A′P的垂線，設垂足為點E. 若△AOB∽△AEP，試求△AEP的面積.

點撥：變式2中構建了相似三角形，求△AEP的面積，是對原問題的深度變式. 顯然需要確定點P的坐標，推導相似三角形的面積比，進而求出三角形的面積. 故分步突破：確定點P坐標→構建面積比→求三角形面積.

解后反思，教學建議

上述深度探究了一道多函數綜合題的解法，并進行了多解探究和問題變式，有助于深度認識問題，掌握問題的突破思路，同時探究策略有一定的參考價值，下面基于教學進一步反思.

1. 關注問題本質，定位知識考點

上述是一道多函數綜合題，其中涉及了一次函數、二次函數，并融合了平行四邊形、三角形等基本圖形. 總體來看，所涉三問立足函數與幾何的聯系，充分開展問題探究. 對于該類型壓軸題，解析過程中要關注問題本質，定位知識考點. 以上述第（2）問為例，分別探究四邊形為平行四邊形時的坐標參數關系以及圖形周長的最值，前一問本質就是點坐標與線段平行的關系，后一問則是構建線段函數. 把握問題本質，準確定位考點，有利于分析破題方法.

2. 深度探索解法，變式拓展思考

解題探究的關鍵環(huán)節(jié)是探索解法，變式思考，即立足考題思考破題方法，并適度拓展，包括對解法的拓展和問題變式的拓展. 如上述探究平行四邊形中坐標參數關系時，從平行與三角形相似、平行與函數解析式k值的關系、平行等角與三角形函數值三大視角進行了探究，形成了不同的突破思路;同時對第（3）問的等角存在性問題進行了合理變式，形成了函數與幾何的典型問題. 解題教學時建議引導學生深度反思問題及解法，引導學生從不同視角認識問題，總結解題方法，可結合“一題多解”“多題一解”“一題多變”來開展解題教學，充分發(fā)揮考題價值，激發(fā)學生的數學思維.

3. 關注數學思想，提升綜合素養(yǎng)

多函數幾何題的破解過程往往需要利用眾多的數學思想，如上述問題總體上使用了數形結合、化歸轉化，求平行四邊形中的參數關系時涉及方程思想，求平行四邊形周長最值時用到了函數思想和模型思想. 正是在數學思想的指導下學生完成了條件轉化、思路構建. 數學思想是解法方法的精髓所在，對于提升學生的思維能力、數學素養(yǎng)有著極大的幫助. 教學中建議立足問題解法，反思數學思想，讓學生在解題中感悟思想方法，理解方法內涵. 同時可依托考題指導學生掌握思想方法的使用技巧，如數形結合思想中的“以數釋形”“數形對照”，模型思想中的構建幾何模型、函數模型等.